構建瀝青基材料力學行為主曲線的兩階段方法

唐 成, 王端宜, *, 胡 聰, 贠 迪, 鄧凱聆

（1.華南理工大學 土木與交通學院, 廣東廣州 510641；2.長安大學 公路學院, 陜西 西安 710064）

瀝青和以瀝青作為膠結料的瀝青砂漿、瀝青混合料等瀝青基材料的力學行為具有典型的黏彈特性, 且時溫特性對其力學行為有重要影響.為研究瀝青基材料在寬時間域、寬頻率域內的力學行為, 對此類具有熱流變簡單性行為的材料而言, 通?？刹捎脮r溫等效原理, 將不同測試溫度下窄時間域與窄頻率域的數據進行平移, 所得到的光滑曲線稱之為主曲線[1］.中華人民共和國航空航天工業部航天工業標準QJ2487-93《復合固體推進劑單向拉伸應力松弛模量及其主曲線測定方法》中, 對固體推進劑松弛模量主曲線的測定進行了規范化, 但尚未出現規范化的瀝青基材料主曲線繪制方法.Yin等[2］對瀝青與瀝青混合料主曲線繪制方法的規范化進行了初步研究.美 國AASHTO R62-13《Standard practice for developing dynamic modulus master curves for asphalt mixtures》（后文稱規范方法）對瀝青混合料動態模量主曲線的繪制進行了規范化：首先, 將移位因子方程以及縮減頻率與頻率的關系式代入主曲線模型；然后, 使用規范求解工具或自定義函數擬合的方法進行函數擬合.繪制瀝青的動態模量主曲線時, 研究人員也通常采用規范方法[3-4］, 但是該方法的擬合效果受主曲線模型、移位因子方程的選擇及擬合初值的選取影響較大.此外, 已有研究成果表明, 瀝青混合料層間剪切強度及瀝青混合料的力學損傷行為也具有時溫等效特性[5-6］.針對此類主曲線模型未知的力學行為, 無法使用規范方法繪制主曲線, 通常采用人工平移的方法, 但是主觀因素會嚴重影響平移的準確度.

基于此, 本文根據主曲線的定義, 提出將主曲線的獲取與擬合進行分離的兩階段方法（TSM）, 以期為瀝青基材料流變學的研究提供借鑒.

1 試驗

1.1 原材料

基質瀝青（BA）為殼牌70#瀝青, 用SBS改性瀝青（SBSMA）成型瀝青砂漿試件, 瀝青的基本性能指標見表1；集料為輝綠巖, 油石比（質量比）為0.12.試件成型方法參考文獻[7］, 試件的高度為40.0 mm, 直徑為12.5 mm, 孔隙率（體積分數）為1.01%.瀝青砂漿的級配見表2.

表1 瀝青的基本性能指標Table 1 Basic property indicators of asphalts

表2 瀝青砂漿的級配Table 2 Gradation of asphalt mortar

1.2 試驗方法

采用馬爾文Kinexus型動態剪切流變儀對瀝青與瀝青砂漿進行不同測試溫度T下的頻率掃描試驗.基質瀝青的測試溫度Ta=4、16、28、40、52、64、76℃；瀝青砂漿的測試溫度Tm=5、15、25、35、45、55℃.測試頻率f為0.1～30.0 Hz, 并按對數等間距取16個測試點.橡膠的測試溫度Tr=-60～100℃（間隔10℃）, 其頻率掃描結果參考文獻[8］.基質瀝青試驗數據用于對比采用兩階段方法與規范方法繪制主曲線時的擬合效果；瀝青砂漿及橡膠試驗數據用于檢驗采用兩階段方法繪制主曲線的穩健性.

2 主曲線的獲取

2.1 測試溫度為參考溫度時移位因子的計算

滿足時溫等效原理的力學行為均可使用主曲線進行描述, 如瀝青基材料的動態模量G*、松弛模量及蠕變柔量等.為便于闡述具體計算過程, 本文以構建動態模量主曲線為例, 論述具體的計算細節.計算可分為以下5個步驟.

第1步：選擇某一測試溫度作為參考溫度TRef.

第2步：確定相鄰測試溫度插值區間.提取相鄰測試溫度T1、T（2T1＜T2）的動態模量測試結果, 由T1下最小測試頻率的動態模量G*1與T2下最大測試頻率的動態模量G*2, 可確定區間[G*1,G*2］為插值區間.

