APOS理論在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

徐東紅

（重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 重慶 401331）

引言

數(shù)學(xué)概念教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中占據(jù)著重要的位置，它是通過教師對數(shù)學(xué)概念進(jìn)行講解，使學(xué)生在頭腦中初步建構(gòu)出概念表象，在經(jīng)過對比、分析、綜合后，了解概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，最終學(xué)生在頭腦中運(yùn)用新概念建構(gòu)并形成概念網(wǎng)絡(luò)的一個過程。美國數(shù)學(xué)家杜賓斯基提出的APOS理論，有效促進(jìn)了學(xué)生自主建構(gòu)，數(shù)學(xué)概念的水平。為了有效地實(shí)施數(shù)學(xué)概念教學(xué)，本文基于APOS理論，對二元一次方程進(jìn)行了教學(xué)設(shè)計。

一、基于APOS理論的數(shù)學(xué)概念認(rèn)知過程

APOS理論主要針對的是數(shù)學(xué)概念教學(xué)。它是指學(xué)生在經(jīng)歷活動之后對自己所參與的活動進(jìn)行反思，從中獲得結(jié)論。在APOS理論中，學(xué)生通過自己的心理自主構(gòu)建把握對概念的理解，從而使概念產(chǎn)生意義。APOS理論分為四個階段：活動、過程、對象和圖式[1]。這四個階段循序漸進(jìn)，學(xué)生在經(jīng)歷完這四個階段過后，最終對數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生理性認(rèn)識。

1.活動階段

“活動”是指個體親自投入活動中，通過已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)和基本經(jīng)驗(yàn)獲得新知識。

2.過程階段

“過程”是指個體通過不斷重復(fù)上一個階段的操作，從而對上一個階段進(jìn)行自我反思，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維不斷碰撞，頭腦中將外在的活動經(jīng)過內(nèi)化、壓縮后，形成理性的知識，并且用數(shù)學(xué)語言將數(shù)學(xué)概念歸納出來。

3.“對象階段”

“對象”是指個體對概念有更深層次的理解，認(rèn)識到了概念的本質(zhì)，頭腦對概念能夠?qū)嵤└鼮楦呒壍倪\(yùn)算。

4.“圖式階段”

“圖式階段”是指個體的概念認(rèn)知水平達(dá)到了更高的層次，新概念與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的概念可以相互聯(lián)系，形成綜合圖式。

二、APOS理論與數(shù)學(xué)概念教學(xué)之間的聯(lián)系

目前，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)模式層出不窮。在我國的數(shù)學(xué)概念課中，教師大多使用概念形成和概念同化的方式幫助學(xué)生獲得概念[2]。其中，概念形成的過程可以分為四個步驟，如圖1所示。所謂概念的同化，究其本質(zhì)，是教師通過對概念的科學(xué)定義加以呈現(xiàn)，讓學(xué)生借助自身掌握的知識內(nèi)容，同時結(jié)合自身經(jīng)驗(yàn)，對概念內(nèi)涵進(jìn)行全面理解，從而使原來的認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生變化，獲取新概念的一種方式[3]。

圖1

在以往的數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，似乎更關(guān)注學(xué)生掌握及應(yīng)用概念，而忽略了概念的生成。因此，將概念的形成與概念的同化相結(jié)合，從學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，抽象出數(shù)學(xué)概念的教學(xué)模式，更適合學(xué)生的發(fā)展。

三、基于APOS理論的初中“二元一次方程”概念課的教學(xué)設(shè)計

1.活動階段——創(chuàng)設(shè)情境，親身體驗(yàn)、理解概念的意義

活動1：同學(xué)們，方程對我們來講并不陌生。在小學(xué)階段，我們就已經(jīng)初步了解了什么是方程，在初一階段，我們也系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了一元一次方程。下面就讓我們一起共同回顧一下一元一次方程的概念以及性質(zhì)。教師通過提問的方式，復(fù)習(xí)一元一次方程的相關(guān)知識，用類比的思想方法展開二元一次方程的學(xué)習(xí)，最后和學(xué)生一起朗讀本堂課的學(xué)習(xí)目標(biāo)。

活動2：籃球是同學(xué)們喜愛的運(yùn)動項(xiàng)目，老師也同樣是個籃球迷。前段時間，X區(qū)組織了一場籃球比賽，教師利用多媒體播放籃球比賽的視頻，視頻中詳細(xì)說明籃球比賽的計分規(guī)則以及籃球運(yùn)動員比賽的勝負(fù)情況：本次籃球比賽沒有平局，每局均要分出勝負(fù)。每隊(duì)勝1場得2分，負(fù)一場得1分，“必勝隊(duì)”在本次區(qū)籃球賽上10場比賽中得到16分。教師此時提出問題：“必勝隊(duì)”勝負(fù)場數(shù)分別是多少？教師引導(dǎo)學(xué)生思考并探索其中的等量關(guān)系，然后根據(jù)等量關(guān)系列出含有所設(shè)未知數(shù)的方程。

