光學系統(tǒng)降敏設計方法綜述

孟慶宇 ，秦子長,2，任成明,2，戚允升,2

（1. 中國科學院長春光學精密機械與物理研究所, 吉林 長春 130033；2. 中國科學院大學, 北京 100049）

1 引 言

獲得更高的技術指標、實現(xiàn)更好的成像性能是光學系統(tǒng)發(fā)展不變的追求。面向應用需求的不斷提升，光學系統(tǒng)向著大尺度、高精度、復雜化等方向發(fā)展，由此給光學系統(tǒng)帶來了本征像差校正難度大、失調(diào)衍生像差量級大、系統(tǒng)集成裝調(diào)復雜度高等相應問題。光學系統(tǒng)誤差敏感度變高，使誤差分配越發(fā)嚴苛，給光學系統(tǒng)的實現(xiàn)帶來了較高的制造成本與時間消耗[1]。

反射式光學系統(tǒng)作為大尺度光學系統(tǒng)的代表，雖然構型相對簡單，光學元件數(shù)量少，但像差隨著焦距與口徑的增大呈冪指數(shù)增長，導致微小的誤差擾動即會引起像質(zhì)的大幅退化。以光刻物鏡為代表的一些應用復雜光學曲面、采用離軸或非共軸方案的光學系統(tǒng)，雖然尺度不大，但是由于極限像質(zhì)要求，光學元件的初始裝調(diào)誤差要求即小于1 μm 和1?。高精度的誤差要求，給先進光學儀器的制造帶來了巨大挑戰(zhàn)，也帶來了巨大的消耗[1-4]。

無論反射式光學系統(tǒng)還是透射式光學系統(tǒng)，光學系統(tǒng)的設計與優(yōu)化，都不能單一追求對像差的完美校正，應該同步兼顧良好的工程可實現(xiàn)性。誤差敏感度作為表征光學系統(tǒng)對誤差或失調(diào)擾動的敏感程度，是衡量光學性能能否從設計到實現(xiàn)的重要指標。具備低誤差敏感度特征的光學系統(tǒng)不僅可以更好地抵抗由光學元件直接誤差或間接誤差引起的像質(zhì)退化，而且可以在光學系統(tǒng)實現(xiàn)過程中有效節(jié)約時間和經(jīng)濟成本[5,6]。因此，開展對光學系統(tǒng)低誤差敏感度設計（降敏設計）方法的研究，對光學系統(tǒng)設計與實現(xiàn)具有重要的理論和現(xiàn)實意義。

本文介紹了光學系統(tǒng)低誤差敏感度設計方法的研究現(xiàn)狀與進展，對直接優(yōu)化法、參數(shù)控制法、像差控制法等5 大類數(shù)10 種典型的設計方法進行了分類與總結，并對一些設計方法的應用情況進行了概述。最后，對光學系統(tǒng)低誤差敏感度設計的未來發(fā)展進行討論與展望。

2 直接優(yōu)化法

直接優(yōu)化法是光學系統(tǒng)降敏設計方法中一類最為簡明的設計方法。該類方法屬于定性設計方法，設計過程中并不探尋、關注與誤差敏感度具有深層數(shù)學機理關系的光學系統(tǒng)特征參數(shù)，只需要尋找與光學系統(tǒng)誤差敏感度具有高相關趨勢的條件因素，通過對條件因素的控制，獲得低誤差敏感度的光學系統(tǒng)。

2.1 全局優(yōu)化法

全局優(yōu)化法是被較早提出的光學系統(tǒng)低誤差敏感度設計方法。全局優(yōu)化法采用大樣本優(yōu)化迭代，從大量的設計樣本中選取公差魯棒性較好的系統(tǒng)，直接獲得低誤差敏感度光學系統(tǒng)。由于該方法缺少誤差敏感度理論作為強指導，因此獲取設計結果的效率低且具有盲目性。但由于該方法具備一定的實用性，且無需具備較多的誤差敏感度理論基礎，在工程設計中仍被采用。

20 世紀80 年代末到90 年代初，KUPERT，F(xiàn)ORBES G， JONES A 等人提出了全局優(yōu)化法[7-11]。全局優(yōu)化法可以在一定范圍內(nèi)搜索符合條件的光學系統(tǒng)的最優(yōu)解。2006 年，Optical Research Associates(ORA)的McGuire 提出了一種可以降低鏡頭制造難度的設計方法，方法的核心是全局優(yōu)化法，但不同的是，McGuire 通過全局搜索優(yōu)化獲得一組光學系統(tǒng)后，將各種誤差引起的光學系統(tǒng)波前誤差(Wave Front Error, WFE)變化量進行排序，并與平均值進行比較，找到對誤差敏感度影響最大的誤差類型，再針對該誤差類型進行光學系統(tǒng)優(yōu)化，獲得敏感度較低的系統(tǒng)。圖1 為全局搜索后的光學系統(tǒng)誤差敏感度排序，其中顯示對誤差敏感度影響最大的誤差類型為偏心[12]。

