利用“轉化”策略實踐具身數學

文∣李悅

一、“離身”學習仍然存在

在一次課后練習中，學生遇到了這樣一道題：“有64支足球隊參加比賽，比賽以單場淘汰制進行(即每比賽一場淘汰1支球隊)，一共要進行多少場比賽才能產生冠軍？”這道題目出自蘇教版《數學》五年級下冊第七單元練習題，學生可以利用圖形直觀表征，將現實問題轉化為數學問題；也可以轉化解決問題的視角，將“進行多少場比賽產生冠軍”轉化成“去掉冠軍球隊，剩余幾支隊伍，就要比賽多少場”。借助于課堂學習經驗，學生只需要運用這樣的逆向思維就能解決這個問題，但是實際解答的正確率卻只有73.56%，問題出在哪里？

通過對學生的錯誤進行分析，筆者發現主要存在以下三個問題。

(一)關鍵詞理解不清

問題是要比賽多少場，這個“場”是指每兩支球隊比一場；而圖1學生作品中的“場”，有點類似于我們生活中說的“輪”，64進32是一輪，32進16是一輪，它涵蓋的是所有球隊的比賽輪次，并不聚焦于具體某兩支球隊的比賽場次。學生將兩個概念混淆了。

圖1

(二)簡便計算方法不對

圖2學生作品不僅漏掉了冠亞軍之爭的“1”，且整個計算應用等比數列求和，學生用的卻是等差數列求和公式，因此答案相差甚遠。公式應用錯誤的本源是學生對于各數所代表的實際含義不理解。

圖2

(三)解決問題思路不佳

查看兩幅學生作品，雖然錯因不同，但思考路徑都是正向思考，從64支隊伍兩兩比賽中層層遞進，爭奪冠軍。回看本題的知識點，從學生的答題中我們不難發現，他們并沒有將“進行多少場比賽產生冠軍”轉化成“去掉冠軍球隊，剩余幾支隊伍，就要比賽多少場”，雖然兩種思路都可以解決問題，但轉化之后的逆向思維更簡單、快速。

通過以上問題，窺探錯題本質，都是因為在課堂教學時，缺乏讓學生經歷知識的形成過程，忽略了讓學生親身體驗“單場淘汰制”的含義，使學生的數學學習沒有“具身性”，陷入“離身”狀態。

二、“具身數學”課堂范式

(一)“具身數學”的內涵

“具身認知”理論認為，“在人的認知活動中，身體發揮著至關重要的作用，而在影響人身體的眾多要素中，身體結構、身體經驗、行為活動形式對人的認知發揮著重要作用”?；诖死碚摚Y合學科教學實踐，我們嘗試建構“具身數學”課堂?！熬摺笔侵附o學生提供具體、明確、熟悉的學習情境，“身”是指學生本人親身經歷、體驗；“具身數學”的內涵是為學生創設熟悉的、可參與的學習情境，以學生自身為參與主體，基于親身體驗獲得直接感受或積累直接經驗，自主構建知識體系，從而提升其數學素養的一系列活動。

(二)“具身數學”的基本特征

1.實踐性

“具身數學”基于學生的親身體驗，可實踐性是它的第一屬性。這里的實踐性區別于一般的模仿操作，更多是指學生在理解數學問題的前提下，在合適的教學情境中親身參與所獲得的直接感受和積累的直接經驗。當然，強調實踐性并不意味著所有的學習素材都必須具有實踐性，而是在學習之初以可實踐性的素材展開學習活動。隨著學習的深入，學生可以做到也應該做到在頭腦中將學習任務實踐化，以提升思維品質，逐漸提高學習能力。

2.主體性

“具身數學”的操作體驗主體一定是學生本身，學生的學習以其主體參與為基準，后續在此基礎上有所提升。這一切的前提都是學生自身參與的操作體驗，因此主體性是“具身數學”所獨有的特征。主體性強調學生獲得的是直接經驗，它有別于傳統課堂的教師講授、學生代表回答等間接經驗獲得。在直接經驗的幫助下，學生易于構建知識模型，完善知識體系，形成具有個性特征的知識脈絡。

3.開放性

開放性強調有三。一是學生具身體驗環境的開放。如果環境不夠開放，學生沒有體驗的空間。在活動中，教師可以突破座位、小組等限制，讓學生在一定的空間內自由、有序地開展活動。二是學生具身體驗問題的開放。如果問題不夠開放，學生沒有體驗的必要。教師活動的問題設計不能瑣碎，最好是一個主題式或板塊化的大問題，學生能夠在問題的引領下開展一系列的體驗操作。三是教師具身體驗課堂設計視角的開放。如果視角不夠開放，既沒有打破“離身”的桎梏，又達不到“具身”的要求，課堂將會陷入低效中，無法幫助學生完成知識的深度構建。

(三)“具身數學”課堂建構原則

1.趣味性原則

“具身數學”課堂以學生的親身體驗為學習經驗獲取的重要來源，而學生愿意甚至主動開展體驗活動的前提條件就是活動充滿趣味性。教師提供的活動情境要貼近學生生活，便于學生理解和開展。學生在親身體驗活動中能獲得樂趣，后續又能脫離情境展開數學思考；這樣，教師才能將課堂有趣、深入地推進下去。

2.融合性原則

在開展教學時，教師要秉持融合性原則，跳出固有的學科視角，嘗試從學科融合的角度出發，以適合本課教學內容開展的素材為學生具身體驗的起始點。在學生后續的學習中，我們的目標不僅是其數學知識的習得，更要關注其適應終身發展和社會發展所需的必備品格和關鍵能力。