第3步：計算相鄰測試結果水平移動范圍.在區間[G*1,G*2］內按對數等間距選擇n個插值點, 通過插值 確 定T1下動 態 模 量為G*1、G*2時 的 頻 率分 別 為fT1,n、fT1, 1,T2下 動態模 量為G*1、G*2時的 頻率分 別為fT2,n、fT2, 1；令Δf1=fT2,n-fT1,n, Δf2=fT2, 1-fT1, 1, 當 固 定T1下 的 數 據時,T2下的數據水平移動范圍為[-max（Δf1, Δf2）, -min（Δf1, Δf2）］.

第4步：用尋優算法確定相鄰溫度的移位值.將第2步確定的水平移動范圍按對數等間距劃分為m份, 本文n、m分別取25、100, 接著將T2下的動態模量數據按劃分后的水平移動范圍進行水平移動, 并計算平移后兩曲線在區間[G*1,G*2］的n個插值點角頻率ω差值的范數Norm, 尋找使Norm最小的水平移動值j*.j*即為固定T1下的數據時,T2下數據的水平移位值.計算過程可表示為：

第5步：計算移位因子.重復第2～4步, 求取所有相鄰溫度的移位值, 并將測試溫度與參考溫度之間求取的所有移位值求和, 同時根據測試溫度與參考溫度的高低, 確定數值的符號, 當測試溫度低于參考溫度時取正號, 高于測試溫度時取負號.

計算示意圖見圖1（圖中T3、T4、T5、T6、T7均為測試溫度）.需要說明的是, 上述算法針對的是相鄰測試溫度的測試數據在y軸有重疊區域, 當數據沒有重疊區域時, 可使用線性方程或多項式分別對測試數據進行擬合, 然后進行外延來獲取重疊區域, 再使用上述算法進行計算即可.

圖1 計算示意圖Fig.1 Calculation diagram

2.2 目標溫度作為參考溫度下移位因子的求取

以不同的測試溫度Ta作為參考溫度, 使用上述算法得到基質瀝青的移位因子αT, 結果見圖2.由圖2可見, 以不同測試溫度作為參考溫度時, 在半對數坐標下, 所有移位因子曲線形態完全相同, 均僅在y軸發生了相對移動.這是因為繪制主曲線時, 選擇不同測試溫度作為參考溫度時, 相同測試結果在半對數坐標軸下, 其絕對距離會發生變化, 但是相鄰測試溫度的測試結果在對數坐標下, 相對移動的距離并未發生變化.求取任意參考溫度下的移位因子, 只需將移位因子在半對數坐標下沿著y軸進行垂直移動即可, 但是需保證在選取的參考溫度下移位因子的對數值為零.基于此, 本文通過移位因子曲線插值并豎向移動的方法來確定任意目標參考溫度下的移位因子, 具體過程為：在得到以測試溫度作為參考溫度時的移位因子曲線后, 使用插值法確定目標參考溫度下的移位因子, 再將所有測試溫度下的移位因子減去目標參考溫度的移位因子, 即可得到最終的移位因子曲線.求取參考溫度為4℃時的移位因子曲線后, 通過插值并豎向移動來確定參考溫度為25℃時的移位因子曲線的過程示意圖見圖3.

圖3 移位因子豎向移動示意圖Fig.3 Schematic diagram of vertical movement of αT

2.3 測試結果平移獲取主曲線

在得到目標溫度下的移位因子后, 可在對數坐標下進行測試結果平移, 從而獲取主曲線.基質瀝青選用Ta=15、25、35℃作為參考溫度, 其動態模量G*主曲線及使用相同移位因子的相位角δ主曲線見圖4.由圖4可見：對數坐標下不同參考溫度的動態模量主曲線完全相同且光滑, 而采用規范方法繪制主曲線時由于參考溫度的不同, 平移后的主曲線經常會出現突變, 并導致主曲線不順滑, 這表明本文所提出的方法具有很高的精度與穩健性；相位角測試結果使用與繪制動態模量主曲線相同的移位因子時, 也能得到相對光滑的相位角主曲線, 這表明試驗所用的瀝青具有熱流變簡單性.此外, 相較于規范主曲線計算方法, 本文提出的兩階段方法在繪制主曲線過程中, 不需要預設主曲線模型與移位因子方程, 可根據需要在獲取主曲線后, 使用主曲線模型或移位因子方程對主曲線或移位因子進行擬合, 并最終確定模型參數.

