擾動振幅和擾動頻率對Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou 回歸現象的影響

鄭州 李金花 馬佑橋 任海東

1) (南京信息工程大學物理與光電工程學院,南京 210044)

2) (江蘇海威光電科技有限公司,南通 226000)

Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou (FPUT)回歸現象指一個多模非線性系統能周期性回到初始激發態的一個復雜的非線性過程,與該非線性系統的調制不穩定性密切相關.針對實驗中能如何較為方便地觀察到FPUT 回歸現象以及能如何觀察到更多FPUT 循環的問題,本文基于調制不穩定性重點分析研究了施加在平面波上的擾動振幅和擾動頻率對所觀察到的FPUT 循環的影響.我們發現,擾動振幅可以極大程度地影響所觀察到的FPUT 現象: 1) FPUT 循環數對擾動振幅的值非常敏感,擾動振幅越大,FPUT 循環數越多;2) 擾動振幅較小(較大)時,相應的FPUT 循環頻譜就比較規則(很不規則).相比之下,擾動頻率對FPUT 循環數的影響不是很大(在最佳調制頻率附近的一個小范圍內,可觀察到FPUT 循環最多),但是它對脈沖周期性振幅最大位置處所激發的高階頻率成分的影響比較大,擾動頻率越大(越小),其可以激發的高階頻率成分越少(越多).本文的研究結果將對FPUT 實驗的觀測和理論發展提供一定的幫助.

1 引言

Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou (FPUT)回歸現象指一個多模系統周期性回歸到初始激發態的非線性過程[1],是物理學領域中經典的非線性問題,由Fermi 等[1]在1955 年使用第一代計算機仿真模擬多粒子非線性振動時發現.FPUT 的發現是非線性物理學發展史上一個重要的里程碑,該研究直接促使了1965 年“孤子”概念的提出,是近代理論物理和可積系統研究的起點[2].隨著儀器精度和制作工藝的進步,近年來FPUT 回歸現象陸續在熱傳輸動力學[3]、晶格動力學[4]、流體力學[5]以及非線性光學[6]等不同物理領域的實驗中被觀察到.

調制不穩定性是加在平面波上的微小擾動隨傳輸距離(或傳輸時間)指數增長的一種不穩定性行為.由于能量不會無限增長,所以加在平面波上的微小正弦擾動在實際的模擬和實驗中均不會隨傳輸距離無限地指數增長,而是當其增加到一定程度后快速衰減,形成一系列的周期性脈沖,該過程隨著傳輸距離(或傳輸時間)的增加會周期性地復現,這一演化過程即FPUT 回歸現象[7-9].理論上講,FPUT 回歸現象與該非線性系統的嚴格雙周期波解[10-16]、Akhmediev 呼吸子解[17]及其他新型局域波解[18,19]等密切相關.盡管如此,人們發現FPUT回歸現象的主要特征可以通過分析平面波的調制不穩定性來定量地獲取[10-16],國際上發現了最新且非常有趣的研究結果,如由擾動平面波的非線性演化描述一定高階效應下非線性系統的解析非對稱FPUT 回歸頻譜[20],以及不同擾動頻率會帶來結果相變[21]等.

自2001 年在光學實驗中首次觀察到FPUT現象以來[6],FPUT 的研究再次成為了非線性物理領域的一個研究熱點[7-9,22-30].理論方面,人們構建了形成FPUT 不同種類的呼吸子解及雙周期波解[7-9]、預測了首次FPUT 及第二次FPUT 出現的位置[23,24]、研究了高階諧波的形成過程[25-27,31]、泵浦和擾動信號的初始相位差以及線性損耗和高階色散對FPUT 回歸現象的影響[28-30]等.實驗方面,人們設計了不同的實驗方案觀測FPUT 回歸現象,且改進實驗方案嘗試在實驗中能觀察到更多的FPUT 循環[30,32-37].

文獻[30,32-37]所報道的實驗基本上都是給定一組特定的擾動參數來觀察FPUT 回歸現象,同時從理論上一定程度地討論了各項擾動參數對FPUT 回歸現象的影響[30,32-37].針對如何在光學實驗中能相對容易地觀察到FPUT 回歸現象,以及如何能觀察到更多FPUT 循環的問題,本文基于調制不穩定性分析通過數值模擬方法較為系統地研究了擾動振幅和擾動頻率對FPUT 回歸現象的影響.本文研究結果將為FPUT 的實驗觀察提供一定的理論支持.