圖1 光學系統(tǒng)不同誤差類型的敏感度表現(xiàn)[12]Fig. 1 Sensitivity performance of different error types of optical systems[12]

2018 年，清華大學的劉新宇基于構造-迭代(Construction-Iteration, CI)設計方法，對離軸三反光學系統(tǒng)的初始結構遍歷求解并獲得若干個像質(zhì)優(yōu)化結果，對光學系統(tǒng)中的每個光學元件單獨施加位置誤差擾動，并對擾動引起的波像差變化量進行計算，獲得光學系統(tǒng)的誤差敏感度。通過對比分析，對光學元件位置誤差敏感度高的光學系統(tǒng)進行剔除，位置誤差敏感度低的光學系統(tǒng)予以保留，進而獲得了具有低誤差敏感度的離軸三反光學系統(tǒng)，該方法的設計流程如圖2 所示[13]。

圖2 搜索低誤差敏感度離軸三反光學系統(tǒng)初始結構的設計流程圖[13]Fig. 2 Design flow chart for searching the initial structure of an off-axis three-mirror optical system with low error sensitivity[13]

2.2 多重結構法

多重結構法是在原始光學系統(tǒng)結構的基礎上，建立以多種目標誤差類型、誤差量級為擾動特征的多重結構，模擬生產(chǎn)加工過程中光學系統(tǒng)期望容忍的誤差類型與誤差量級，對原始光學系統(tǒng)結構與具有誤差擾動的多重結構進行同步優(yōu)化，使所有結構的成像質(zhì)量均在可接受的范圍之內(nèi)，即可獲得能夠容忍一定誤差的光學系統(tǒng)。

2003 年，日本住友電氣工業(yè)株式會社的Fuse獲得了可用于光學系統(tǒng)降敏設計的通用程序?qū)＠?。在?yōu)化設計過程中，對一個光學系統(tǒng)建立多重結構，通過為每個公差值生成正、負擾動，同時優(yōu)化光學系統(tǒng)成像質(zhì)量與敏感度，可獲得在誤差擾動范圍內(nèi)具有良好成像質(zhì)量的光學系統(tǒng)，有效降低了光學系統(tǒng)的誤差敏感度。該方法的設計思想如圖3 所示[14]，將誤差±δ分配到對應參數(shù)上，建立與誤差分配狀態(tài)對應的評價函數(shù)，將光學系統(tǒng)誤差分配狀態(tài)下的評價函數(shù)與原始狀態(tài)下的評價函數(shù)加權求和，生成一個綜合評價函數(shù)，應用綜合評價函數(shù)優(yōu)化光學系統(tǒng)，即可獲得誤差分配范圍內(nèi)誤差敏感度低的光學系統(tǒng)。

圖3 多重結構法示意圖[14]Fig. 3 Schematic diagram of the multiple structure method[14]

在實際應用中，當對曲率、傾斜、厚度和偏心生成誤差時，一個4 片透鏡的系統(tǒng)至少需要64 種配置，優(yōu)化計算量十分巨大。

2006 年，ORA 的John R. Rogers 開發(fā)了比Fuse方法計算成本較低的版本。Rogers 將多重結構法與全局優(yōu)化法相結合，以一個鏡頭為例進行了優(yōu)化設計，使用包含誤差的多重結構模型進行全局優(yōu)化，在282 個結果中選出誤差表現(xiàn)最優(yōu)的系統(tǒng)，對其進行進一步優(yōu)化，獲得誤差敏感度低的最優(yōu)系統(tǒng)。降敏設計前后的系統(tǒng)結構如圖4 所示，與初始結構相比，光學系統(tǒng)的誤差敏感度下降了81%[15]。

圖4 設計實例：（a）降敏設計前；（b）降敏設計后[15]Fig. 4 Design example: (a) before desensitization design;(b) after desensitization design[15]

2.3 自由曲面面型優(yōu)化法

得益于計算機性能和加工能力的提升，光學自由曲面逐漸被應用到各種領域光學系統(tǒng)中。在自由曲面的設計與應用中，研究人員發(fā)現(xiàn)應用某些類型的自由曲面后，光學系統(tǒng)的誤差敏感度將得到不同程度的改善。

2012 年，美國Rochester 大學的Bin Ma 等人應用普通光學非球面與Q-type 自由曲面對比設計了手機照相物鏡[16-17]，分別如圖5(a)與圖5(b)所示。公差分析表明，在對第4 塊透鏡施加30 μm的偏心誤差后，應用Q-type 面型的光學系統(tǒng)的調(diào)制傳遞函數(shù)(Modulation Transfer Function, MTF)下降量明顯小于應用普通非球面面型的光學系統(tǒng)，如圖5(c)與圖5(d)所示。在制造過程中透鏡元件厚度變化10 μm 導致的WFE 變化如圖5(e)與圖5(f)所示，可見，應用Q-type 面型時光學系統(tǒng)的波像差變化更小。這些對比表明在該設計中，Q-type 面型自由曲面對降低光學系統(tǒng)誤差敏感度發(fā)揮了重要作用。

