提高數學課堂教學效率的探索

許志超

（德化第一中學鵬祥分校 福建泉州 362500）

一、課堂教學融匯數形結合思想

數學離不開數和形，它們緊密聯系、互相依賴，可相互轉化。數輔助形、形幫助數，有助于尋找解題思路時直觀形象，能做到優化解題思路。

例：y=x2+(1-a)x+1(1≤x≤3)是關于x的二次函數，y在x=1時取得最大值，求a的取值范圍。

分析：y=x2+(1-a)x+1圖象的位置隨著a的變化而變化。我們知道幾何畫板軟件是“數形結合”思想體現的有力工具，函數圖象的動態演示既直觀又形象，從動態演示可知，該二次函數在取值范圍內的最值可分三種情況討論。選擇幾何畫板動態演示下的三幅靜態圖，畫示意圖如下：

方法一：觀察圖①，函數值y是遞增的，觀察圖②，此時圖象兩端點關于直線x=2對稱，觀察圖③，y值是遞減的，所以只要時，y值最大，因此有方法一：，解得，a ≥ 5。

①

②

③

方法二：觀察圖象①、②、③，函數圖象的端點到對稱軸距離遠的，函數值y就取得最大值；特別的，當x=1和x=3時的函數圖象端點到對稱軸的距離一樣遠，函數值y在x=1和x=3時，都取得最大值。因此可列如下不等式：解得，a≥5。

方法三：觀察圖象①不符合題意，圖象②、③符合題意，可算出圖象兩端點的y值y1=1+(1-a)+1=3-a，y2=9+3(1-a)+1=13-3a，所以只要3-a≥3-3a時，符合題意，解得a≥5。

總之，幾何畫板能創設“數形結合”情景，讓抽象、枯燥的數式轉化成了圖形實驗環境，選擇幾何畫板動態演示下的不同情形靜態圖，能把已知條件和結論轉化成直白的圖象關系，從而使數學解題方法更加優化。

二、課堂教學生活化

數學來源于生活，與生活密不可分。數學是有趣的，我們可以在游戲中用數學、學數學。同學們喜歡充滿樂趣的“生活數學問題”，因此課堂教學可以從“生活中的數學”入手[2]。

例：中國歷史上有一個膾炙人口的“田忌賽馬”故事，這是賽馬賭勝的“三局兩勝制”游戲。該游戲有兩方參加比賽，一方是齊王的上、中、下三匹馬X1、Y1、Z1，另一方是田忌的上、中、下三匹馬X2、Y2、Z2，可用不等式表示這些馬比賽勝負：X1＞X2＞Y1＞Y2＞Z1＞Z2（注：X＞Y表示X、Y馬比賽，X馬勝）。田忌在劣勢的情形下，采納了他身旁孫臏的辦法對陣：即對陣（X1Z2，Y1X2，Z1Y2），田忌勝出。現在，齊王首局出“下馬”被田忌知道了，那么他獲勝的機會是多少？可分析如下：

第一局出馬情況為Z1Y2，田忌獲勝；

那么比賽所有等可能的對陣為：（Z1Y2，X1X2，Y1Z2），（Z1Y2，X1Z2，Y1X2），（Z1Y2，Y1X2，X1Z2），（Z1Y2，Y1Z2，X1X2），共四種等可能情況，其中獲勝的有以下兩種（Z1Y2，X1Z2，Y1X2），（Z1Y2，Y1X2，X1Z2），∴P（田忌獲勝）=。

學生們通過對“田忌賽馬”故事的有趣思考、樂于思考，對引入參數、不等式概念、必然事件、不可能事件及隨機事件概率有了更深的理解，數學中零星的知識串在了一起，增強了數學知識點之間的聯系，使得數學知識融會貫通，促使他們熱愛數學，樂學數學，知道了日常生活中的許多事蘊含著數學道理。

三、課堂教學運用轉化與聯想，一題多解，培養發散思維

“轉化與聯想”是初中數學解題的核心思想，它能夠激活學生思維，擴展思路，能有效避免學生學習數學死記硬背公式、生搬硬套的呆滯做法，能用已有的知識經驗去解決難度較大的數學問題，下面通過典型例題解析“轉化與聯想”解題方法的應用。

（1）求證：∠P=45°

（2）在（1）的條件下，作DN⊥GP于點N，連接CN、BP，取BP的中點M，連接MN，求證：

（1）解法分析如下

方法一：欲證∠P=45°，連接BD交GP于Q時，∠GBQ=45°，又在△GBQ與△DPQ中，∠GQB與∠DQP是一組相等的對頂角，所以結論成立時，有△GBQ～△DPQ。反過來，要證△GBQ～△DPQ，只要證∠BGQ=∠PDQ。

題目的已知條件AG=BF=EF要如何用呢？

設AG=BF=EF=a，BG=b，

在斜三角形QDP中，過點E作EH⊥BD于H，

所以∠BGQ=∠PDQ。

方法二：欲證∠P=45°，聯想到過點F作FI‖PD交AD于I，∠P可轉化∠GFI，因為AD‖BC，所以四邊形IDEF是平行四邊行，所以ID=EF=BF=AG；在正方形ABCD中，AD=AB，∠A=∠B=90°，所以AI=BG；又聯想到連接GI時，可證△AGI ?△BFG(SAS)，所以GI=GF，∠1=∠3。又因為∠1+∠2=90°，所以∠2+∠3=90°，所以∠FGI=180°-（∠2+∠3）=90°，所以△GFI是等腰直角三角形，所以∠GFI=45°，所以∠P=45°。

點評：在解數學題時，不是一審題，就馬上有思路，一些問題的思路是在對問題條件和結論的不斷轉化中得出來的，在已有知識經驗的基礎上進行豐富聯想得出來的。在解決數學問題時，運用聯想和轉化，解題效率會大大提高。

（2）解法分析如下：

方法二：考慮在圖形內作輔助線，由∠NPD=45°，DN⊥PN可知△PND是等腰直角三角形，聯想到試著作NQ⊥PD于Q，則PQ=QD，又BM=MP，聯想到三角形中位線，連接MQ、BD。觀察圖形，欲證可證△MNQ～△CND，那么可轉化為

點評：正向、逆向思維相結合，善于挖掘圖形的特殊性，在聯想中滲透轉化思想，把綜合強的問題轉化分解為幾個基本問題，讓學生親身體驗轉化過程，將數學知識緊密聯系，形成脈絡，有利于提高學生的數學解題能力。

四、課堂教學引導學生探究數學模型

例：如圖，OP平分∠AOB，OC=OD，連接PC、PD，試說明△PCO ?△PDO.

分析：易證△PCO ?△PDO(SAS)

又當PC‖OD時，四邊形PCOD是菱形；

當PC⊥OA時，四邊形PCOD是菱形；

當PC⊥OP時，△CDO是等腰三角形。

這就是角平分線的相關模型，我們可以利用其中的模型啟發解題思路。比如：如圖，∠ABC=45°，PB平分∠ABC，PD⊥BC于D，若BD=3，則PD的長是多少？分析：欲求PD，可作PE⊥AB于E，構造角平分線模型，則PD=PE，延長DP交AB于F，則DF=BD=3，

設DP=PE=X，則在Rt△PEF中，∠EFP=45°，

運用模型思想進行數學教學，有利于學生從思維的“已有經驗”出發探尋解題思路，培養學生的數學解題模型思維，避免解題容易出錯，解題速度慢等問題。