機(jī)床結(jié)構(gòu)對(duì)流換熱系數(shù)的參數(shù)化建模方法＊

毛曉博 史建猛 雷 聲 毛寬民

（①中航西安飛機(jī)工業(yè)集團(tuán)股份有限公司，陜西西安 710089；②中南民族大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，湖北武漢 430074；③華中科技大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院，湖北武漢 430074）

調(diào)查表明數(shù)控機(jī)床在精密加工過程中熱誤差能夠占到總誤差的40%～70%[1]，高端數(shù)控機(jī)床的精密加工熱誤差甚至達(dá)到了70%以上[2]。熱分析是研究控制數(shù)控機(jī)床熱誤差的重要方法之一，但熱分析中的關(guān)鍵參數(shù)對(duì)流換熱系數(shù)(convective heat transfer coefficient,CHTC)卻因受到流體物理性質(zhì)、換熱部件表面位置、形貌、流體與換熱部件表面溫差和流速等因素的影響，計(jì)算極其困難，且CHTC的準(zhǔn)確性對(duì)數(shù)控機(jī)床結(jié)構(gòu)熱分析的結(jié)果影響很大。

曹祎等[3]將飛機(jī)外部CHTC視為恒定數(shù)值的參考溫度法進(jìn)行改進(jìn)，考慮到飛機(jī)結(jié)構(gòu)影響，提出了一種求解飛機(jī)機(jī)體各區(qū)域外部CHTC仿真計(jì)算方法，并與傳熱公式法對(duì)比，驗(yàn)證了仿真方法的有效性。Li Y等[4]基于逆熱傳導(dǎo)理論，對(duì)CHTC計(jì)算進(jìn)行優(yōu)化，在ANSYS中對(duì)主軸溫度場(chǎng)進(jìn)行了模擬與熱誤差分析，通過仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比，驗(yàn)證了熱對(duì)流系數(shù)優(yōu)化的正確性和有效性。片錦香等[5]采用蜂群算法對(duì)機(jī)床主軸零件表面與空氣的換熱系數(shù)進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，通過迭代尋找最優(yōu)解，得到的主軸CHTC精度更加準(zhǔn)確。陽(yáng)紅等[6]構(gòu)建RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法計(jì)算主軸的CHTC，將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)引入RBF網(wǎng)絡(luò)中，增加了算法的可靠性與準(zhǔn)確性。

上述方法在計(jì)算中均忽略了環(huán)境溫度對(duì)CHTC的影響，甚至大多數(shù)在熱分析中采用恒定的CHTC數(shù)值。機(jī)床在達(dá)到熱穩(wěn)定前，機(jī)床運(yùn)行產(chǎn)生的熱量會(huì)使機(jī)床結(jié)構(gòu)的溫度逐漸升高，機(jī)床結(jié)構(gòu)換熱表面的溫度與環(huán)境的溫差會(huì)隨之增大，而CHTC是一個(gè)與溫差相關(guān)的物理量，因此隨著機(jī)床結(jié)構(gòu)溫度的升高，其與外界環(huán)境的CHTC會(huì)因其與環(huán)境溫度的溫差變化而變化[7]。因此在熱分析中采用固定不變的CHTC必然增加分析誤差。基于傳熱學(xué)理論，結(jié)合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采用多元線性回歸分析，提出一種考慮環(huán)境溫度與溫差變化的CHTC參數(shù)化計(jì)算方法，提升了CHTC計(jì)算精度及機(jī)床結(jié)構(gòu)熱分析的準(zhǔn)確性與便捷性，為減小機(jī)床熱誤差研究提供一種高效準(zhǔn)確的方法。

1 對(duì)流換熱系數(shù)的參數(shù)化模型

結(jié)合牛頓冷卻定律與流體流過機(jī)床結(jié)構(gòu)表面的傳熱理論，將影響對(duì)流換熱過程的物理量進(jìn)行歸納分析，建立CHTC影響變量的參數(shù)化模型，如式（1）所示。