在解決這個問題時，教師首先要引導(dǎo)學(xué)生設(shè)一個未知數(shù)（設(shè)“必勝隊(duì)”勝了x場），然后利用一元一次方程的知識列出方程：

學(xué)生回答后，教師再追問：根據(jù)問題中的等量關(guān)系，你能設(shè)兩個未知數(shù)列出反映題意的方程嗎？

設(shè)“必勝隊(duì)”勝x場，負(fù)y場，由此列出二元一次方程組：

在學(xué)習(xí)二元一次方程之前，學(xué)生接觸到的是一元一次方程，教學(xué)中，教師首先回憶舊知，回顧一元一次方程的特征，為二元一次方程的定義做準(zhǔn)備，要完成兩者之間的轉(zhuǎn)變，還應(yīng)該在具體的情境下幫助學(xué)生理解。在活動階段，教師通過實(shí)例，讓學(xué)生經(jīng)歷了從實(shí)際問題到抽象的數(shù)學(xué)概念的過程，初步感知了什么是二元一次方程。活動階段，學(xué)生對概念的認(rèn)識處于最原始階段，這個階段為下一階段提出二元一次方程概念做好了鋪墊。

2.過程階段——體會二元一次方程概念的生成過程

針對學(xué)生所列出的一元一次方程以及二元一次方程組，讓學(xué)生仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)其中的異同（這兩類方程①②都含有未知數(shù)，且未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，但是①只含有一個未知數(shù)，②含有兩個未知數(shù)）類比一元一次方程的概念，自然地過渡到如何歸納得出二元一次方程的概念，并要求學(xué)生嘗試用自己的語言描述出來。教師點(diǎn)評糾正后給出二元一次方程概念的準(zhǔn)確定義。

（全班齊讀概念，在書上勾畫出概念中的關(guān)鍵詞：兩個未知數(shù)，項(xiàng)的次數(shù)是1）。在②中，兩個方程中的x都代表隊(duì)伍勝的場數(shù)，y都代表負(fù)的場數(shù)，它們所表示的對象分別相同，在理解的時候不應(yīng)該將其分裂開來。學(xué)生從中體會到將兩個表示的相同對象的不同未知數(shù)聯(lián)立起來可以得到一個二元一次方程組，從而歸納出二元一次方程組的概念：將一共含有兩個未知數(shù)的一次方程聯(lián)立在一起組成的一組方程，叫做二元一次方程組。

在APOS理論的過程階段，是對活動過程中產(chǎn)生的新知進(jìn)行高度概括，學(xué)生逐漸認(rèn)識到了概念的本質(zhì)，最終得到準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)概念[4]。由于學(xué)生在活動階段對概念只是初步感知，為了獲得概念的準(zhǔn)確定義，還需要對具體的例子歸納總結(jié)，形成概念的定義。

3.對象階段——通過辨析，深化概念

【練習(xí)1】下列選項(xiàng)中哪些是二元一次方程，哪些不是，請說明理由。

【練習(xí)2】判斷下列方程組是否為二元一次方程組？不是的請說明理由。

教師通過練習(xí)，找出學(xué)生的易錯點(diǎn)以及易混淆的地方，深化對概念的理解，最后總結(jié)判斷二元一次方程組的方法：先化再看。化指的是先將方程組化簡為最簡形式，看分為三看：一看，方程組的方程是否都是整式方程；二看，方程組中是不是只含有兩個未知數(shù)；三看，含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是不是都為1。

【做一做】滿足x+y=10的解有哪些？滿足2x+y=16的解有哪些？

教師讓學(xué)生開展小組合作學(xué)習(xí)，討論過后將這些解分別填入表格（注意要讓學(xué)生考慮到本題的實(shí)際意義，x，y是有一定的范圍）。學(xué)生在得到解的同時，體會到二元一次方程組有很多解，觀察這些解當(dāng)中含有同時滿足兩個方程的公共解，得到二元一次方程組解的概念。

【練一練】1、二元一次方程x+y=10的解是？

在過程階段，學(xué)生能夠用數(shù)學(xué)語言準(zhǔn)確描述二元一次方程的概念。在對象階段，學(xué)生對二元一次方程概念有更深的認(rèn)識，對于概念中每一個詞都有更好的體會，因而會用概念辨析哪些是二元一次方程。此過程中，概念作為一個整體的對象，學(xué)生對概念可以進(jìn)行更高級別的運(yùn)算，教師繼續(xù)引導(dǎo)其思維的操作概括出二元一次方程組和二元一次方程組解的概念，