2 模型方程與調制不穩定性增益譜

本文主要考慮非線性光纖光學領域的經典模型方程,忽略光纖的損耗,平面波在單模光纖中傳播的非線性控制方程為

其中,A為單模光纖中電場的慢變包絡,z是傳播距離,t是時間坐標,β2是群速度色散系數,三階克爾非線性系數γ=2πn2/(λAeff)(n2是折射率,λ是載波波長,Aeff是有效模面積).方程(1)的平面波解為

其中,P0是z=0 處的入射功率,γP0z是克爾效應引起的非線性相移.平面波(2)式在光纖的正常色散區域(β2＞0)比較穩定,施加在平面波上的微小擾動不會隨傳輸距離的增加而增長,而在光纖的反常色散區域(β2＜0),平面波是不穩定的,加在平面波上的微小擾動會隨著傳輸距離的增長而急劇增長.依據線性穩定性分析方法,其對應的調制不穩定性增益譜為[38]

峰值增益及最佳擾動頻率(即能產生峰值增益的擾動頻率)分別為

在(3)式和(4)式中,K和Ω分別代表擾動波束和擾動頻率.

3 FPUT 回歸現象

調制不穩定性與FPUT 回歸現象密切相關,本文基于調制不穩定性研究擾動振幅和擾動頻率對FPUT 回歸現象的影響,采用實驗中常見的一類初始條件[30,32-36],即

其中δ為擾動振幅,Ω為滿足(3)式的擾動頻率.

人們在研究FPUT 問題時,通常都是在某一給定擾動振幅和擾動頻率條件下進行,而忽略了不同擾動振幅和不同擾動頻率對所觀察到的FPUT現象的影響.本文發現擾動振幅和擾動頻率均可以對所觀察到的FPUT 現象產生極大的影響,研究中采用常見的單芯單模非線性光纖參數即β2=—0.02 ps2/m,γ=2.5 kW—1·m—1.這里我們需要聲明本文以下結果的討論適用于其他在實驗中常見的入射條件[30,32-36].

3.1 擾動振幅的影響

在本節研究中,不失一般性地固定擾動頻率為能產生增大增益的最佳擾動頻率,即Ω=Ωmax=.圖1(a)和圖1(b)分別描述平面波隨傳輸距離的三維波形演化和頻譜演化(δ=0.001,P0=1 kW,Ω=Ωmax=rad/ps);圖1(c)和圖1(d)給出了脈沖振幅在首次增長到峰值的空間距離處(z1FPUT=3.2 m)的波形和頻譜.如圖1(a)所示,脈沖振幅增加至最大值后快速衰減至初始狀態,即FPUT 回歸現象.從圖1(a)和圖1(b)中可觀察到3 個完整的FPUT 循環,z1FPUT=3.2 m 與文獻[23,24]中所預測的z1FPUT==3.04 m 符合地非常好,相鄰兩次脈沖振幅增長至最大值的空間位置呈等間距分布.圖1 所反映的FPUT 回歸現象的主要特征與文獻[23,24]在同樣初始條件下的結果類似.當傳輸距離約大于20 m時,FPUT 現象消失,非線性波的演化開始變得毫無規律,這應該是由非線性所激發的多頻率成分之間的相互作用所導致,此外可能和數值模擬所引入的噪聲有一定的關系(在實際實驗中,噪聲總是存在,我們的模擬結果是合理的).

圖1 非線性光纖中,擾動平面波(a)和相應頻譜(b)隨傳輸距離的演化;平面波演化至z1FPUT=3.2 m 處的波形(c)及頻譜(d).圖中P0=1 kW,δ=0.001,Ω=Ωmax=rad/psFig.1.Evolution of perturbed plane wave (a) and corresponding spectra (b) with transmission distance;wave form (c) and corresponding spectra (d) at z1FPUT=3.2 m in typical single-core fibers for P0=1 kW,δ=0.001,Ω=Ωmax=rad/ps .

當擾動振幅增長時 (δ=0.1,其他參數不變),平面波的演化如圖2 所示.與圖1 相比,平面波的演化過程主要有三方面顯著的變化.第一,FPUT循環數明顯增長,這是圖2 (11 個FPUT 循環)區別于圖1 (3 個FPUT 循環)最大的不同之處;第二,同一個時刻處,脈沖振幅相鄰兩次出現最大值的空間周期減小 (圖1 周期為z1,2=6.3 m,圖2周期為z1,2=2.7 m);第三,如理論預測,z1FPUT隨δ的增加而逐步減小.從物理角度來看,上述變化可以解釋為: 固定泵浦功率P0和擾動頻率Ω(見(5)式),擾動功率增長的速度將隨擾動振幅δ的增加而增加,因此,脈沖振幅首次增長至峰值所需要的傳輸距離z1FPUT就變短,兩相鄰脈沖振幅最大值的空間周期隨之而變小;同時由于完成一個FPUT 循環的空間周期快速縮短,非線性所激發的多個頻率成分還沒有來得及相互作用就又開始下一個循環,相應地,FPUT 循環數也隨δ的增加而快速增加.