3.發展性原則

具身數學的課堂不是割裂的，在同類知識或并列知識的教學中，其體驗內容也應該具有發展性。學生借助之前的具身體驗所獲得的學習經驗，可以作為后續體驗的基礎。課堂初始的體驗可以為教學重難點的突破埋下伏筆，課堂結尾的懸念設置可以幫助學生將學習延續到課后?？傊园l展性為原則開展的“具身數學”課，能突破單一的課時結構，整合知識內容，便于學生形成知識脈絡，構建知識體系。

三、“轉化”策略實踐具身教學

(一)化虛為實，“辯”中厘清思維脈絡

為了讓學生親身感受前述例題中“一輪”“一場”的區別，在教學時我們要化虛為實。

課始，通過引入猜拳游戲，兩人一組，一局定輸贏，讓學生親身經歷游戲過程，理解游戲規則。一輪游戲結束之后，讓學生簡單表述一下全班同學的游戲情況，這時學生可以用列舉法，也可以用統計法，比如勝出的男生有幾人，女生有幾人……讓學生將目光從經歷游戲過程轉向辨別游戲結果。接著可以繼續下一輪游戲，結合之前學生分享的經驗，總結新一輪的游戲情況。教師引導學生在第一輪關注獲勝人數的基礎上，嘗試從輸、贏兩個方面表述比賽結果，比如獲勝的有8人，淘汰的也有8人，這一輪比賽有8場。

接下來進行至關重要的一步：讓學生不再繼續進行游戲，但需要描述后續游戲進程。將學生的關注點從進行游戲轉向為思考問題。有的學生提出，現在有8人，兩人一組可以分成4組，也就是還要比賽4場，然后勝出2人，淘汰2人；最后2人只要再比賽1場，就能夠決出冠亞軍，我們不繼續游戲也能利用數學知識推導出后續游戲進程。當然，還會有不一樣的聲音：我們只知道接下來的冠軍是按照這樣的方式產生的，但究竟誰才是冠軍，我們是不知道的，只有把游戲進行下去，才能揭曉最終答案。

“具身數學”視角下的教學活動，借助親身參與的游戲活動，讓學生給數賦予生活含義，比如8可以表示8人獲勝，8人被淘汰，進行了8場比賽。學生借此活動將數學問題與生活問題相關聯。最后又回到游戲情境，思考數學問題成立的條件，完善思維路徑。正是有了這樣的實際體驗做基礎，學生學習才能“四兩撥千斤”。

(二)化數為形，“變”中轉化問題視角

實踐表明，學生進行深度學習的基礎是數學高階思維的發展與提升。在數學教學中，教師要探尋學生的思維起點，深化學生的認知視角，激發學生的數學思維。數形結合是幫助學生思維發展的一大利器。在本節課的學習中，學生一開始無論是直接計算比賽場數，還是用總人數減1，視角都只停留在數的計算上，前者沒有和轉化策略結合起來，后者沒有深度感受數學思想。而“具身數學”視角下的課堂探索，可以幫我們突破這個桎梏。

圖3

回顧反思是“具身數學”課堂的重要組成部分。讓學生重新回顧解決問題的路徑。在解決這道題時，我們不僅可以像題目要求的那樣正向思考，一步一步計算；還可以逆向思維，比如，32人去掉最終獲勝的1人，剩下的就是淘汰的人數；而單場淘汰制表明要淘汰31人，也就是比賽31場。

在“具身數學”視角下，當學生將注意力聚焦到“觀察這些數，你還想到了什么”這一問題時，學生之前的學習經驗被喚醒，而將數學問題用幾何直觀地表征出來，轉化問題視角，使“數”和“形”聯動，讓學生思維可視化，促進了學生超越“低階認知”，形成高階思維，發展深度學習。

(三)化隱為顯，“辨”中明晰錯誤本質

在以往的教學中，我們只看到題目本身的知識點，容易忽視練習題與例題的聯系，忽視練習題自身所“蘊藏”的數學思想方法，導致教學“只見樹木不見森林”，學生“知其然而不知其所以然”。

在“轉化”策略學習的最后，我們還需要和學生一起，從宏觀視角出發，重新審視游戲條件。我們可以這樣設問：“如果其他班級也像這樣玩游戲，請問這個游戲對班級的人數有要求嗎？他們又要比多少場呢？”這一問題將數學游戲延伸進真實生活，學生在前面游戲、學習經驗的基礎上，會產生只要是雙數就可以進行比賽的一種數學直覺。這時我們可以隨機舉例，驗證游戲條件。比如，游戲人數為32和34，通過驗證發現人數為34時，游戲無法進行下去。

學生的認知沖突已經產生，錯誤也明晰，但錯誤背后的原因還未找到。這時我們需要幫助學生建立正確的數學模型，啟發他們進行逆向思維：最終勝出1人，那么倒數第二輪就要有2人，倒數第三輪就要有4人……每一個數都要是前一個數的兩倍。也就是說，參加比賽的總人數要符合這樣的規律“1、2、4、8、16、32、64…”。

從生活中來，到生活中去，讓學生帶著抽象出來的數學模型，順利遷移并應用到更大范圍、更多情境的場景中去，這是學生完善自我構建的最后一步，也是“具身數學”順利進行的最重要一環。讓學生對“總人數要符合什么要求”這一問題分析，就是幫助學生自我構建的一個腳手架，在學生互相交流、質疑、補充時，其學習能力自然而然地獲得了生長。

綜上所述，“轉化”策略能將“具身數學”落到實處，將數學問題與生活問題相融合，將數學計算與圖形表征相結合，將隱性知識與顯性知識相配合，給予學生思維空間；為學生提供思維支點，啟發他們深入思考，觸摸到數學知識的本質內核。該方法切實有利于深化學生的策略意識。