圖4 基質瀝青的動態模量與相位角主曲線Fig.4 Master curves of G*and δ of BA

3 擬合效果對比

選取25℃作為參考溫度, 采用兩階段方法、規范方法分別結合Christensen-Anderson（CA）模型（見式（1））、Christensen-Anderson-Marasteanu（CAM）模 型[9］（見式（2））對基質瀝青的主曲線進行擬合, 規范方法采用WLF方程作為移位因子方程（見式（3））.

式中：Gg為玻璃態模量, 模型擬合時取109Pa；ωc為交叉頻率；Re為流變學指數；me為形狀參數；C1、C2為材料常數.

基質瀝青主曲線采用兩階段方法與規范方法的擬合結果見圖5.由圖5（a）、（b）可見：兩階段法結合CA模型（TSM+CA模型）及兩階段法結合CAM模型（TSM+CAM模型）對基質瀝青的動態模量主曲線均具有較好的擬合效果, 平滑的動態模量主曲線散點基本分布在擬合曲線上；對相位角主曲線而言, 當角頻率ω＞0.1 rad/s時, TSM+CA模型具有較好的擬合效果, 當ω＜0.1 rad/s時, TSM+CA模型擬合曲線會低估真實的相位角值, 而TSM+CAM模型能極大地改善TSM+CA模型的相位角擬合效果.由圖5（c）、（d）可見：以WLF方程作為移位因子方程的規范方法并結合CA模型（WLF+CA模型）及CAM模型（WLF+CAM模型）擬合時, 擬合曲線的擬合優度R2均大于0.95, 但是平移得到的主曲線散點數據存在突變且不平滑, 擬合曲線與主曲線散點并不能較好地貼合；采用WLF+CAM模型在一定程度上改善了WLF+CA模型的擬合效果, 特別是相位角主曲線的擬合效果.這是因為CAM模型本身相較于CA模型, 對瀝青相位角主曲線的低頻段具有更好的擬合效果, 但其擬合效果仍劣于采用TSM+CAM模型, 這主要是因為規范方法采用將移位因子方程及縮減頻率與頻率的關系式代入主曲線模型進行擬合, 主曲線的確定與擬合同時進行, 取得理想擬合效果的前提是主曲線模型和移位因子方程均具有足夠的準確度.

通過比較采用規范方法與兩階段方法繪制主曲線時的擬合效果, 發現主曲線模型和移位因子方程仍有較大的改善空間.已有研究結果表明, 式（4）所示的二次多項式相較于WLF方程具有更好的擬合效果[10］, 但是該方程不滿足當T取參考溫度TRef時, 移位因子數值為零的要求.為此, 本文提出式（5）所示的改進型二次多項式移位因子方程（ponynomial）.

式中：a、b、c均為模型參數.

使用改進型二次多項式移位因子方程并結合CAM模型（ponynomial+CAM模型）對基質瀝青的主曲線進行擬合, 擬合效果見圖6.由圖6可見, 基質瀝青動態模量與相位角主曲線采用ponynomial+CAM模型的擬合效果均優于WLF+CAM模型的擬合效果, 這主要是因為改進型二次多項式相較于WLF方程對移位因子具有更好的擬合效果, 說明采用規范方法擬合瀝青基材料主曲線時, 默認使用WLF方程會潛在影響瀝青基材料主曲線的擬合效果.比較圖6與圖5（b）可知, 采用ponynomial+CAM模型的擬合效果與TSM+CAM模型仍存在較大差距, 這是因為ponynomial+CAM模型雖然改善了CA模型與WLF方程的準確度, 但是仍然不能完美地刻畫瀝青的主曲線與移位因子, 這也是研究人員提出更多新型主曲線擬合模型與移位因子方程的原因.

