基于最小二乘法-加權馬爾科夫鏈模型的母線負荷預測*

杜雅楠 齊敬先 施建華

（南瑞集團有限公司（國網電力科學研究院有限公司）南京 211106）

1 引言

母線負荷是變電站的主變壓器其供電區域的終端負荷的總和［1～3］。母線負荷是系統負荷的細化，其以節點負荷為預測對象，其預測結果用于電網安全校核，為動態狀態估計、安全穩定分析、無功優化、廠站布局控制等提供良好基礎。相較于系統負荷預測，母線負荷預測由于其供電范圍小，受供電區域內用戶和小電源影響較為明顯，故而母線負荷易突變、穩定性較差。季節影響導致母線負荷數據存在高頻波動分量和季節分量，多種信號較差對其預測樣本數據的質量產生較大影響［4］。同時，由于數據采集傳輸造成的錯誤數據和運行方式變化易導致數據突變，數據質量下降。對母線負荷數據的預處理包括經驗修正法、曲線置換法、插值法及小波分析等［5～9］。

母線負荷預測方法主要包括基于系統負荷分配預測法及基于節點負荷自身變化規律預測法。文獻［10］基于系統負荷分配進行預測，采用分配系數實現對每條母線負荷預測，該方法不考慮負荷區域不一致問題，導致預測準確率較低。文獻［11］采用狀態估計對歷史數據進行全網負荷模型建設，并動態調整分配系數，但缺乏實例驗證。文獻［12］采用PSO 算法對BP 神經網絡算法進行優化，使之不易陷入局部極小，增強其泛化能力。文獻［13～15］采用模糊系統和人工神經網絡混合法來實現母線負荷預測，并將負荷基于氣象影響情況分為無關負荷和有關負荷，訓練時間較長。文獻［16～18］分別采用分形外推法對短期負荷進行預測、基于概率密度的支持向量機回歸法等多種單一的負荷預測算法，其精度較低。鑒于以上模型訓練的復雜性及預測精度偏低等問題，本文采用最小二乘法及加權馬爾科夫鏈模型相結合的方法，探索基于歷史母線負荷數據的變化規律，并針對具體的母線負荷數據進行數據模型擬合分析檢驗。

2 最小二乘法

最小二乘法是以誤差的平方和最小為準則根據觀測數據估計線性模型中未知參數的一種參數估計方法。設X 和Y 兩個物理量之間的函數關系為

若a1,a2,…,ak等參數未知，f 已知，對于觀測序列{xi,yi}，i=1,2,…,n，利用該序列對參數a1,a2,…,ak進行估計。

設擬合多項式為

各點到這條曲線的距離之和，即偏差平方和如下：

則最小二乘法的要求就是R 最小，采用求極值的方式對參數a1,a2,…,ak進行求解。

進一步的求解：

3 馬爾科夫鏈模型

3.1 馬爾科夫鏈

對于隨機序列{xn},n≥0，滿足對于任意的i0,i1,i2,…in,in+1∈S，其中S為狀態空間，若有

則稱其為馬爾科夫鏈，其某一時刻狀態轉移的概率僅依賴于前一個時刻的狀態。

3.2 狀態轉移矩陣

4 最小二乘法-加權馬爾科夫鏈模型

最小二乘法以誤差的平方和最小為準則進行母線負荷預測，對于高精度曲線擬合，僅考慮誤差平方和其效果不夠理想。而馬爾科夫鏈模型具有“無后效性”，能夠反映母線負荷的隨機過程特征，對于波動性較大的情況效果較好。故而，結合最小二乘法并輔以加權馬爾可夫模型，其預測精度較高。同時，為了減少狀態轉移矩陣的生成頻率實現對中長期母線負荷預測，采用固定頻次的狀態轉移矩陣生成，并基于部分指數加權法實現對預測結果的優化。

4.1 相對誤差狀態劃分

將基于最小二乘法擬合的母線負荷數值與實際數值的相對誤差ε(k)劃分為m 個狀態，若ε(k)∈(d1i,d2i),i=1,2…,m，那么第k 個時間點的相對誤差處于Ei狀態，其中d1i、d2i為狀態Ei的上界和下界。