圖5 （a）應用非球面的手機相機設計布局圖；（b）應用Qtype 自由曲面手機相機設計布局圖；（c）應用非球面的鏡頭元件4 偏心30 μm 后的MTF 表現(xiàn)；（d）應用Q-type 自由曲面的鏡頭元件4 偏心30 μm 后的MTF 表現(xiàn)；（e）應用非球面及（f）應用Q-type 自由曲面的鏡頭元件厚度變化10 μm 的WFE [17]Fig. 5 (a) Mobile phone camera design layout with Power Series aspheres; (b) mobile phone camera design layout with Q-type aspheres; (c) MTF of Lens with Power Series aspheres element 4 with decenter of 30 μm; (d) MTF of Lens with Q-type aspheres element 4 with decenter of 30 μm; WFE of the lenses with (e) Power Series aspheres and (f) Q-type aspheres with a change in element thickness of 10 μm[17]

2014 年，Kevin P. Thompson 等人設計了一種應用了自由曲面的非共軸三反射鏡光學系統(tǒng)，如圖6 所示。與傳統(tǒng)的非球面離軸三反光學系統(tǒng)相比，該非共軸系統(tǒng)具有更低的裝調(diào)敏感度[18-19]。

圖6 非共軸自由曲面三反射鏡光學系統(tǒng)[19]Fig. 6 Non-coaxial freeform three-mirror reflective optical system[19]

在其他應用Q-type 自由曲面進行光學系統(tǒng)設計并得到降敏收益的方案中，長春理工大學的李闖等人于2017 年設計了一款包含Q-type自由曲面的電子內(nèi)窺鏡光學系統(tǒng)，通過與非球面系統(tǒng)的誤差敏感度對比分析顯示，包含Q-type非球面的系統(tǒng)具有較低的偏心與厚度誤差敏感度[20]。

3 參數(shù)控制法

光學系統(tǒng)中的某些參數(shù)與誤差敏感度高度相關，且這些參數(shù)與誤差敏感度具有明顯的規(guī)律或明確數(shù)學關系，研究人員開展了一系列的光學系統(tǒng)誤差敏感度理論研究，并建立了以參數(shù)控制為核心的低誤差敏感度設計方法。

3.1 光線角度優(yōu)化法

2003 年至2006 年，日本的Isshiki 提出了稱為“θ-segmentation”的光學系統(tǒng)降敏設計方法[21-22]。該方法對光線在每一個光學表面的入射角與折射角進行控制，構建了以入射角平方和為核心的誤差敏感度控制函數(shù)Φ、入射角與折射角方和根為核心的誤差敏感度控制函數(shù)θ，在光學系統(tǒng)優(yōu)化設計中對該函數(shù)進行控制，降低光學系統(tǒng)誤差敏感度。函數(shù)表達式如下：

在優(yōu)化過程中，Isshiki 還結合高斯逃逸函數(shù)的全局優(yōu)化方法(GE)，不斷擴展優(yōu)化空間，探索更為寬泛的θ值優(yōu)化空間，不斷降低θ數(shù)值，達到降低誤差敏感度的目的。

Isshiki 應用該方法以一個焦距為50 mm，相對孔徑為1∶1.4 的照相物鏡進行降敏設計，圖7(a)、7(b)分別為全局優(yōu)化前后的鏡頭二維圖，圖7(c)為全局優(yōu)化前后各表面的入射角變化情況，圖7(d)為誤差敏感度分析，在優(yōu)化設計后，光學系統(tǒng)的誤差敏感度得到了有效降低。

圖7 降敏設計與分析：（a）優(yōu)化前鏡頭；（b）優(yōu)化后鏡頭；（c）優(yōu)化前后光線入射角；（d）優(yōu)化前后誤差敏感度統(tǒng)計[21]Fig. 7 Desensitization design and analysis: (a) lens sections before GE2; (b) lens sections after GE2; (c) incident angles before and after GE2 and their differences; (d) statistical sensitivity to errors before and after GE2[21]

2002 年，Thales 光學公司的Jeffs 也采用了類似的光線角度控制方法對光學系統(tǒng)誤差敏感度進行控制[23]，在Jeffs 所構建的優(yōu)化評價函數(shù)中，直接控制參數(shù)是光學表面入射光線與出射光線的余弦值。

2009 年，應用光學國家重點實驗室的趙陽等人應用Isshiki 提出的誤差敏感度控制函數(shù)θ對一個可見光波段連續(xù)變焦的光學系統(tǒng)進行了設計[24]，分析結果表明，降敏優(yōu)化前后，光學系統(tǒng)的誤差敏感度得到了改善。