圖5 基質瀝青主曲線采用兩階段方法與規范方法的擬合結果Fig.5 Fitting results of two-stage method and traditional method for master curves of BA

圖6 基質瀝青主曲線采用改進的二次多項式移位因子方程的CAM模型擬合結果Fig.6 Fitting results of ponynomial+CAM model for master curves of BA

由前文比較可知, 采用TSM+CAM模型具有最好的擬合效果, 以此為基準可比較其他方法在主曲線擬合后與真實主曲線數據的偏離程度.基質瀝青采用兩階段方法及規范方法擬合后的主曲線見圖7.由圖7可知：采用TSM+CA模型、TSM+CAM模型擬合的動態模量主曲線具有較好的重合度, 在高頻段相位角下主曲線也具有較好的重合度, 但是在低頻段會表現出CA模型低估相位角值；比較規范方法擬合主曲線與基準線的位置可知, 使用規范方法擬合的動態模量主曲線會低估動態模量值, 規范方法采用WLF+CA模型、WLF+CAM模型會低估低頻段的相位角值而高估高頻段的相位角值, polynomial+CAM模型會高估相位角值.動態模量試驗是獲取瀝青基材料松弛模量Prony級數的重要方法[11-12］, 對真實動態模量與相位角數據的低估或高估會影響Prony級數的擬合效果, 并潛在地影響仿真計算結果的準確性.

圖7 基質瀝青采用兩階段方法與規范方法擬合的主曲線Fig.7 Master curves fitted by two-stage method and standard method of BA

規范方法采用將移位因子方程及縮減頻率與頻率的關系式代入主曲線模型進行擬合, 移位因子方程的參數與主曲線方程的參數同時確定, 最終的擬合效果與主曲線模型及移位因子方程的準確度存在較大關聯.兩階段方法可實現主曲線的獲取與擬合過程的分離, 其本質是將移位因子的計算和主曲線的擬合進行了分離.與規范方法相比, 兩階段方法對于參考溫度的選擇不會影響主曲線的最終形態, 而且可在主曲線的擬合過程中對不同數學模型的擬合精度及適用性進行檢驗, 對開展主曲線擬合模型與移位因子方程的研究具有重要意義.

4 穩健性驗證

為驗證兩階段方法繪制主曲線的穩健性, 本研究對瀝青砂漿及非瀝青基材料橡膠進行主曲線繪制.需要指出的是對于瀝青砂漿而言, 當用規范方法繪制主曲線時, 可采用已知主曲線模型進行擬合, 但對橡膠而言并不存在廣泛使用的主曲線模型, 因此無法使用規范方法進行主曲線擬合.選取25℃作為參考溫度, 采用兩階段方法計算得到瀝青砂漿及橡膠的主曲線, 結果見圖8.由圖8可見, 使用兩階段方法能繪制光滑的瀝青砂漿、橡膠的動態模量主曲線, 且能準確地刻畫瀝青砂漿及橡膠材料相位角主曲線的“單峰”特性, 說明本文所提出的兩階段方法對瀝青砂漿、非瀝青基材料（如橡膠）的主曲線也有很好的計算效果.

圖8 采用兩階段法計算得到的瀝青砂漿與橡膠主曲線Fig.8 Master curves of asphalt mortar and rubber by two-stage method

本文僅僅展示了不同材料動態模量與相位角主曲線的計算效果.需要指出的是, 瀝青基材料蠕變柔量主曲線或松弛模量主曲線的計算也可使用上述兩階段方法的計算原理進行.此外, 已有的研究成果表明, 瀝青混合料層間剪切強度及瀝青混合料的力學損傷行為也可使用主曲線描述[7-8］, 兩階段方法對此類問題也有較好的適用性.

5 結論

（1）提出了構建瀝青基材料主曲線的兩階段方法, 可實現主曲線的獲取與擬合2個階段的分離.通過移位因子曲線的插值與平移, 可得到任意參考溫度下的移位因子與主曲線.

（2）采用兩階段方法繪制主曲線可克服規范方法需要預設主曲線模型與移位因子方程的缺陷, 對力學行為模型未知的材料具有較好的適用性.

（3）使用規范方法結合CA模型或CAM模型擬合主曲線時, 會低估瀝青的動態模量, 高估瀝青高頻段的相位角.兩階段方法在主曲線擬合階段可對主曲線模型的準確性進行檢驗, 并可用于主曲線模型或移位因子方程的優化.

（4）兩階段方法不僅對構建瀝青基材料黏彈性力學行為主曲線有很好的效果, 對非瀝青基材料及具備時溫等效特性材料的力學行為主曲線的繪制也具有較好的擴展性.