基于加權L1 范數最小化算法的地震數據重建方法研究

梁 爽，武召祺，彭 清

(東華理工大學，江西 南昌 330013)

引言

自工業革命開始，化石能源日益成為社會經濟發展的動力源泉，并為人類的生存和發展提供了堅實的物質基礎，同時經濟發展也會進一步促進能源的勘探、開采和利用，可見社會經濟發展和化石能源之間有著密切關聯。目前，我國經濟正處于快速發展階段，對煤、石油、天然氣等資源需求量不斷增大，資源勘探也就成了經濟發展的重中之重[1]。地震勘探可以利用人工激發的地震波獲取地下礦藏信息，是一種高效的油氣勘探方法，在資源勘探當中被廣泛應用，為我國煤炭、石油等行業發展做出了巨大貢獻。

基于大部分信號具有稀疏性的特點，2004 年Donoho 提出壓縮感知理論將地震數據重建問題轉化為簡單的去噪問題，實現利用較少采集數據獲得近似完整的地震勘探效果[2]。該理論具有采樣速度快、存儲空間小、經濟成本低的優點[3]。重建算法是壓縮感知理論的核心問題，通常將壓縮感知理論重建算法分為3大類：第一類為貪婪算法，包括匹配追蹤算法、正交匹配追蹤算法等；第二類為組合算法，包括傅立葉采樣、鏈式追蹤及HHS 追蹤等；第三類為凸優化算法，包括域值迭代法、投影梯度算法等[4-5]。L1 范數譜投影梯度算法具有操作簡單、適用處理海量數據的特點。但該方法在數據重建過程中相鄰切片是獨立重建的，忽略了地震數據有效波具有連續性的特點，為此本研究提出一種基于加權L1 范數最小化算法的地震數據重建方法，該方法以壓縮感知理論為基礎，以曲波變換為稀疏基，用不同時間切片有效波曲波系數的相關性作為先驗信息，從而提出加權L1 范數約束條件，選取相鄰切片的有效數據進行重建，使重建后的地震數據同相軸更為連續，在實現高精度地震數據重建同時也進一步提升抗噪能力。將本研究方法應用于處理實際野外采集數據，實驗結果驗證了本研究提出方法的實用性與有效性。

1 數據重建原理

1.1 壓縮感知理論

壓縮感知原理充分利用信號具有稀疏性的特點，解決了尼奎斯特理論采樣頻率必須大于信號最高頻率2 倍的要求，僅用少量數據就可以恢復出近似完整原始數據f?RN。

式中，ψ 為隨機采樣矩陣，y?R M(M?N)為缺失數據，因此在 ψ和y 已知的前提條件下，可以通過地震數據重建恢復出近似完整的地震數據f。由于地震數據在時間域內不具有稀疏性，本研究以曲波變換φ為稀疏基，使f 在變換域 φ內進行稀疏表示，則

式中，α 為稀疏系數，H 為共軛轉置矩陣，則公式（1）可寫為

當 ψ滿足限制等距特性時，可以通過L1 范數最小化算法不斷促進求解最優稀疏系數，即

1.2 加權L1 范數最小化算法

地震數據的物理屬性具有連續性，因此可以對地震數據進行加窗處理，把地震數據轉化成時間切片，利用相鄰切片之間的高度相關性促進稀疏系數α 的恢復，但標準L1 范數最小化方法并沒有考慮到這種情況，因此本研究用加權L1 范數最小化算法代替標準L1 范數最小化，將公式（4）改為：

經過實測分析，當γ=0.3 時加權L1 范數最小化算法重建后信噪比值最大，重建效果最佳，因此在后續實驗當中參數γ 均取值為0.3。

2 實測數據處理

圖1 野外地震數據模型及重建結果

為進一步驗證文本方法兼具實用性與有效性，還采用標準L1 范數最小化算法對50%隨機缺失數據進行重建，兩種算法在不同迭代次數下的信噪比關系圖見圖2，由圖2 可知，起初隨著迭代次數增加，兩種算法重建后信噪比均有效增長，但當迭代次數超出某一數值后，信噪比數值將趨于穩定，此時加權L1 范數最小化算法的重建結果要明顯優于標準L1 范數最小化算法。綜上所述可以得出，在處理野外實際數據中，本研究方法可以實現高精度的地震數據重建。

圖2 不同迭代次數與信噪比關系曲線圖

3 結論

（1） 為了提高地震數據重建精度，本研究在標準L1 范數最小化算法的基礎上，依據地震數據有效波具有連續性的特點，提出加權L1 范數最小化重建算法。對比這兩種算法可以得出，本研究方法重建后信噪比數值更大，重建效果更佳。

（2） 實驗結果表明，對于處理野外采集的缺失地震數據，本研究方法具有重建誤差小，魯棒性好和抗噪能力強的優點。因此資金成本，重建精度這兩方面方面考慮，本研究所提出的方法具有可行性和實用性。