利用-展開法求分數階Drinfel'd-Sokolov-Wilson方程精確解

王振家，丁文瓊

（紅河學院數學與統計學院，云南蒙自 661199）

近年來，利用適當的方法尋求非線性偏微分方程精確解的研究越來越多，這樣的趨勢有助于人們對復雜的物理現象、自然科學和工程模型原理的理解和研究.使得非線性偏微分方程的求解問題成為非線性鄰域的熱門課題.經過眾多學者多年來的研究形成不少行之有效的方法，如齊次平衡法[1]、雙曲線函數法[2]、展開法[3]、首次積分法[4].

分數階時空方程Drinfel'd-Sokolov-Wilson(DSW)是一個數學物理方程，該類方程的精確解對于其所描述的自然現象的理解和認識起著推動作用.分數階時空方程組DSW：

目前還沒有一種積分方法可以解決所有類型的非線性偏微分方程，即使一些方法可以求出方程的解，也不是全部的解.這種現狀表明了對于分數階非線性偏微分方程精確解的研究仍是重中之重.

1.定義與性質

黎曼劉維爾導數算子的定義[5]：

Jumarie修正黎曼劉維爾導數具有一些顯著性質，例如：

以上性質有助于找到精確的解析，要注意的是上述性質適用于具有黎曼-劉維爾導數分數階時空偏微分方程，但它可以推廣到具有其他分數階導數的分數階時空偏微分方程.

步驟1：通過引進了一個新的行波變量：

將（6）式簡化成常微分方程：

多項式表示：

步驟3：利用（8）式中的最高階導數與非線性項平衡來確定（9）式中的整數

步驟4：將（9）代入（8）式中，并利用二階常微分方程（10），合并同類項將所有具有相同的冪項集合在一起，使得得到的多項式的每一個系數都等于零.得到一個關于的代數方程組

3.時空分數階方程組 DSW的精確解

這樣就可以將（11）式轉換成整數階常微分方程：

由（13）式中第一個方程可以得到：

通過（9）和（10）兩式可以推出

利用Maple軟件求解上述方程組可以得到一組有用解：

對應方程組的雙曲函數通解為:

4.結論

分數階非線性偏微分方程在近年來的研究中取得了豐碩的研究成果，雖然分數階非線性偏微分方程精確解的研究難度較高，依然有許多對應的方法被提出并證明有用，文章中主要以-展開法進行介紹和研究.

在文章中運用-展開法，這種方法是求分數階非線性偏微分方程的精確解有效的方法.對于時空分數階方程組 DSW利用分數階的變換，使得方程變換成相應的常微分方程，然后利用-展開法得到了關于時空分數階方程組 DSW的精確行波解.得到了包括了雙曲函數解、三角函數解和有理函數解，為解時空分數階方程組 DSW提供了新的方法.

這種方法應用在時空分數階方程組 DSW，計算量都會大一些，但優點在于豐富了已有方程的解.-展開法對于求解分數階非線性偏微分方程具有巨大的潛力和普遍性.