圖2 非線性光纖中,擾動平面波(a)和相應頻譜(b)隨傳輸距離的演化;平面波演化至z1FPUT=1.3 m 處的波形(c)及頻譜(d).圖中P0=1 kW,δ=0.1,Ω=Ωmax=rad/psFig.2.Evolution of perturbed plane wave (a) and corresponding spectra (b) with transmission distance;wave form (c) and corresponding spectra (d) at z1FPUT=1.3 m in typical single-core fibers for P0=1 kW,δ=0.1,Ω=Ωmax= rad/ps .

當擾動振幅進一步增加 (δ＞0.1,其他參數保持不變),如圖3 所示,FPUT 循環數隨δ增加而繼續大幅增加,z1FPUT隨δ的增加而持續減小,兩相鄰FPUT 形成的空間間距進一步縮小.同時我們注意到,當δ比較大時,平面波的波形演化和頻譜演化變得越來越不規則,如圖4 所示 (δ=0.7).當δ較大時,調制信號就變得比較強,原來由線性理論所計算的調制不穩定性就不再完全適用,這時調制信號的非線性就會比較突出,因此我們認為頻譜和波形演化得不規則性應該是由調制信號和泵浦信號之間的強相互作用所引起.

圖3 非線性光纖中FPUT 循環數隨擾動振幅δ 的演化Fig.3.Variation of the number of FPUT cycle with the perturbation amplitude δ in nonlinear fibers.

圖4 非線性光纖中,擾動平面波(a)和相應頻譜(b)隨傳輸距離的演化;平面波演化至z1FPUT=0.4 m 處的波形(c)及頻譜(d).圖中P0=1 kW,δ=0.7,Ω=Ωmax= rad/psFig.4.Evolution of perturbed plane wave (a) and corresponding spectra (b) with transmission distance;wave form (c) and corresponding spectra (d) at z1FPUT=0.4 m in typical single-core fibers for P0=1 kW,δ=0.7,Ω=Ωmax= rad/ps.

通過本節分析,發現實驗可觀察的FPUT 循環數隨擾動振幅的增長而急劇增長,而且當擾動振幅較大時,平面波的波形演化和頻譜演化變得越來越不規則.該發現尚未在文獻中有過報道.

3.2 擾動頻率的影響

當擾動頻率滿足Ω＜Ωc/2 時,高階諧波成分將會被激發[25-27],本節考慮不激發高階諧波情況下,即當擾動頻率滿足Ωc≥Ω≥Ωc/2 時,擾動頻率對所觀察到的FPUT 現象的影響.

圖5(a)和圖5(b)分別反映了擾動平面波隨傳輸距離的波形演化和頻譜演化(P0=1 kW,δ=0.001,Ω=Ωc/2=rad/ps);圖5(c)和圖5(d)分別為脈沖振幅在z1FPUT=3.4 m 處的波形和頻譜.可以看出Ω=Ωc/2 時有兩個完整的FPUT 循環(圖5(a)和圖5(b)),且當z=z1FPUT時,在[—80 dB,0 dB]的相對出射光強范圍內可觀察到64 個非線性所激發的高階諧波(圖5(d)).

通過大量的數值模擬計算發現,當擾動頻率從Ω=Ωc/2 開始增加時,在相同的相對出射光強范圍內,可觀察到的高階諧波數呈明顯的遞減趨勢,如圖6 所示.隨著Ω的增加,可觀察到的高階諧波數顯著遞減的原因和z1FPUT處脈沖所具備的光強密切相關.Ω越大,z1FPUT處脈沖的振幅越小,光強越弱,非線性效應就越弱,相應地,非線性所激發的高階諧波成分就越少.對比圖5(c)和圖1(c),擾動頻率為Ω=Ωc/2 的擾動平面波在z1FPUT處演化出的脈沖最大振幅|a|max=2.688,明顯大于擾動頻率為Ω=Ωmax情況下擾動平面波在z1FPUT處演化出的脈沖最大振幅|a|max=2.403,這應該和高階諧波成分與入射擾動頻率成分在傳輸中產生的復雜非線性相互作用有關.

圖5 非線性光纖中,擾動平面波(a)和相應頻譜(b)隨傳輸距離的演化;平面波演化至z1FPUT=3.4 m 處的波形(c)及頻譜(d).圖中P0=1 kW,δ=0.001,Ω=Ωc/2=rad/psFig.5.Evolution of perturbed plane wave (a) and corresponding spectra (b) with transmission distance;wave form (c) and corresponding spectra (d) at z1FPUT=3.4 m in typical single-core fibers for P0=1 kW,δ=0.001,Ω=Ωc/2=rad/ps .

