基于POE模型的可拆裝機器人求解和仿真

李 斌，李夢奇，李冬英，梁 睿

（邵陽學院，邵陽 422000）

0 引言

在高速、高效、節能的柔性生產線上，以及大學用于教學的實驗室，可拆裝機器人由于其拆裝便捷、輕質靈活、響應迅速的特性而被廣泛應用。由于頻繁拆卸帶來的誤差，機器人定位不準確，機器人的工作空間不確定，這給機器人工作空間點集的準確預測帶來難度。

精準預測需要依據機器人運動學模型[1]。機器人運動學模型分為兩大類：齊次變換矩陣類（D-H模型，MD-H模型，S模型等）[2,3]、代數類（POE模型，CPC模型，四元數模型等）[4]，當前機器人中使用最廣泛的是D-H模型，但D-H模型在兩相鄰關節平行或垂直時，存在奇異點導致機器人的工作空間有部分點位無法到達，導致預測的空間點集不完整。由于POE模型滿足完整性和連續性，沒有奇異點能完整描述機器人的空間點集合，本文基于POE方法建立運動學模型進行機器人正逆解運算，進行仿真計算，預測可拆裝機器人的工作空間。

1 POE方法建模

機器人末端執行器位姿可以通過建立運動學模型，描述相鄰兩連桿的相對空間位姿，然后將各個關節的位姿疊加獲得。

1.1 旋量代數基礎理論

根據Chasles定理[4]，剛體任意空間運動都能用剛體繞一直線旋轉和沿此直線平移的復合運動表示，此復合運動稱為螺旋運動，其無窮小量為螺旋運動旋量ξ∈R6。

在空間中一軸做螺旋運動，其單位方向向量為ω=[ωx,ωy,ωz,]，將ω的反對稱矩陣表示為：

軸附近選取任意一點，其轉動角為θ，此運動的螺旋軸為，其在李代數中相對應的4×4矩陣如式(2)所示：

其旋轉運動可表示為：

其平移運動可表示為：

那么任意螺旋運動都可用旋量指數積形式表示為：

1.2 POE運動學模型

根據POE模型建立規則，建立基坐標系S和末端坐標系T，如圖1所示，計算末端坐標系相對基坐標系的位姿M如式(6)所示：

圖1 可拆裝機器人簡圖

獲得機器人POE模型參數，如表1所示。

表1 機器人POE參數模型

基于旋量理論建立的POE模型使參數變化曲線光滑，克服了運動學結算過程中的奇異性問題。

2 機器人運動學求解

2.1 機器人運動學正解

針對可拆裝機器人的POE運動學模型求正解，就是已知機器人的各個關節角度θi求得末端執行器的位姿，而是相鄰關節的位姿關系式。通過關系式的相乘實現位姿的轉換，最終求得末端執行器的位姿。

末端執行器位姿矩陣：

注：其中ci表示cosθi；si表示sinθi；表示(cosθ2)2；表示(sinθ2)2，px,py,pz也可以有運動學模型計算得到，由于px,py,pz表達式過于復雜此處省略。

2.2 機器人運動學逆解

機器人逆運動學求解是建立在正運動學基礎上的，通過正解求得位姿反向求解出機器人各關節角度，一般求逆解可以應用幾何解析法，代數法，Paden-Kahan子問題法[6]，若是求解的逆運動學方程解析解過于復雜，還可以使用Matlab作為輔助工具。

從式(10)～式(18)看出求逆解的過程十分復雜，此處需選用牛頓拉夫遜法（Newton-Raphson Method）進行求解，步驟如下：

1）牛頓拉夫遜法求解，確定函數G(θ)=F(θt)-Tt，Tt實質就是正解計算時求得的末端位姿。

2）首先需要設定初始值θ0，求解次數k=0，寫出一節泰勒展開式：

注意事項：

（1）此處G(θ)可微分；

（2）J+為偽逆矩陣，目的是為了優化雅克比矩陣不可逆時無解現象，當J矩陣的行數大于列數，當J矩陣的列數大于行數。

3 機器人空間點集仿真

機器人工作空間是機器人可到達最遠工作點和最近工作點的集合，此點集合標志著機器人的工作區域和本身特性，是確定機器人性能和保障操作員安全的重要指數。

結合Matlab仿真實驗計算可拆分機器人工作空間，機器人關節角區間設置如表2所示。

表2 機器人關節角區間參數

使用蒙特卡洛法在六個關節角對范圍內選取隨機數值，然后分別對D-H模型和POE模型進行正解運算，選取10000、15000、20000、25000、30000、35000隨機點分布于機器人工作空間中，形成點云集合。

在Matlab中使用改進的alphaShape函數對機器人空間點云進行擬合體積計算，步驟如下：

1）選取三角網格作為工作空間點云包絡的基本單元，減少計算量。

2）選取優質三角網格，任意一個三角網格某條邊長大于2倍半徑（alpha），抹除此三角網格。

3）當三角網格某條邊上的兩端點都在以alpha為半徑的一個圓上，此時三角網格的其余點在此圓內，則此網格需要抹除。

4）最后計算優化后的點云包絡體積，得到工作空間體積，如圖2所示。

圖2 POE模型和D-H模型點云包絡

由表3可知，同樣機型同樣的去點數下，在使用POE模型預測工作空間比D-H模型要更加完整，點集覆蓋范圍更全面，包絡格質量更均勻。

表3 POE模型和D-H模型包絡體積

4 結語

在柔性生產線中具備高靈活性，高適應性，高響應性的可拆裝機器人被廣泛應用，但是由于其應用環境的時常變換，對于機器人工作空間的限制各有不同。本文對可拆裝機器人進行POE運動學建模，進行正逆解解算，驗證可拆裝機器人POE模型的合理性，并采用蒙特卡洛法選取大量的隨機點形成工作空間點集，隨后進行網格優化后形成點云包絡格，計算出工作空間體。結果表明：

同等數量點情況下，可拆裝機器人建立POE運動學模型預測工作空間比DH模型更加完整，點集覆蓋范圍更廣。

同等數量點情況下，POE模型網格比D-H模型更加均勻，工作空間外輪廓更加平滑，表明POE模型的奇異點少，連續性好。

在點數逐步提升的過程中，POE模型和D-H模型工作空間都有明顯的提升，但POE模型增長速率明顯減緩趨于穩定，POE模型計算全工作空間速率更加迅速。