式中：f為CHTC與影響變量之間的函數(shù)映射關(guān)系；f1表示非自然對(duì)流狀況下的函數(shù)關(guān)系式；f2表示自然對(duì)流時(shí)溫差引起的升浮力下的函數(shù)關(guān)系式；其他參數(shù)表示的意義及單位如所示。

式（1）中8個(gè)物理量，包含長(zhǎng)度量綱L、質(zhì)量量綱M、時(shí)間量綱T和溫度量綱θ共4個(gè)基本量綱。將這8個(gè)物理量的單位轉(zhuǎn)化成4個(gè)基本量綱表示的形式，如表1所示。關(guān)系式，有n=7，r=4。即有

表1 CHTC參數(shù)化模型中基本量綱表示

根據(jù)π定理，物理方程量綱一致時(shí)，可用一組量綱為1數(shù)群的零函數(shù)表示。式（1）中f1的函數(shù)

式中：φ1、φ2和φ3為3個(gè)無量綱參數(shù)；a、b、c、d為引入的指數(shù)參數(shù)。

將φ1按照量綱展開，參數(shù)a1=0、b1=-1、c1=0和d1=1，代入式（2）得到

同理得到

式（1）中f2表示的關(guān)系式，同理有

2 考慮溫差變化的對(duì)流換熱系數(shù)計(jì)算

2.1 對(duì)流換熱系數(shù)的計(jì)算原理

結(jié)合機(jī)床結(jié)構(gòu)傳熱過程的有限元分析和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，提出如圖1考慮環(huán)境溫度與溫差變化的CHTC計(jì)算方法。

圖1 環(huán)境溫度與溫差變化的CHTC計(jì)算原理

（1）傳熱過程及熱態(tài)特性參數(shù)分析。測(cè)量一個(gè)較小時(shí)間段內(nèi)溫差Δt′和相應(yīng)的溫度數(shù)據(jù)，根據(jù)相似準(zhǔn)則求得初始CHTC。

（2）CHTC的迭代修正計(jì)算。采用初始CHTC進(jìn)行熱分析，將熱分析結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測(cè)量值判斷，進(jìn)行迭代修正。算法修正采用文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[8]等中給出的，在機(jī)床有限元溫度場(chǎng)仿真計(jì)算中，CHTC的參數(shù)取值一般是理論計(jì)算值的3～10倍。故將CHTC理論計(jì)算值的整數(shù)倍作為△h數(shù)據(jù)庫(kù)中的數(shù)值。迭代修正時(shí)，為防止迭代中出現(xiàn)加減整數(shù)倍△h仍不能滿足判斷條件時(shí)，在循環(huán)計(jì)算中添加對(duì)當(dāng)前整數(shù)倍△h做出減半甚至做1/4處理的命令，直到滿足判斷條件為止。

（3）考慮環(huán)境溫度與溫差變化的CHTC修正計(jì)算。根據(jù)環(huán)境溫度預(yù)估機(jī)床的總溫差，以1℃為等差間隔分成多個(gè)溫度逐漸升高的子溫差區(qū)間，采用修正計(jì)算方法求得各子溫差區(qū)間對(duì)應(yīng)的CHTCs，在熱分析中給出動(dòng)態(tài)加載方法，從而消除溫差變化對(duì)CHTC計(jì)算的影響，進(jìn)一步提高溫度場(chǎng)模型的精確度。

2.2 對(duì)流換熱系數(shù)計(jì)算流程分析

（1）引入實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，選取初始一小時(shí)間段內(nèi)調(diào)用經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算初始CHTC。

（2）采用步驟1計(jì)算的CHTC得到的仿真溫度場(chǎng)與實(shí)驗(yàn)測(cè)量值對(duì)比，根據(jù)判斷條件進(jìn)行循環(huán)修正，提高CHTC的精度。

（3）對(duì)預(yù)估總溫差進(jìn)行多溫度子區(qū)間的劃分，在多溫度區(qū)間下對(duì)多個(gè)CHTC的循環(huán)修正計(jì)算。

3 基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)流換熱系數(shù)的參數(shù)辨識(shí)方法