2021 年，中國科學院長春光學精密機械與物理研究所（簡稱長春光機所）的秦子長等人以反射式光學系統(tǒng)為模型，通過嚴格的理論推導，獲得了光線入射角與傾斜誤差所致光程差變化量之間的數(shù)學解析關系，提出了關于光學系統(tǒng)傾斜誤差敏感度的評價函數(shù)，并建立了可降低傾斜誤差敏感度的離軸三反射鏡光學系統(tǒng)設計方法[25]。設計方法中將對光線入射角與反射角的控制轉(zhuǎn)化為對光線與反射鏡交點處鏡面斜率的控制。為了避免光學系統(tǒng)出現(xiàn)某個反射鏡誤差敏感度過高、某個反射鏡誤差敏感度又過低的情況，還提出了均勻分配光學系統(tǒng)誤差敏感度的方法。在一個離軸三反光學系統(tǒng)降敏設計示例中，經(jīng)過11 次的優(yōu)化，誤差敏感度得到了有效降低。降敏設計過程中系統(tǒng)WFE 與評價函數(shù)S的變化關系如圖8 所示，設計結果對比如圖9所示。

圖8 降敏設計過程WFE 與誤差敏感度評價函數(shù)S 的變化情況[25]Fig. 8 Variation of WFE and error sensitivity evaluation function S in the desensitization design process[25]

圖9 降敏設計前后變化量對比；（a）S；（b）WFE[25]Fig. 9 S and ΔRMS WFE before and after desensitization

不同于普遍地為了降低光學元件位置誤差敏感度而減小光線入射角的方法，2019 年，清華大學的鄧玉婷基于CI 自由曲面設計方法，提出了通過增大光線入射角來減小光學系統(tǒng)面形誤差敏感度的設計方法，并以一個離軸三反光學系統(tǒng)為例進行了設計。結果表明，應用該降敏方法獲得的光學系統(tǒng)三面反射鏡的面形誤差敏感度得到了降低，如圖10 所示[26]。

圖10 光學系統(tǒng)面形誤差敏感度曲線[26]Fig. 10 Sensitivity curve of the optical systems to surface figure errors[26]

3.2 離軸量控制法

2018 年，長春光機所的孟慶宇等人對離軸光學系統(tǒng)受到誤差擾動后產(chǎn)生的光程變化進行分析，確定了離軸量是影響離軸光學系統(tǒng)誤差敏感度的重要因素，基于理論分析提出了面向離軸反射式光學系統(tǒng)的調(diào)整-優(yōu)化-評估（Adjustment-Optimization-Evaluation，AOE）降敏設計方法[27]。在設計方法中，以反射鏡離軸量為調(diào)整量，以光學系統(tǒng)成像質(zhì)量和誤差敏感度為評價標準，通過對離軸量、成像質(zhì)量和誤差敏感度迭代分析與設計，獲得像質(zhì)良好且誤差敏感度較低的離軸三反光學系統(tǒng)。采用該設計方法設計了焦距為3 600 mm，相對孔徑為1∶15，視場角為1°×2°的離軸三反系統(tǒng)。設計結果分析顯示，設計過程中對離軸量數(shù)值的不斷降低有效降低了系統(tǒng)誤差敏感度，如圖11 和圖12 所示。

圖11 AOE 降敏設計過程中的光學系統(tǒng)：離軸量（a）350 mm；（b）250 mm；（c）200 mm；（d）200 mm，傾斜三鏡和像面消除光線遮攔和光線交叉[27]Fig. 11 Optical system in AOE desensitization design process:off-axis magnitude (a) 350 mm; (b) 250 mm;(c) 200 mm; (d) 200 mm, tilt tertiary mirror and image plane to eliminate ray obsuration and ray crossing[27]

圖12 失調(diào)擾動引起的RMS WFE 改變量[27]Fig. 12 RMS WFE increment caused by misalignment perturbations [27].

3.3 光學元件形狀參數(shù)控制法

1998 年，美國亞利桑那大學的Sasian 和Descour 提出了表征透鏡特征的形狀參數(shù)S和W，其中S可用來衡量各光學表面是否滿足不暈條件或是否與光闌同心，用于表征各光學表面的對稱度。其表征的是各光學表面加權光焦度平方平均數(shù)的平方根[28]，一些設計分析表明，當光學系統(tǒng)的S和W值較小時，光學系統(tǒng)同時具備更好的像差平衡能力和更低的誤差敏感度[29]。據(jù)此北京理工大學的程學敏于2005 年提出了一種在鏡頭優(yōu)化過程通過控制形狀參數(shù)S和W數(shù)值，以降低光學系統(tǒng)誤差敏感度的方法[30]，并以一個攝影鏡頭為例進行了優(yōu)化與分析，圖13 為攝影鏡頭優(yōu)化前后結構圖。優(yōu)化前鏡頭S和W值分別為0.47 和0.95，優(yōu)化后S和W值分別為0.47 和0.72，MTF 公差分析顯示優(yōu)化后的鏡頭具有更好的誤差敏感度表現(xiàn)，如圖14 所示。

