一道美國數學競賽題的推廣

廣東省深圳市深圳中學 (518001) 邱際春

2016年AMC12B中第20題是如下組合計數問題：

原題呈現A set of teams held a round-robin tournament in which every team played every other team exactly once. Every team won 10 games and lost 10 games; there were no ties. How many sets of three teams {A,B,C} were there in which A beat B, B beat C, and C beat A?

(A)385 (B)665 (C)945

(D)1140 (E)1330

原題譯文若干支球隊進行循環賽，即每組球隊與其他球隊各進行一場比賽．已知每組球隊贏了10場比賽且輸了10場比賽，每場比賽中不出現平局．在三支球隊組成的集合{A,B,C}中，A贏了B，B贏了C，C贏了A，請問有多少個這樣的集合？

(A)385 (B)665 (C)945

(D)1140 (E)1330

顯然，這種情況是可能的：將各球隊圍成一個圓圈，并且按順時針的順序使得每支球隊均打敗接下來的10支球隊．

評注：此題有一定難度，關鍵是對題目的理解的把握，如果能從題干中獲知循環賽的球隊數，那么根據循環賽的規則就不難得到本題答案為A．

若考慮將每組球隊輸或贏的比賽場數推廣至n場，則原題可作如下初步推廣：

若將原題中滿足給定條件的三支球隊組成的集合{A,B,C}推廣至k支球隊組成的集合{a1,a2,…,ak}，則可進一步得到下面的推廣2：