3.1 機(jī)床部件的熱測(cè)試實(shí)驗(yàn)

熱測(cè)試實(shí)驗(yàn)對(duì)象為沈陽(yáng)機(jī)床集團(tuán)生產(chǎn)的TC500立式鉆攻中心的X軸滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)（含工作臺(tái)）。熱實(shí)驗(yàn)工況設(shè)計(jì)如下：滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)工作臺(tái)在X軸方向上做往復(fù)運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)行程L=400 mm，滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)的進(jìn)給速度vg=4 m/min。電機(jī)的轉(zhuǎn)速n=267 r/min，工作臺(tái)運(yùn)行時(shí)間為機(jī)床達(dá)到熱穩(wěn)定狀況的4 h。

熱實(shí)驗(yàn)中溫度測(cè)點(diǎn)的選擇及有限元模型如圖2和圖3所示。

圖2 幾何模型及溫度測(cè)點(diǎn)

圖3 實(shí)驗(yàn)對(duì)象的有限元模型

采用PT-100三線制熱電阻溫度傳感器、Agilent 34970A溫度采集儀等搭建的實(shí)驗(yàn)測(cè)試平臺(tái)如圖4所示。

圖4 熱態(tài)熱性實(shí)驗(yàn)測(cè)試平臺(tái)

3.2 熱載荷及結(jié)合面熱阻

滾珠絲杠螺母產(chǎn)生的熱量按照絲杠螺母與絲杠兩端軸承的距離，根據(jù)熱傳導(dǎo)理論，分別傳遞到滾珠絲杠兩端的軸承上進(jìn)行間接加載。熱分析中結(jié)合部間接觸熱阻及結(jié)合面?zhèn)鳠幔绫?所示。根據(jù)機(jī)床結(jié)構(gòu)傳熱過程中的生熱模型，得到滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)各生熱位置的熱流密度如表3所示。

表2 生熱部位的熱流密度

表3 結(jié)合面?zhèn)鳠嵯禂?shù)[9]

3.3 熱分析中邊界條件的動(dòng)態(tài)加載

CHTC與環(huán)境溫度和溫差有很大的關(guān)聯(lián)。溫差發(fā)生變化，CHTC也會(huì)隨之發(fā)生變化，即對(duì)流換熱系數(shù)h會(huì)隨著Δt的變化而變化。采用有限元軟件ABAQUS將迭代修正計(jì)算的多個(gè)CHTCs分別施加到對(duì)應(yīng)子溫度區(qū)間，形成動(dòng)態(tài)邊界條件的參數(shù)加載，如圖5所示。

圖5 動(dòng)態(tài)邊界條件加載的實(shí)現(xiàn)

4 對(duì)流換熱系數(shù)的參數(shù)化計(jì)算方法

基于相似準(zhǔn)則，采用有限元迭代計(jì)算可求得機(jī)床結(jié)構(gòu)的對(duì)流換熱系數(shù)，但這種方法對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)的多個(gè)CHTC計(jì)算效率極低。結(jié)合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，對(duì)上述方法進(jìn)一步改進(jìn)，提出對(duì)流換熱系數(shù)的參數(shù)化計(jì)算方法。

4.1 對(duì)流換熱系數(shù)的參數(shù)化方程

在數(shù)控機(jī)床中，最常見的換熱表面形狀為矩形板，故以數(shù)控機(jī)床中使用最多的平板類換熱表面為例，根據(jù)線性回歸模型，建立其自然CHTC與環(huán)境溫度t、溫差Δt及換熱表面特征尺寸l之間的線性回歸方程為

結(jié)合滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)熱實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，利用線性回歸求得式（6）中的系數(shù)。得到對(duì)流換熱系數(shù)hp與t、Δt、和l的參數(shù)化方程為

計(jì)算中擬合優(yōu)度為0.956 8，統(tǒng)計(jì)量為22.152 8，顯著性為0.015 0，剩余方差為0.500 9，說明方程具有可靠性。