圖6 高階諧波數隨擾動頻率Ω (Ωc/2＜Ω＜Ωc)的變化關系圖Fig.6.Variation of mode numbers of high-order sidebands with perturbation frequency Ω (Ωc/2＜Ω＜Ωc).

隨著擾動頻率從Ω=Ωc/2 開始增加,如圖5(d)所示,FPUT 循環周期數先緩慢增長,在Ω=Ωmax附近處,FPUT 循環周期數最多(見圖1).當Ω＞Ωmax時,FPUT 循環周期又開始緩慢減少(見圖7,Ω=22 THz).在Ω=Ωmax附近處出現最多的FPUT 循環數在物理層面上是可以理解的.最佳擾動頻率對應的增益最大,以該頻率作為擾動信號頻率,擾動增長的速度最快,所以FPUT 出現的速度就會非常快,導致出現的FPUT 周期數相應地比較多.相反,當擾動頻率Ω≠Ωmax＜Ωc時,平面波演化過程中所出現的噪聲中,Ωmax成分振幅會隨著傳輸距離增加而迅速增強,從而導致Ωmax頻率成分和入射的Ω頻率成分產生強相互作用而破壞掉原來的FPUT,所以Ω≠Ωmax＜Ωc時所觀察到的FPUT 循環數比較少.

圖7 非線性光纖中,擾動平面波(a)和相應頻譜(b)隨傳輸距離的演化;平面波演化至z1FPUT=8.22 m 處的波形(c)及頻譜(d).圖中P0=1 kW,δ=0.001,Ω=22 rad/psFig.7.Evolution of perturbed plane wave (a) and corresponding spectra (b) with transmission distance;wave form (c) and corresponding spectra (d) at z1FPUT=8.22 m in typical single-core fibers for P0=1 kW,δ=0.001,Ω=22 rad/ps.

當擾動頻率增至Ω=Ωc=22.3607 rad/ps 時,平面波穩定,FPUT 消失,如圖8(d)所示.當擾動頻率Ω=Ωc時,調制不穩定性消失,入射的擾動頻率不會隨傳輸距離的增加而增長,隨著傳輸距離的增加,在光纖某距離處由噪聲引入的最佳調制頻率成分出現并迅速增長,同時會與其他調制頻率成分在傳輸中產生相互作用,最終導致頻譜的極端不規則性,在整個過程中觀測不到FPUT 現象.

圖8 非線性光纖中,擾動平面波(a)和相應頻譜(b)隨傳輸距離的演化;平面波演化至z1FPUT=14.6 m 處的波形(c)及頻譜(d).圖中P0=1 kW,δ=0.001,Ω=22.3607 rad/psFig.8.Evolution of perturbed plane wave (a) and corresponding spectra (b) with transmission distance;wave form (c) and corresponding spectra (d) at z1FPUT=14.6 m in typical single-core fibers for P0=1 kW,δ=0.001,Ω=22.3607 rad/ps.

4 結論

基于調制不穩定性分析,本文通過數值模擬系統地研究了擾動振幅和擾動頻率對單模單芯光纖中FPUT 現象的影響,發現擾動振幅和擾動頻率可以極大程度地影響所觀察到的FPUT 現象.擾動振幅對所觀察到的FPUT 循環數的影響極大.擾動振幅越大,可觀察到的FPUT 循環數越多,當擾動振幅較小時,相應的FPUT 頻譜演化就比較規則,相反,相應的FPUT 頻譜演化就非常不規則.擾動頻率對所觀察的FPUT 循環數的影響不大,但是它可以極大地影響在脈沖振幅最大位置處所產生的高階諧波成分的數目.擾動頻率越大,所產生的高階諧波成分就越少.

為了方便FPUT 的實驗觀測能觀察到更多的FPUT 循環,分析發現實驗中擾動振幅要設置得較大,同時擾動頻率應該選擇在最佳擾動頻率附近的值域.同時應強調,大的擾動振幅對應的FPUT 譜會比較不規則,當擾動頻率比較大時,其所激發的高階諧波成分就會非常少.相信本文的研究結果將對基于調制不穩定性分析的FPUT 實驗觀測以及理論理解提供一定的幫助.非線性光纖中有待解決的FPUT 問題還有很多,包括非傳統調制不穩定性相關的FPUT 研究[7,8]、高階效應對實驗觀察到的FPUT 的影響[39]等,這將是我們下一步研究的主要任務.