圖13 攝影鏡頭：（a）降敏優(yōu)化前；（b）降敏優(yōu)化后[30]Fig. 13 Photographic lens (a) before and (b) after desensitization optimization[30]

圖14 MTF 下降概率（15 lp/mm）；降敏優(yōu)化前（陰影條），降敏優(yōu)化后（黑條）[30]Fig. 14 Probable decreases of MTF at 15 lp/mm before(shadowed bars) and after desensitization optimization (black bars)[30]

2013 年，巴西圣保羅大學圣卡洛斯物理研究所的Lucimara 對兩鏡反射式光學系統(tǒng)的誤差敏感度理論進行了研究[31]，提出了可以通過適當?shù)剡x擇次鏡非球面的面型參數(shù)，以實現(xiàn)在次鏡擾動的情況下，使全視場三階彗差保持不變，相應地降低兩鏡反射式光學系統(tǒng)對偏心、傾斜的誤差敏感度的方法，不同組合的非球面系數(shù)與弧矢方向偏心、傾斜敏感度之間的關系如圖15 所示。

圖15 不同組合的非球面系數(shù)與誤差敏感度關系。（a）弧矢方向偏心；（b）弧矢方向傾斜[31]Fig. 15 Relationship between aspheric coefficients and error sensitivity of different combinations. (a) Decenter in the x-direction. (b) Tilt in the x-direction [31]

2022 年，西班牙Photonicsens 公司的Leticia Carrión-Higueras 提出在優(yōu)化的過程中，減少高階非球面系數(shù)的數(shù)量有助于減小光學系統(tǒng)的誤差敏感度。其將該方法與多重結構法結合，提出了一種組合降敏設計方法，并分別與單獨采用減少高階非球面系數(shù)的數(shù)量法或者多重結構法進行對比，將這3 種降敏設計方法應用于一個具有高階非球面的透鏡組設計中。設計結果如圖16 所示。對3 種方法獲得的透鏡組進行誤差敏感度分析，結果顯示，應用組合降敏設計方法獲得的透鏡組具有更小的波像差，以及誤差干擾下更好的MTF，如圖17（彩圖見期刊電子版）所示，圖中紅色線代表原始系統(tǒng)，藍色線代表單獨采用減少高階非球面系數(shù)的數(shù)量法，綠色線代表多重結構法，黑色線代表采用組合降敏設計方法，實線代表不包含誤差的光學系統(tǒng)，虛線代表包含誤差的光學系統(tǒng)[1]。

圖17 應用Leticia Carrión-Higueras 的三種方法降敏設計前后對比圖：（a）降敏設計前后透鏡組的波像差；（b）降敏設計前后系統(tǒng)的MTF[1]Fig. 17 Comparison diagrams before and after desensitization design using three methods proposed by Leticia Carrión-Higueras. (a) WFE of lens group before and after desensitization design. (b) MTF of system before and after desensitization design[1]

3.4 光程控制法

2020 年，長春光機所的孟慶宇等人以同軸兩反光學系統(tǒng)作為研究對象，提出了以誤差引起的光學系統(tǒng)的任意一根光線的光程變化量(Optical Path Variation, OPV)作為誤差敏感程度的評價標準，理論推導了由反射鏡位置誤差引起的光程變化量的數(shù)學解析表達式，并在光學系統(tǒng)中應用光線追跡的計算方法驗證了理論推導的正確性，理論模型如圖18 所示[32]。基于理論研究，提出了同軸反射式光學系統(tǒng)降敏設計方法。以一個焦距為5 600 mm 的同軸兩反系統(tǒng)為例，通過15 輪迭代優(yōu)化，設計了同時滿足OPV 與波像差指標的光學系統(tǒng)，并通過分析OPV 與波像差變化量的關系，驗證了以光程變化量作為標準來評價誤差敏感度的正確性，也證實了該降敏設計方法的有效性，如圖19 所示。

圖18 OPV 推導用光學系統(tǒng)模型[32]Fig. 18 Optical system modelfor OPV derivation [32]

圖19 降敏優(yōu)化過程中ΔRMS WFE 與OPV 的變化情況[32]Fig. 19 Variation of OPV and ΔRMS WFE in desensitization optimization process[32]

3.5 波前差分誤差控制法

在公差分析能力上，波前差分算法速度快，兼具有限差分算法和蒙特卡洛算法的優(yōu)點?；诓ㄇ安罘址椒?，CODE V 光學設計軟件在1978 年將Rimmer 開發(fā)的算法用于公差功能，比其他商業(yè)軟件早實施了幾十年。在波前差分算法下，CODE V 可以運行降低光學系統(tǒng)誤差敏感度的SAB(Sensitivity As Built)設計功能[33]。此外，CODE V 還開發(fā)了可以降低單一光學表面誤差敏感度的SN2 功能[34]。

