MATLAB軟件輔助高等數(shù)學(xué)教學(xué)的探討

王 震

江蘇大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 江蘇鎮(zhèn)江 212013

1 概述

高等數(shù)學(xué)作為一門高校非數(shù)學(xué)專業(yè)的公共基礎(chǔ)課，其目的是培養(yǎng)學(xué)生的理解力和抽象思維能力。由于該課程具有內(nèi)容抽象、邏輯性強(qiáng)、計(jì)算復(fù)雜等特點(diǎn)，在教學(xué)過程中學(xué)時(shí)受限，導(dǎo)致很多學(xué)生都覺得這門課程枯燥乏味，學(xué)習(xí)積極性不高。因此，在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，如何能將抽象的內(nèi)容可視化，復(fù)雜的計(jì)算簡單化，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣是每位高等數(shù)學(xué)教師必須面對(duì)和思考的問題。隨著計(jì)算機(jī)的迅速發(fā)展及其在各學(xué)科領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，將MATLAB軟件融入高等數(shù)學(xué)的教學(xué)，是一件有意義的嘗試。此舉不僅能將課本上的理論知識(shí)轉(zhuǎn)化為實(shí)踐，而且還可以提高教學(xué)的時(shí)效性。因?yàn)楦叩葦?shù)學(xué)中涉及大量的計(jì)算，若運(yùn)用手工演算不僅過程煩瑣而且耗時(shí)大，結(jié)果的可信度也常常令人懷疑。而MATLAB軟件具有強(qiáng)大的科學(xué)計(jì)算和數(shù)據(jù)處理功能，只需要調(diào)用里邊的函數(shù)，問題便可迎刃而解。因此，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中輔以MATLAB數(shù)值計(jì)算，不僅給教學(xué)活動(dòng)帶來便利，而且激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和主動(dòng)性，同時(shí)也培養(yǎng)了他們利用計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問題的操作能力。

本文主要探討如何將MATLAB軟件與高等數(shù)學(xué)教學(xué)有機(jī)結(jié)合起來，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，同時(shí)提高課堂效率，減輕任課教師的負(fù)擔(dān)。

2 利用MATLAB軟件進(jìn)行輔助教學(xué)

本節(jié)通過一些教學(xué)案例來闡述MATLAB軟件在函數(shù)極限、定積分以及空間解析幾何這三個(gè)方面的應(yīng)用。

2.1 MATLAB軟件在函數(shù)極限中的應(yīng)用

極限方法是在探求某些實(shí)際問題的精確解答過程中產(chǎn)生的，是高等數(shù)學(xué)中研究變量的一種基本方法。求函數(shù)極限的方法也是多種多樣，如定義法、等價(jià)無窮小代換、兩個(gè)重要的極限公式、洛必達(dá)法則等。但是對(duì)于有些復(fù)雜函數(shù)的極限，用推理的方法不容易求出，而借助于MATLAB軟件可以輕松解決。

在MATLAB軟件中編寫如下程序：

syms x

f=sin(sin(x))*(sin(x)-sin(sin(x)))/(x^4)；

ans=limit(f，x，0)

運(yùn)行結(jié)果為ans=1/6。

在MATLAB軟件中編寫如下程序：

syms x y

f=x^2*y^2/(x^2*y^2+(x-y)^2)；

ezmesh(f，[-1，1]，60)

grid on

title('$f=frac{x^2y^2}{x^2y^2+(x-y)^2}$'，'interpreter'，'latex')；

圖1 函數(shù)的圖像

當(dāng)然，MATLAB軟件也可以實(shí)現(xiàn)函數(shù)的單側(cè)求極限，如有一道題目：

在MATLAB軟件中編寫如下程序：

syms x

A=limit(2/(2+3^(-1/x))，x，0，'left') %函數(shù)在變量趨于0時(shí)的左極限

B=limit(2/(2+3^(-1/x))，x，0，'right') %函數(shù)在變量趨于0時(shí)的右極限

運(yùn)行結(jié)果為A=0，B=1。

2.2 MATLAB軟件在定積分中的應(yīng)用

在MATLAB軟件中編寫如下程序：

方法1：利用int函數(shù)求定積分，其中int函數(shù)的調(diào)用格式是f=int(fun，x，xmin，xmax)%求函數(shù)fun的定積分，x是自變量，xmin是積分下限，xmax是積分上限。