在機(jī)床中，除過大多數(shù)水平板狀換熱特征尺寸外，圓柱形的換熱部件也不少，同理結(jié)合橫圓柱的自然對(duì)流換熱與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，利用回歸分析，可得到橫圓柱形狀的對(duì)面換熱系數(shù)hc與t、Δt、和l的方程為

計(jì) 算中 擬 合 優(yōu) 度為0.991 7，統(tǒng) 計(jì) 量F為119.253 4，顯著性p=0.001 3，剩余方差為0.096 4，說明擬合結(jié)果準(zhǔn)確。

式（7）、（8）分別以機(jī)床床鞍側(cè)面和絲杠聯(lián)軸器為例，且大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是在機(jī)床部件與空氣的自然對(duì)流換熱過程中測(cè)量。

將數(shù)控機(jī)床中換熱部件的類型及特征尺寸l的計(jì)算方法歸納如表4所示。后續(xù)計(jì)算機(jī)床熱分析中平板類與圓柱類部件的自然對(duì)流換熱系數(shù)時(shí)，確認(rèn)了t、Δt、和l后，即可采用式（7）和式（8）進(jìn)行快速地計(jì)算，可以看出參數(shù)化計(jì)算方法對(duì)CHTC的計(jì)算效率有著極大的提升。

表4 機(jī)床換熱部件特征尺寸計(jì)算方法[7]

4.2 參數(shù)化建模計(jì)算方法的驗(yàn)證

4.2.1 溫度場(chǎng)對(duì)比分析

采用3.1節(jié)的滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)對(duì)文中提出的參數(shù)化方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。采用傳統(tǒng)相似準(zhǔn)則法計(jì)算的CHTC進(jìn)行熱分析，得到滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)床鞍與工作臺(tái)的溫度場(chǎng)如圖6所示；采用參數(shù)化方法計(jì)算的到CHTC進(jìn)行熱分析，得到的溫度場(chǎng)如圖7所示。

圖6 相似準(zhǔn)則法計(jì)算CHTC熱分析結(jié)果

圖7 參數(shù)化方法計(jì)算CHTC熱分析結(jié)果

4.2.2 結(jié)果分析與討論

在9個(gè)溫度測(cè)點(diǎn)中，T1～T4布置在滑塊上，現(xiàn)從兩個(gè)滑塊中分別選擇T1和T4，然后將他們與其余5個(gè)溫度傳感器測(cè)點(diǎn)位置在傳統(tǒng)相似準(zhǔn)則法求得的溫度、CHTC參數(shù)化計(jì)算方法求得的溫度及實(shí)驗(yàn)測(cè)量的溫度數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，并給出兩種仿真分析結(jié)果相對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的仿真誤差，如表5所示。

表5 CHTC參數(shù)化計(jì)算方法與相似準(zhǔn)則法的誤差分析

從表5中可以看出，參數(shù)化計(jì)算方法的仿真誤差相比傳統(tǒng)相似準(zhǔn)則法有提高，誤差提高幅度最大有8.09%，最小為1.23%，且溫升差距越大，迭代方法提高精度越明顯。同時(shí)參數(shù)化計(jì)算方法仿真求得的溫度數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)測(cè)值非常接近，說明參數(shù)化計(jì)算方法具有效性。

5 結(jié)語(yǔ)

通過上述分析，驗(yàn)證了文中提出的CHTC參數(shù)化計(jì)算方法的有效性，并且可得到如下結(jié)論：

（1）引入實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，通過迭代修正增加了CHTC計(jì)算的可靠性與計(jì)算精度。

（2）引入溫度分區(qū)間，在CHTC計(jì)算中提出分段修正的計(jì)算方法。能夠減小機(jī)床結(jié)構(gòu)在達(dá)到熱穩(wěn)定前，由于環(huán)境溫度與自身溫差的變化對(duì)熱分析結(jié)果的影響。

（3）相比式（1）中的8個(gè)未知物理量，CHTC的參數(shù)化計(jì)算方法更加方便快捷，極大地提升了CHTC和機(jī)床結(jié)構(gòu)熱分析的計(jì)算效率。