4.圖式階段——實(shí)例演練，形成綜合心理圖式

【知識應(yīng)用】雞兔同籠是我國古代的一類算術(shù)趣題，解決此類問題有多種方法。現(xiàn)有雞兔同籠，共有35個頭，94只腳，問雞兔各多少只？

學(xué)生合作交流，分成兩個小組進(jìn)行討論，一個小組用一元一次方程求解，另外一個小組嘗試用二元一次方程組（不要求求解），這也是為后面所學(xué)的解二元一次方程組埋下伏筆。小組派代表上臺展示自己小組的討論結(jié)果。在展示結(jié)束后，教師點(diǎn)評，提醒學(xué)生解決問題時可以嘗試設(shè)兩個未知數(shù)尋找等量關(guān)系，這樣的求解更為簡單直觀。

圖式階段是對概念的綜合應(yīng)用階段，個體對概念本質(zhì)以及概念體系的進(jìn)一步理解、揭示和實(shí)際化。通過以上四個階段，在心理上已經(jīng)自主建構(gòu)出有關(guān)二元一次方程的圖式，學(xué)生在此過程中對二元一次方程有了比較完整的認(rèn)識。二元一次方程概念的學(xué)習(xí)與初三所學(xué)習(xí)的一元二次方程的概念也有著緊密的聯(lián)系。因此，學(xué)生初步建立起來的二元一次方程的概念也為后面的知識做了鋪墊，頭腦中的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷地被豐富，最后形成綜合的心理圖式。

四、教學(xué)反思

本堂課基于APOS理論，教學(xué)設(shè)計中嚴(yán)格遵循活動、過程、對象、圖式四個循序漸進(jìn)的階段組織概念教學(xué)，揭示了概念的形成過程。該理論從學(xué)生的客觀現(xiàn)實(shí)體驗(yàn)出發(fā)，在數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下不斷思考、分析、理解，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主動參與性，最終自主構(gòu)建出自己的數(shù)學(xué)概念圖式[5]。在活動階段，呈現(xiàn)的是生活中常見的籃球賽的數(shù)學(xué)素材，學(xué)生初步感知到二元一次方程在生活中運(yùn)用，讓學(xué)生產(chǎn)生一種生活中處處是數(shù)學(xué)的感覺，體會數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的存在性，激發(fā)起學(xué)生的求知欲。數(shù)學(xué)課堂中，學(xué)生最佳的課堂狀態(tài)是學(xué)生能帶著問題走進(jìn)課堂，此階段，隱性的數(shù)學(xué)概念通過顯性的活動直觀呈現(xiàn)出來，趣味且符合認(rèn)知水平的情境讓學(xué)生能夠主動參與、思考，和老師同學(xué)們一起積極互動、探索。在過程階段，教師要引導(dǎo)學(xué)生自覺地對活動進(jìn)行思考：什么是二元一次方程？它和一元一次方程有什么異同？學(xué)生通過已有的知識基礎(chǔ)和基本活動經(jīng)驗(yàn)，歸納總結(jié)出二元一次方程的概念。在對象階段，學(xué)生對二元一次方程概念的理解更為深刻，概念也更為具體，對二元一次方程的概念進(jìn)行更高層次的運(yùn)算，會判別哪些是二元一次方程，概念中的關(guān)鍵詞有哪些？哪個地方易錯易混淆？圖式階段中數(shù)學(xué)概念不再是孤立的存在，概念之間存在著順延和聯(lián)系，此階段二元一次方程的概念在頭腦中形成了綜合的圖式：學(xué)生能夠?qū)⒍淮畏匠膛c之前所學(xué)習(xí)的一元一次方程聯(lián)系起來，并且能夠從一元一次方程有解，推斷出二元一次方程同樣有解，對比一元一次方程與二元一次方程之間的區(qū)別在于含有未知數(shù)的個數(shù)不同。整個教學(xué)過程中，學(xué)生通過活動主動體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念的發(fā)生以及發(fā)展過程，在原有的認(rèn)知基礎(chǔ)上獲取了新知。

在教學(xué)中，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)實(shí)中抽象出數(shù)學(xué)知識，培養(yǎng)他們發(fā)現(xiàn)問題并解決問題的能力，在活動階段的情境，應(yīng)該設(shè)置學(xué)生感興趣的活動，這樣就能將被動活動轉(zhuǎn)化為主動地探究。如此一來，學(xué)生既發(fā)展了數(shù)學(xué)思維，也獲得了豐富的情感體驗(yàn)，數(shù)學(xué)概念的圖式結(jié)構(gòu)發(fā)展得更為“茂密”。在圖式階段，教師鼓勵學(xué)生開展小組合作交流，展示本堂課的學(xué)習(xí)成果，發(fā)現(xiàn)新的問題。教師把課堂交給學(xué)生，這充分地發(fā)揮了學(xué)生在課堂上的主體性和能動性，更有利于學(xué)生進(jìn)行有意義的學(xué)習(xí)。