幾何直觀多感悟 代數(shù)直觀更精準(zhǔn)
——三角形面積計算誤區(qū)思考

周婷婷

(江蘇省南京市南師附中江寧分校 211100)

“教材安排和課堂設(shè)計都注重經(jīng)歷操作促進三角形面積公式推導(dǎo)的生成，為什么還有學(xué)生忘記計算公式中的÷2？”“教師注重引導(dǎo)學(xué)生用兩個完全相同的三角形去拼成一個平行四邊形，鼓勵學(xué)生自主推導(dǎo)三角形面積公式，大量計算鞏固，為什么期末學(xué)業(yè)檢測還有學(xué)生忘記÷2？”這是很多教師反饋教學(xué)效果不理想的疑問所在；“老師，您有沒有秘訣可以記住計算三角形和梯形的面積÷2？”也是很多家長和學(xué)生反饋學(xué)業(yè)成績不理想的遺憾所在.這個現(xiàn)象對數(shù)學(xué)平面幾何，立體幾何，空間幾何中的多邊形面積計算有影響，對生活問題和科學(xué)問題的解決也有影響.怎樣才能消除這個現(xiàn)象？

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011)》強調(diào)僅僅經(jīng)歷過程不行，學(xué)生應(yīng)該理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，感悟數(shù)學(xué)思想.幾何直觀在數(shù)學(xué)直觀中最為形象，能看得見、摸得著、好理解，數(shù)學(xué)直觀還包含幾何直觀和統(tǒng)計直觀，根據(jù)小學(xué)階段兒童的認知特點，常常借助幾何直觀解決代數(shù)問題、生活問題、科學(xué)問題.幾何直觀感悟不充分不通達不行，一種幾何直觀如果促進學(xué)生生成代數(shù)直觀，但學(xué)生在使用時頻繁計算錯誤，更可能是抽象的結(jié)論和幾何圖形沒有形成對應(yīng).

學(xué)生在經(jīng)歷兩個相同的三角形組成一個平行四邊形，求出平行四邊形的面積，推導(dǎo)出這個三角形的面積的過程中，感受面積公式的水到渠成.但學(xué)生獨立看圖計算時，頭腦接收這個三角形的圖形和底、高信息，并不會自行生成平行四邊形，而是產(chǎn)生直接將底和高相乘的直觀反應(yīng).可以通過加強公式記憶練習(xí)促進熟練，改變忘記“÷2”現(xiàn)象，讓計算在強記的基礎(chǔ)上更精準(zhǔn).也可以通過增加不同幾何直觀促進理解而后記憶，讓計算在理解的基礎(chǔ)上更精準(zhǔn).《三角形的面積計算》一課，嘗試從數(shù)學(xué)本質(zhì)的深度，設(shè)計三個角度幾何直觀推導(dǎo)出三角形面積公式，感悟三角形面積公式的邏輯性，從本質(zhì)上掌握三角形面積計算中“÷2”的含義；組織一個疑點分析，明晰教材角度“÷2”的含義；設(shè)計正向思維和逆向思維訓(xùn)練發(fā)揮思維定勢的正面作用，在靈活中固化三角形面積計算，消除忘記“÷2”的現(xiàn)象.

1 經(jīng)歷不同幾何直觀，生成相同代數(shù)直觀

布魯納說，教學(xué)不是帶領(lǐng)學(xué)生銘記已有的結(jié)果，而是教他們?nèi)绾螀⑴c知識獲取的過程.學(xué)生先經(jīng)歷兩個完全一樣的三角形拼成一個平行四邊形的操作推導(dǎo)三角形的面積公式，再根據(jù)教材第10頁《你知道嗎？》，帶領(lǐng)學(xué)生在畫圖、剪紙、拼接，經(jīng)歷“以盈補虛”推導(dǎo)三角形面積公式的過程.最后，結(jié)合三種不同拼接方法比較，學(xué)生從分面積的一半，底的一半，高的一半這三個不同角度，深刻理解 “÷2”這個代數(shù)形式的幾何含義.

格點圖中兩個完全相同的銳角三角形拼成一個平行四邊形，三角形的面積和等底等高平行四邊形面積的關(guān)系.理解“4×4”和“÷2”的含義.發(fā)現(xiàn)：“÷2”是指平行四邊形面積的一半.兩個完全相同的直角三角形拼成一個平行四邊形，三角形的面積和等底等高平行四邊形面積的關(guān)系.兩個完全相同的鈍角三角形拼成一個平行四邊形，三角形的面積和等底等高平行四邊形面積的關(guān)系.理解“8×3”和“÷2”的意思.發(fā)現(xiàn)：“÷2”是指三角形對應(yīng)的平行四邊形面積的一半.

沿著三角形任意兩條邊的中點連線剪開，再將三角形左右兩側(cè)直角三角形旋轉(zhuǎn)至上方，轉(zhuǎn)化成長方形.長方形的高和三角形的高一樣，還是3厘米，長方形的底正好是三角形底的一半.發(fā)現(xiàn)：“÷2”是指長方形的底是原來三角形底的一半.

沿著三角形任意兩條邊的中點連線剪開，再將三角形上面兩個直角三角形旋轉(zhuǎn)至左右，轉(zhuǎn)化成長方形.長方形的底和三角形的底一樣，還是8厘米，長方形的高正好是三角形高的一半.發(fā)現(xiàn)：“÷2”是指長方形的高是原來三角形高的一半.

