基于廣義M-C強度準則的修正

蔣 磊，冉啟來，楊前冬，盧雪峰，伍安杰

(1.貴州大學土木工程學院，貴州 貴陽 550025；2.中天環宇建筑設計有限公司遵義分公司，貴州 遵義 563000)

隨著信息工程發展，人們在邊坡、基坑的穩定性等方面使用數值模擬軟件越來越頻繁，大部分數值軟件都是基于各種強度準則來實現模擬計算[1- 3]，因此對強度準則的要求越來越高。然而目前大多數準則都會有些許問題，如理論計算偏安全或危險，因π平面屈服軌跡不能保持非凸性、均存在奇異點等。

以Mohr-Coulomb強度準則(以下簡記為M-C強度準則)為例，自發展以來，已引起了廣泛的研究，它不僅適用于塑性巖石和脆性巖石的剪切破壞，還能放映出巖石的抗壓強度遠大于巖石的抗拉強度，但其最大缺點是只考慮了最大主應力和最小主應力的影響而忽略中間主應力的影響[4- 5]。針對此缺陷，郭建強與黃武鋒等[6- 7]基于彈性應變能并考慮了中間主應力對巖石的影響，提出廣義M-C強度準則(以下簡記為GM-C強度準則)。該強度準則不僅彌補了M-C強度準則的不足，還從能量的角度分析巖石材料的變形破壞特性，并通過多種巖石進行三軸試驗對數據驗證，結果證明其精度明顯皆高于M-C強度準則和D-P強度準則。盡管GM-C強度準則彌補了M-C強度準則大部分缺陷，但并非完美的強度準則，如其強度準則π平面屈服軌跡不能保持非凸性、均存在奇異點等問題，必須采取某些數學方法消除奇異點，才能建立數值模擬的本構模型。

基于此，本文將對GM-C強度準則的π平面屈服函數進行修正，以此消除GM-C強度準則π平面上屈服軌跡的奇異點。目前常見的消除奇異點方法可大致分為4類：①角隅模型修正法；②變換主應力法；③基于試驗擬合出無角隅的屈服條件；④主應力回映算法。當前角隅模型修正法最為受諸多研究學者所用，其中Willian-Warnke橢圓角隅模型最為常見，如Willian和Warnke用橢圓角隅模型逼近M-C準則π平面上不規則六角形，以消除其角隅奇異點[8- 9]。

1 修正廣義M-C強度準則

1.1 廣義M-C強度準則

郭建強、黃武鋒等[6- 7]基于彈性應變能并考慮了中間主應力對巖石的影響，提出GM-C強度準則，表達式如下：

(1)

式中，c、φ—材料的粘聚力、內摩擦力；θσ—羅德角；ν—擬合泊松比。

GM-C強度準則充分考慮了巖石的破壞伴隨著能量過程，通過多種巖石進行三軸試驗數據驗證，證明其精度明顯皆高于M-C強度準則和D-P強度準則。但GM-C強度準則π平面的屈服軌跡尖點產生的數值問題無法避免，成為其最大短板。

1.2 偏平面上的屈服條件

在主應力空間中，巖土屈服條件可用應力不變量I1、J2和θ洛德角表示[10]：

F=F1(I1)+F2(J2，θ)

(2)

F2(J2，θ)決定了π平面上的屈服軌跡的形狀，F1(I1)=const時，即π平面上的屈服軌跡。當θ=const時，即子午平面上的屈服軌跡。

辛克維茲德-潘德(Zienkiewicz-Pande)提出辛克維茲德-潘德條件，表達式如下：

(3)

可將式(3)改寫成二次型的一般式，如下：

(4)

因此，形狀函數表達式為：

(5)

式中，rc、qm—三軸壓縮時π平面上的半徑和q值；rσ、q—π平面上相應任意一θ的半徑與q值。

通過真三軸試驗來確定形狀函數g(θ)，并且使用時需要同時滿足以下3個條件：

(1)形狀函數必須是凸函數，即要求：

(6)

g(-π/6)=1，g(π/6)=e

(7)

rσ(-π/6)=rc，r(π/6)=rl

(8)