4.2 各階自相關系數和權重

基于自相關系數對馬爾科夫鏈進行加權改進，即通過對原始數據進行自相關分析來求取自相關系數。對于自相關系數絕對值較大的，賦予較大權重。

其中rk為第k 階的自相關系數；xi為i 時刻的樣本數據；xˉ為樣本數據的均值。

將自相關系數歸一化，得到各階權重為

其中m為按預測需要計算到的最大階數。

4.3 加權馬爾科夫鏈預測

選擇離預測時間最近的k 個時間點，將這k 個時間點的相對誤差所在的狀態作為初始狀態，結合其相應的轉移概率矩陣即可預測出該時刻的狀態概率i∈E；將同一狀態的各預測概率加權和作為最終轉移概率：

max{Pi} 所對應的i 即為預測時刻相對誤差所在的狀態。

進而得到優化后的預測值為

4.4 部分指數加權法

設置狀態轉移矩陣的生成頻率為p，對于隨機序列{ }xn,n≥0，描述為{x0,x1,…xp,xp+1,…x2p,…xn},n≥0，若t=kp,k≥0 則采用式（12）預測其結果；否則，t 時刻的母線負荷預測值視為t-1 時刻加權預測值與t時刻的非加權預測值的加權平均，即：

5 預測過程

本文采用最小二乘法-加權馬爾科夫鏈模型實現母線負荷預測，首先確定預測時間段，然后基于其日期值選擇前k 個周期內的母線負荷數據及距離預測日期較近的s 個測點數值構建歷史數據序列，然后采用最小二乘法對其進行擬合，對其擬合的相對誤差基于誤差結果數值劃分為多個狀態，進而構建馬爾科夫鏈模型的狀態轉移矩陣，通過概率加權法對其預測結果進行優化，同時根據狀態轉移矩陣生成頻次設定采用部分指數加權法實現對非設定周期時間的母線負荷預測。

圖1 母線負荷預測流程

6 算例分析

為了減少母線負荷數據的不穩定性，本文以新疆某變電站的一條110kV 母線近一年某特定日期的負荷數據及本月該日前3 天的數據為基礎，采用最小二乘法-加權馬爾科夫模型對該母線預測負荷數據。首先，本文通過分析母線負荷變化率與平均負荷變化率，識別異常點，并采用插值法對母線原始負荷數據進行預處理。其預處理后數據曲線如圖2所示。

圖2 母線負荷曲線測試數據

6.1 最小二乘法預測

對經過預處理之后的數據采用最小二乘法進行曲線擬合：采用60%的訓練數據集，20%的測試數據集和20%的驗證數據集的原則對模型進行訓練。以最近的24個采集點為例，其擬合結果如下。

根據相對誤差實際情況及馬爾科夫鏈狀態劃分方法，將相對誤差劃分為5 種狀態，劃分標準如表2。其對相對誤差的劃分結果見表1的狀態列。

表1 母線負荷最小二乘法擬合結果

表2 狀態劃分

6.2 加權馬爾科夫鏈預測

根據表1 狀態列數值計算出1 到5 步長的狀態轉移矩陣。

根據式（9）和式（10）計算各階自相關系數和權重，如表3所示。

表3 各階自相關系數和權重

由概率轉移矩陣和1到5階的權重對之后的母線負荷進行預測。由表4可知，序列20的狀態處于E1，其最終預測結果為105.5960kW，其相對誤差為-1.4353%。

表4 相對誤差狀態預測表

通過逐步更新狀態轉移矩陣，并采用加權馬爾科夫鏈模型對最小二乘法訓練結果進行修正，其預測結果曲線展示如圖3。

圖3 母線負荷曲線預測結果

對其后10 個數據點采用部分指數加權法擬合結果詳細信息如表5所示。

表5 母線負荷最小二乘法-加權馬爾科夫鏈模型擬合結果

由表5 可得，最小二乘法-加權馬爾科夫鏈模型的算法較最小二乘法預測精度有較大提升，其相對誤差平均降低了3.27%。

7 結語

本文基于母線負荷的時序性及不穩定性，采用最小二乘法實現母線負荷曲線的擬合，并基于其擬合誤差采用加權馬爾科夫鏈模型進行狀態劃分及最大轉移概率預測，對初始擬合數值進行了調優，同時，為了減少狀態轉移矩陣的生成頻次采用了部分指數加權法進行優化，從而使得預測誤差更小，準確度更高，進而使得母線負荷預測結果更好地為電網安全校核、運行方式變更等輔助決策提供參考依據。