2006 年，日本的Akira Yabe 認為基函數(shù)的線性組合可以用來表示光學元件的表面誤差，將每個基函數(shù)的誤差敏感度作為優(yōu)化目標，以控制光學元件表面不規(guī)則度的誤差敏感度。圖20 為緊湊變焦鏡頭在全局優(yōu)化過程中對非球面表面不規(guī)則度進行控制前后的誤差評價函數(shù)對比圖，f1的值是對基函數(shù)f1 的敏感度，f1、f2、f3 的值是所有非球面的均方根（Root Mean Square, RMS）值。由圖20 可以看出，敏感度控制可以在優(yōu)化過程中使靈敏度保持在較低水平[35]。2010 年，Akira Yabe構建了一個誤差敏感度控制函數(shù)，包括偏心控制函數(shù)和曲率誤差控制函數(shù)。該函數(shù)以制造誤差對光學系統(tǒng)的波前方差增量的期望值為核心，在優(yōu)化過程中控制該函數(shù)，通過對MTF 的蒙特卡洛模擬驗證了該函數(shù)對降低光學系統(tǒng)制造誤差敏感度的有效性，且該控制函數(shù)在使用中無須額外的計算時間，可應用于多數(shù)光學系統(tǒng)設計過程中[36]。

圖20 全局優(yōu)化過程中對靈敏度進行控制[35]Fig. 20 Control of the sensitivity during global optimization[35]

2020 年，美國FiveFocal LLC 公司的Rob Bates 對降敏設計方法進行了歸納與對比，針對微型相機非球面鏡頭提出了改進的波前差分誤差降敏設計方法?；阽R頭對偏心誤差的敏感度特征，構造了一個僅計算偏心所致波前差分誤差的操作數(shù)，并通過對其進行控制展開光學系統(tǒng)降敏設計，并與其他5 種降敏設計方法進行了對比設計，如圖21 所示[37]。

圖21 非球面微型相機鏡頭降敏設計對比：（a）全局搜索法；（b）全差分波前誤差優(yōu)化法；（c）降低光學入射角；（d）降低傾斜致彗差；（e）多重結構法；（f）降低偏心所致差分波前誤差[37]Fig. 21 Comparison using different desensitization design methods for aspheric miniature camera lenses. (a)Global search method. (b) Full differential wavefront error integrated optimization. (c) Reduction of ray angle of incidence. (d) Reduction of tilt-induced axial coma. (e) Zoomed configurations. (f)Reduction of decenter-induced differential wavefront error[37]

4 像差控制法

光學系統(tǒng)敏感度的高低本質(zhì)上是誤差對光學系統(tǒng)像差場平衡的破壞程度，光學系統(tǒng)的誤差敏感度與像差之間存在著較強的相關性。研究人員從這一角度提出了許多降敏設計方法，包括通過優(yōu)化光學系統(tǒng)在誤差干擾前后某項像差的大小，降低光學系統(tǒng)誤差敏感度，還有研究人員發(fā)現(xiàn)某些初級像差之間存在互相補償、抵消的關系，同樣可以降低光學系統(tǒng)的誤差敏感度。

1962 年，王之江在所著的《光學設計理論基礎》一書中對光學系統(tǒng)參數(shù)變化對系統(tǒng)像差的影響做了理論推導，并求得了光學表面偏心誤差的允許量[38]。1966 年，倫敦帝國理工學院物理系HOPKINS H H 與TIZIANI H J 分解了透鏡可以產(chǎn)生的誤差類型，并用光學表面沿光軸的位移和關于光軸的角傾斜來表征光學元件表面的小量偏心，計算了由光學元件表面傾斜導致的圖像橫向偏移和彗差，并分析了該彗差對系統(tǒng)波像差的貢獻[39]。

1994 年，英國愛丁堡皇家天文臺的Gavriel提出了針對兩反光學系統(tǒng)的降敏設計方法[40]。該方法應用透鏡補償反射鏡位置失調(diào)引起的彗差。RC 系統(tǒng)中次鏡傾斜、偏心和軸向位移產(chǎn)生的像差如圖22 所示，圖中橫坐標為系統(tǒng)高斯入射高度比h2/h1，偏心產(chǎn)生的像差e隨著h2/h1增大而增大，軸向位移產(chǎn)生的像差δd隨h2/h1增大而減小，傾斜產(chǎn)生的像差t在h2/h1=0.25 時達到峰值。Gavriel 通過對平衡系統(tǒng)位置失調(diào)后產(chǎn)生的衍生像差進行分析，通過補償像差的方法來降低反射式光學系統(tǒng)誤差敏感度。

圖22 光學系統(tǒng)中次鏡傾斜、偏心和錯位產(chǎn)生的像差[40]Fig. 22 Misalignment aberrations for tilt, decenter and despace of the secondary mirror[40]