MATLAB程序代碼如下：

syms x

fun=exp(-x.^2).*log(x).^2；

ans=vpa(int(fun，x，0，inf))

運(yùn)行結(jié)果為ans=1.9475221803007815975843164106279。

方法2：利用integral函數(shù)求定積分，其中integral函數(shù)的調(diào)用格式是f=integral(fun，x，xmin，xmax)%求函數(shù)fun的定積分，x是自變量，xmin是積分下限，xmax是積分上限。

Matlab程序代碼如下：

fun=@(x)exp(-x.^2).*log(x).^2；

ans=integral(fun，0，inf)

運(yùn)行之后可以得到與方法1同樣的結(jié)果。

由于上述積分中被積函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù)，故該變上限積分不能通過數(shù)學(xué)式子直接表示出來，利用MATLAB軟件編寫如下程序：

k=0；

for x=0：0.01：6；

k=k+1；

f=@(t)exp(-t.^2)；

c(k)=quad(f，0，x)；

end

plot(0：0.01：6，c)；

grid on

title('$int_0^x{{e^{-{t^3}}}}dt$'，'interpreter'，'latex')；

xlabel('x')；ylabel('y')；

圖2 變上限積分的圖像

ans=0.88622692545275801364908374167057

由此，可驗(yàn)證定理的合理性。

例6 計(jì)算阿基米德螺線=(>0)上變量從0變到2的一段弧與極軸所圍圖形的面積。

首先可以通過MATLAB軟件繪制待求面積的圖形，程序代碼如下(假設(shè)=2)：

x=0：0.02：2*pi；

y=2*x；

polarplot(x，y)

得到如圖3所示的函數(shù)圖像。

圖3 阿基米德螺線ρ=2θ在區(qū)間(0，π)上的圖像

然后再利用極坐標(biāo)計(jì)算面積的公式求出從0變到2的一段弧與極軸所圍圖形的面積，程序代碼如下：

syms a positive

syms t

S=int(1/2*(a*t)^2，t，0，2*pi)

運(yùn)行結(jié)果為：S=(4*a^2*pi^3)/3

2.3 MATLAB軟件在空間解析幾何中的應(yīng)用

很多同學(xué)在做空間解析幾何問題時(shí)感到困難，主要原因是空間想象力不夠，不能準(zhǔn)確畫出題目所給的區(qū)域。即使有些圖形可以通過手工繪制出來，但不是很直觀，仍然無法順利解題。如果用MATLAB軟件作圖，就能使問題簡化，而且可以達(dá)到事半功倍的效果。

在MATLAB軟件中編寫如下程序：

[x，y]=meshgrid(-6：0.2：6)；

z=x.^2/6-y.^2/8；

mesh(x，y，z)；

xlabel('x')；

ylabel('y')；

title('$ z=frac{ x^2}{6}-frac{y^2}{8}$'，

'interpreter'，'latex')；

運(yùn)行程序，得到如圖4所示的結(jié)果。

圖4 二元函數(shù)的圖像

在MATLAB軟件中編寫如下程序：

[t，r]=meshgrid([0：0.02*pi：2*pi]，[0：0.02：sqrt(5)])；

x=r.*cos(t)；

y=r.*sin(t)；

Z1=sqrt(x.^2+y.^2)；

Z2=sqrt(abs(4-x.^2-y.^2))；

z1=Z1；

z2=Z2；

z1(Z1>Z2)=nan；

z2(Z1>Z2)=nan；

mesh(x，y，z1)

hold on

mesh(x，y，z2)

axis equal

xlabel('x')；

ylabel('y')；

zlabel('z')；

圖5 曲面和x2+y2+z2=5所圍立體

結(jié)語

讓MATLAB軟件走進(jìn)高等數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)，可以將一些抽象的、難以理解的內(nèi)容，以數(shù)值或者圖像的形式表達(dá)出來，在不占用過多課堂時(shí)間的條件下，不僅豐富了課堂教學(xué)內(nèi)容，也有助于調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。希望通過這種授課模式提高課堂教學(xué)效率和水平，推動(dòng)高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革和課程建設(shè)的發(fā)展。