(9)

式中，rl—三軸拉伸時π平面上的半徑；e的取值范圍是0.5～1。

(3)當θ=±π/6時，

g′(±π/6)=0

(10)

1.3 Willian-Warnke橢圓模型及其應用

Willian和Warnke提出橢圓角隅模型為[9]：

(11)

其中：

A=2(1-e)2cos(π/6-θ)

(12)

(13)

(14)

Willian和Warnke用式(11)來逼近平面上M-C強度準則不規則六角形。這一形狀函數消除了角隅奇異點，且每處都外凸，與M-C準則不規則六角形外接。

因此采用Willian和Warnke的橢圓角隅模型代替M-C強度準則的形狀函數g(θ)，對其屈服軌跡進行修正：

(15)

將(15)代入到(1)式便可得修正后的GM-C強度準則(以下簡稱為WM-C強度準則)：

(16)

WM-C是針對GM-C強度準則的π平面屈服軌跡不能保持非凸性和存在奇異點而提出的，目的是為了該準則能夠更好地嵌入數值模擬軟件。

2 WM-C強度準則的驗證

2.1 WM-C強度準則光滑性驗證

為了驗證在不同擬合泊松比ν的情況下WM-C強度準則π平面上屈服軌跡的光滑性和外凸性，將WM-C強度準則與GM-C強度準則應用不同數據進行計算分析，如圖1所示。

由圖1可見有2個特點：①WM-C強度準則平面上的屈服軌跡能保持完全光滑性和外凸性，有效解決了GM-C強度準則平面屈服軌跡不滿足完全光滑性和存在尖點處的問題，為后續應用于本構模型建立和嵌入數值軟件計算帶來方便。②WM-C強度準則平面上的屈服軌跡均與GM-C強度準則平面上屈服軌跡的6個角隅均相接，即在三軸拉伸和壓縮條件下(θ=±π/6處)，WM-C強度準則與GM-C強度準則計算結果相同。

圖1 不同擬合泊松比情況下π平面屈服軌跡對比

2.2 WM-C強度準則計算精度驗證

為了驗證WM-C準則的計算精度和適用性，利用紅砂巖三軸試驗[12]的數據進行驗算，并將計算結果與GM-C準則計算結果進行對比。采用平均誤差式評價各個準則計算誤差，計算結果列于圖2、表1。

表1 真三軸試驗平均誤差

圖2 W-MC與G-MC理論計算對比

采用WM-C強度準則計算紅砂巖三軸試驗破壞強度的平均誤差為3.51%，不僅低于M-C強度準則計算的相應巖石的平均誤差10.49%，更加低于GM-C強度準則計算的相應巖石的平均誤差4.10%，可見，采用Willian和Warnke提出橢圓角隅模型修正的M-C強度準則在消除奇異點的同時，還能提高巖石破壞強度的計算精度。

3 結論

(1)采用Willian和Warnke提出橢圓角隅模型消除π平面屈服軌跡上的奇異點，建立WM-C強度準則。從π平面屈服軌跡對比來看，WM-C強度準則平面上的屈服軌跡能保持完全光滑性和外凸性，有效的解決了GM-C強度準則的短板問題，為后續應用于本構模型建立和嵌入數值軟件計算打下基礎。同時WM-C強度準則平面上的屈服軌跡均與GM-C強度準則平面上屈服軌跡的6個角隅均相接，即在三軸拉伸和壓縮條件下(θ=±π/6處)計算結果相同。

(2)以紅砂巖的試驗為例，通過對比分析WM-C強度準則和GM-C強度準則的計算結果，WM-C強度準則在巖石破壞強度計算精度略高于GM-C強度準則，計算結果更為精確。WM-C強度準則為邊坡、基坑等的穩定性提供了一定的可靠性。