1998 年，加拿大的Betensky 在焦距為10 mm，相對孔徑為1∶4，視場角為25°的三片式透鏡的設計中應用非球面來校正光學系統(tǒng)像差，減輕了在傳統(tǒng)光焦度“正”“負”“正”球面透鏡構型中，過多地依賴單片負透鏡來補償其他兩片正透鏡的像差的壓力，降低了單片透鏡由于承擔補償像差量過大，而引起的失調(diào)敏感度過高的問題，提高光學系統(tǒng)對失調(diào)擾動的魯棒性。圖23 為降敏設計前后三片式光學鏡頭的結構圖，圖24 為三片式光學鏡頭在降敏設計前后MTF 曲線，對比設計分析表明，應用非球面的透鏡系統(tǒng)在誤差敏感度與成像質(zhì)量兩方面的表現(xiàn)均得到了提高[41]。

圖23 三片式鏡頭。（a）降敏設計前；（b）降敏設計后[41]Fig. 23 Triplet lens (a) before and (b) after desensitization design[41]

圖24 第二元件偏心-0.025 mm 后的MTF（50 lp/mm）。（a）降敏設計前；（b）降敏設計后[41]Fig. 24 MTF at 50 lp/mm with second element decentered-0.025 mm (a) before and (b) after desensitization design[41]

2010 年，美國亞利桑那大學的Lirong Wang提出了CS 和AS 評價函數(shù)，分別用于評價光學元件傾斜引起的恒定彗差和線性像散的敏感度[42]。Lirong Wang 應用CS 和AS 評價函數(shù)對10 個顯微鏡設計方案進行了敏感度評估，還應用CS 和AS 評價函數(shù)對典型的Petzval 鏡頭、Cooke 三片式鏡頭和Double-Gauss 鏡頭的誤差敏感度進行了分析。結果顯示Petzval 鏡頭的CS 和AS 數(shù)值最低，Cooke 三片式鏡頭的CS 和AS 數(shù)值最高，如圖25 所示。結果與兩種鏡頭采用Zemax 軟件分析的誤差敏感度相一致，如圖26 所示。Lirong Wang 指出，Cooke 三片式鏡頭誤差敏感度最高的原因是負透鏡占據(jù)系統(tǒng)的光焦度過大，與Betensky 所述原理一致。

圖25 Petzval、Cooke 和double-Gauss 鏡頭評價平均值[42]Fig. 25 Average of two figures of merit for the Petzval,Cooke triplet and double-Gauss lenses[42]

圖26 ZEMAX 分析的Petzval、Cooke 和double-Gauss 鏡頭的半徑、厚度、表面傾斜誤差敏感度結果[42]Fig. 26 ZEMAX Tolerance sensitivity analysis by ZEMAX for the radius,thickness and surface tilt of Petzval, Cooke triplet and double-Gauss lenses[42]

2011 年，長春理工大學的張遠健等人提出控制光學系統(tǒng)中各元件表面的初級像差值，通過“小像差互補”達到系統(tǒng)像差平衡的方法，以降低系統(tǒng)誤差敏感度，提高光學系統(tǒng)的穩(wěn)定性[43]。2021年，長春理工大學的劉智穎等人應用“小像差互補”的設計方法實現(xiàn)了一個小型紅外顯微光學系統(tǒng)的設計，降低了光學元件的公差敏感度[44]。這些方法與Betensky 的方法具有相同之處，均是通過降低每個光學元件的像差貢獻量，避免產(chǎn)生元件失調(diào)后對光學系統(tǒng)像場平衡造成的巨大破壞。

2018 年，長春光機所的Kun Zhang 等人理論分析了初級像差與誤差之間的關系，并提出了一種通過優(yōu)化光學系統(tǒng)初級像差來降低畸變敏感度的方法[45]，優(yōu)化前后光學系統(tǒng)結構圖如圖27 所示，優(yōu)化前后光學系統(tǒng)對偏心和傾斜產(chǎn)生的畸變變化量如圖28 所示，優(yōu)化過程降低了光學系統(tǒng)畸變敏感度。

圖27 設計實例：（a）優(yōu)化前；（b）優(yōu)化后[45]Fig. 27 Design example. (a) Before optimization. (b) After optimization[45]

圖28 優(yōu)化前后的畸變敏感度： （a）表面偏心畸變敏感度；（b）表面傾斜畸變敏感度[45]Fig. 28 Distortion sensitivities before and after optimization. (a) Distortion sensitivity of the surface decenter. (b) Distortion sensitivity of the surface tilt[45]

2022 年，Sasian 提出了以控制光學系統(tǒng)均勻像差和線性像散來降低光學系統(tǒng)誤差敏感度的方法。該方法的評價標準為光學系統(tǒng)失調(diào)后像差量的大小，參與評價的像差有：球差σ1、彗差σ2、像散σ3和曲率σ4。降敏設計前后光學系統(tǒng)布局圖如圖29 所示。降敏設計前后光學系統(tǒng)失調(diào)后像差量如圖30（彩圖見期刊電子版）所示，圖中綠色曲線表示球差σ1，藍色曲線表示彗差σ2，紅色曲線表示像散σ3，品紅色曲線表示場曲率σ4[6]。