學(xué)生通過三個幾何直觀經(jīng)歷中領(lǐng)悟，尤其是長方形的底是原來三角形底的一半，長方形的高是原來三角形高的一半，這些過程，使得學(xué)生在看到一個三角形求面積時，更容易產(chǎn)生“÷2”的代數(shù)直觀.

2 經(jīng)歷一個疑點分析，深度理解代數(shù)直觀

長方形的底是原來三角形底的一半，長方形的高是原來三角形高的一半，幫助學(xué)生更好的抽象出“÷2”的代數(shù)直觀，至此，學(xué)生對三角形的面積公式已經(jīng)有了正確的認識.在此基礎(chǔ)上，組織學(xué)生進行拼圖操作，先經(jīng)歷不完全相同的三角形(不全等)無法拼成平行四邊形，再經(jīng)歷“只有完全一樣的三角形才能拼成平行四邊形”，領(lǐng)悟一個三角形的面積是兩個和它完全一樣的三角形拼成的平行四邊形面積的一半.

每個學(xué)習(xí)小組將信封中的9個三角形取出，3對完全一樣的銳角、直角、鈍角三角形；還有3個分別和這些銳角、直角、鈍角三角形不完全一樣的干擾三角形.學(xué)生在拼圖的舍棄和選擇中深度體驗“兩個完全一樣的三角形”這一前提條件對三角形面積公式合理的意義.

3 經(jīng)歷多組數(shù)據(jù)計算，真正掌握面積公式

學(xué)生舍棄3個干擾圖形，選擇將拼好的3個平行四邊形的信息填在表1中，并填出平行四邊形和對應(yīng)三角形的面積，再小組討論他們的面積關(guān)系，達成共識.

表1

小組討論任務(wù)：

(1)拼成的平行四邊形和每個三角形有什么關(guān)系？

(2)拼成的平行四邊形的底和高與三角形的底和高有什么關(guān)系？

(3)每個三角形的面積與拼成的平行四邊形的面積有什么關(guān)系？

(4)根據(jù)平行四邊形的面積，怎樣求三角形的面積？

小組共識：

(1)拼成的平行四邊形是兩個相同的三角形拼成.

(2)拼成的平行四邊形的底和高與三角形的底和高相同.

(3)每個三角形的面積是拼成的平行四邊形的面積的一半.

(4)三角形的面積=底×高÷2.

比較三種不同角度，發(fā)現(xiàn)：計算三角形的面積只要知道底和高，再“底×高÷2”即得到三角形面積大小.學(xué)生理解和掌握三角形的面積計算更準(zhǔn)確，對梯形面積以及組合圖形面積的學(xué)習(xí)產(chǎn)生一定正遷移.

4 經(jīng)歷雙向思維訓(xùn)練，深度固化面積公式

思維定型或形成思維定勢是思維發(fā)展的必然趨勢，因此通過正向思維和逆向思維練習(xí)的設(shè)計塑造高品質(zhì)的計算思維定勢.以“三角形的面積計算”為本，整合變化問題，培養(yǎng)學(xué)生在已知條件變化的情境中精準(zhǔn)計算三角形面積.公式正向訓(xùn)練：設(shè)計一般的銳角三角形、鈍角三角形、直角三角形底和高，求它們的面積，已知等腰直角三角形的一條腰，求它的面積；設(shè)計三角形不同的擺放的位置，使底和高出現(xiàn)在三角形的上方、側(cè)面，已知底、高求面積；設(shè)計已知2個底和1個高、1個底和2個高求面積；設(shè)計底、高已知的三角形田地收獲多少千克蘿卜、每平方米有多少棵白菜.公式逆向練習(xí)：已知三角形的面積和底、高中的一個條件求另一個.例如：“已知三角形的面積是20平方厘米，底是5厘米，則高是多少厘米？”學(xué)生熟練以20×2÷5的思路算出高，突出探討“20×2”的含義，掌握逆向思維中×2和正向思維中÷2的含義和聯(lián)系.

《三角形的面積計算》一課從三角形圖形的幾何直觀著手，幫助學(xué)生在頭腦中產(chǎn)生幾何直觀和代數(shù)直觀準(zhǔn)確且穩(wěn)定的對應(yīng)聯(lián)系，消除忘記“÷2”的現(xiàn)象.

初中階段對小學(xué)教材已經(jīng)出現(xiàn)的平面圖形計算公式，不再作為新知識重新學(xué)習(xí)，重在例題或練習(xí)中運用.幾何學(xué)習(xí)采用更加抽象和概括的方式、用邏輯的推理和論證，更加突出“為什么”，對學(xué)生的能力要求有質(zhì)的飛躍.高中階段需要學(xué)生在探究幾何問題時能聯(lián)系代數(shù)式，看到代數(shù)式時頭腦中能有幾何圖形.強調(diào)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，最終使學(xué)生會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界.很多物理學(xué)家、化學(xué)家和生物學(xué)家在思考自己研究領(lǐng)域的科學(xué)問題時，也都是通過敏銳的數(shù)學(xué)直觀能力解決復(fù)雜的問題.因此，在小學(xué)階段，教師要根據(jù)學(xué)情，積極嘗試精心設(shè)計，消除思維直觀對數(shù)學(xué)抽象學(xué)習(xí)的限制性，通過充分的幾何直觀體驗，向直觀思維的優(yōu)勢性轉(zhuǎn)化，更好地開發(fā)兒童的代數(shù)直觀能力，給后續(xù)學(xué)科學(xué)習(xí)打下堅實知識基礎(chǔ)，生活和科學(xué)問題打下堅實思維基礎(chǔ).