圖29 降敏設計前（a）、后（b）光學系統(tǒng)布局圖Fig. 29 Layout of optical system before (a) and after (b)desensitization design[6]

圖30 光學系統(tǒng)失調(diào)時產(chǎn)生的均方根像差量。（a）降敏設計前，（b）降敏設計后[6]Fig. 30 RMS aberration caused by misalignment of optical system. (a) Before desensitization design.(b) After desensitization design[6]

5 其他方法

除了以上歸納的方法，還有一些其他光學系統(tǒng)降敏設計方法，如一些研究人員選擇將誤差敏感度評價函數(shù)與優(yōu)化算法結合進行降敏設計。2011 年，巴西S?o José dos Campos 國家空間研究所的Bráulio 等人，應用兼顧成像質(zhì)量與誤差敏感度的多目標優(yōu)化算法實現(xiàn)了光學系統(tǒng)降敏設計[46]。研究人員應用此方法尋找攝遠型光學系統(tǒng)最優(yōu)解，首先在函數(shù)空間繪制了兩個函數(shù)F1 和F2，F(xiàn)1 是像質(zhì)評價函數(shù),由全視場中每個波長的波像差方和根值表示，F(xiàn)2 是敏感度評價函數(shù)，Bráulio等引用了Isshiki 提出的以入射角和折射角方和根為核心的評價函數(shù)。

該方法采用一種變體NSGA-II 遺傳算法找到這兩個函數(shù)的Pareto Front 的非支配解，該非支配解所在區(qū)域內(nèi)的光學系統(tǒng)結構像質(zhì)與敏感度可以達到平衡。優(yōu)化過程中找到的非支配解被繪制在評價函數(shù)的空間中，如圖31 所示。圖中展示了4 種不同的結構，第一種結構F1 最小，像質(zhì)最好；第4 種結構F2 最小，敏感度最低；第2 種和第3 種結構位于最佳解區(qū)間，即在可以保證像質(zhì)的同時使系統(tǒng)具有相對較低的敏感度。該算法可以在優(yōu)化過程中返回多重解，與其他返回單一解的方法不同。這使設計人員可以更好地在設計光學系統(tǒng)時在成像質(zhì)量和制造誤差敏感度方面取得平衡。

圖31 在函數(shù)空間中繪制的通用多目標問題的解決方案[46]Fig. 31 Solutions for a generic multi-objective problem plotted in the functions space[46]

6 結束語

本文對光學系統(tǒng)降敏設計方法的發(fā)展與研究現(xiàn)狀進行了總結。綜述了光學系統(tǒng)誤差敏感度理論、降敏設計方法及典型應用。誤差敏感度是影響光學系統(tǒng)最終成像質(zhì)量的重要因素，具有低誤差敏感度特征的光學系統(tǒng)，能夠降低對光學元件加工精度與光學系統(tǒng)裝調(diào)精度的要求，放寬制造公差，從而降低光學系統(tǒng)的建造成本。幾十年來，研究人員在光學系統(tǒng)降敏設計方法研究領域不斷探索，獲得了一系列的成果，目前還有一些亟待解決的問題以及值得進一步探索的方向，例如：(1)近年來，復雜光學曲面作為光學工程領域的前沿技術之一，已經(jīng)在越來越多的光學系統(tǒng)中得到了應用，實踐表明，一些復雜光學曲面對光學系統(tǒng)誤差敏感度的表現(xiàn)具有一定的積極作用，但是目前尚沒有基于復雜光學曲面的誤差敏感度理論與降敏設計方法的系統(tǒng)性研究；(2)已有的光學系統(tǒng)誤差研究類型多數(shù)以鏡面傾斜、偏心為主，光學系統(tǒng)的誤差敏感度除了光學加工、裝調(diào)的影響，外部環(huán)境如力學、熱學特性也也會改變光學元件的曲率半徑、間隔以及玻璃材料的相關特性。對于高精度復色光系統(tǒng)，尤其是一些復消色差鏡頭，光學材料的屬性誤差是影響光學系統(tǒng)成像質(zhì)量的關鍵，但目前關于玻璃材料屬性的誤差敏感度研究較少；(3)誤差敏感度是光學系統(tǒng)能否從設計到實現(xiàn)的重要表征，目前仍沒有一個全面包含像質(zhì)評價和各種指定類型誤差敏感度評價的綜合優(yōu)化程序，需要探索更全面的設計方法與優(yōu)化算法，使降敏設計方法得到更加便捷與廣泛的應用。以上只是簡要列舉了幾點未來可能的研究方向，我們課題組也正在致力于以上幾個方面的研究，但誤差敏感度理論的廣闊研究方向遠不止于此。

光學系統(tǒng)誤差敏感度理論與低誤差敏感度設計方法仍將是光學設計領域未來的研究熱點，研究成果將一定會有效推動應用光學領域的發(fā)展，對光學系統(tǒng)的性能有效實現(xiàn)與制造經(jīng)濟性提供巨大的幫助。