雙正交小波對球面漸開線螺旋錐齒輪齒面擬合的研究

王永旭，阿達依·謝爾亞孜旦，劉明亮

(新疆大學機械工程學院，新疆烏魯木齊 830047)

0 前言

螺旋錐齒輪是機械傳動系統中最重要的核心部件之一，用于傳遞空間中兩相交或交錯軸之間的動力，具有重合度大、傳動平穩、噪聲小、承載能力高、傳動效率高等優勢，廣泛應用于汽車、航天航海、礦山機械等領域[1]。隨著工程應用領域的擴展，對螺旋錐齒輪的加工精度提出了更高的要求。齒面精度直接影響傳遞運動的準確性、平穩性和載荷分布的均勻性，齒輪的精度越高，傳遞的運動精度越高，機械效率越高，承載能力越強，耐磨性越好，疲勞壽命越長，機械振動和噪聲越小[2]。傳統的加工方法加工復雜曲面時，既不能達到預期目的，也無法滿足現代加工高精度、高柔性、高效率的要求。因此，多軸通用數控機床加工螺旋錐齒輪被提出，并成為重要的研究方向和熱點。唐進元等[3-4]采用反調修正法提高了螺旋錐齒輪的加工精度。韓江等人[5]利用刀盤誤差的補償提高螺旋錐齒輪齒面加工精度。農小銳[6]提出采用先進的數控加工技術與合理的后處理是提升螺旋錐齒輪加工精度的主要途徑。阿達依·謝爾亞孜旦等[7]利用電化學光整加工改變齒面幾何微觀形貌，從而提高了加工精度。以上方法和途徑雖然提高了加工精度，但都是集中在加工過程和成形后處理，并沒有建立加工前的數字化模型。由文獻[8]可知用于加工的數字化模型的表面光順性和復雜程度是最終影響加工質量的決定性因素。

根據小波理論，曲面可以分解為表示主體特征的低頻曲面與表示細節特征的高頻曲面，而高頻細節特征曲面是影響曲面光順性和復雜性的主要因素。因此，本文作者運用NURBS曲線曲面及其插補算法[9]在高精度數控加工中的優勢，結合雙正交B樣條小波分解與重構，以減小高頻曲面對曲面光順性的影響，在保證設計精度的前提下，降低齒面的復雜性和提高齒面的光順性,為利用通用多軸數控機床加工球面漸開線螺旋錐齒輪提供參考。

1 理論基礎

1.1 球面漸開線理論與方程

球面漸開線是當平面在圓錐面上作純滾動時，平面上一點的運動軌跡，該圓錐稱為基圓錐。如圖1所示，圓平面π與基圓錐面OAO′相切并在錐面上作純滾動，圓平面π上的一動點K在空間的運動軌跡就是一條漸開線。由于動點K在漸開線上任意一點位置到基圓錐頂點O的距離始終相等，該漸開線是以點O為球心的球面上[10]。圓平面由初始位置OK滾動到位置OA，動點K的運動軌跡稱為球面漸開線AK。

圖1 球面漸開線理論

在直角坐標系中，利用空間球面幾何學建立球面漸開線方程。在動直角坐標系OX1Y1Z1中，OK的方程為

(1)

其中：r為OK的長度；δ為基圓錐的根錐角。根據坐標變換原理，得到動坐標系OX1Y1Z1坐標方程：

(2)

把公式(1)代入公式(2)得到球面漸開線方程：

(3)

改變r和γ的值，可以得到齒面上不同位置點的坐標[11]。錐齒輪的齒形是由基圓錐上的起始點的集合所決定的:如果基圓錐面上的起始點的集合是一條直線，該齒輪是直齒錐齒輪;如果是一條斜線就是斜齒錐齒輪;如果是一條螺旋線就是螺旋錐齒輪。

1.2 引入螺旋線

由螺旋角的廣義定義[12]可知，任一螺旋線都可以看作空間的點繞中心軸作回轉運動所產生的運動軌跡。在運動軌跡上任意一動點的速度可以分解為3個方向上的速度分量，即軸向速度矢量(速矢)v1、徑向速矢v2、切向速矢v3，如圖2所示。

圖2 螺旋線的形成過程

運動點P沿著X軸向右運動的同時作回轉運動，所以點P處螺旋角廣義定義為

(4)

以回轉體圓錐面為例，對于每一個x值，ρ是定值。在極坐標中，ρ=ρ(x)，則可以得到3個方向的速度大小：

(5)

將式(5)代入式(4)可得：

(6)

設圓錐的半頂角為γ：

(7)

將式(7)代入式(6)可得：

(8)

所以在圓錐面上的螺旋線方程為

(9)

1.3 算例

以一副無變位的標準球面漸開線螺旋錐齒輪為例，主要參數見表1。運用MATLAB編寫離散點程序，得到齒面上6×11個離散點坐標值，以大輪的凹面和凸面為例，離散點和網格如圖3所示。

表1 一副嚙合的螺旋錐齒輪主要參數

圖3 大輪齒面離散點和網格

2 齒面的NURBS曲面擬合與小波變換

2.1 三次NURBS曲面的表達式

三次NURBS曲面的方程為

u,v∈[0,1]

(10)

式中:Pi,j是控制頂點坐標;ωi.j是權因子;Ni,3(u)、Nj,3(v)分別是u、v方向上的三次B樣條基函數,可由DeBoor-cox遞推公式確定。DeBoor-cox遞推公式為

式中:k是方程的次數。利用NURBS插值法可以反算出權因子和控制頂點的值,反算參考文獻[13]159。節點矢量u、v采用累積弦長法確定。

2.2 NURBS曲面的三次B樣條小波分解與重構

小波變換本質是把信號分解成低頻主體特征信息和高頻細節信息，重構是對分解的逆過程。小波變換可分為離散(DWT)和連續(CWT)小波變換。若函數f(x)∈L2(R)，則CWT小波的表達式為

(11)

在實際工程中得到的大部分是離散信號,要求運算量小和運算能力強，同時還必須有較高的準確度。DWT小波表達式為

(12)

其中:T是f(x)的維度;t為離散時間抽樣指數。

小波變換原理的實質是對控制坐標點的分解與重構，則對NURBS曲面進行雙正交B樣條小波基變換是把NURBS曲面分解為低頻主體曲面(光順性好)和高頻細節曲面(光順性差)。

(13)

(14)

S(u,v)=

(15)

(16)

由于是保留低頻主體特征信息，則去除高頻細節信息，令P1=0、P2=0、P3=0，從而可以得到反算坐標控制點Pi,j，把Pi,j代入NURBS曲面的方程可以去除高頻細節信息的曲面，從而達到降低齒面的復雜性和提高曲面光順性的目的。將生成的NURBS網格曲面導入到UG12.0進行建模，齒輪的裝配模型見圖4。在被小波處理的NURBS曲面上取50個數據點進行擬合誤差計算，結果如圖5所示。

圖5 擬合誤差

原始齒面與小波處理后的齒面的高斯曲率如表2所示。可以看出：小波處理后的齒面高斯曲率變小，同時曲面的復雜程度也隨之降低并且光順性提高。復雜曲面的復雜程度的降低，有利于減小銑削加工過程中最大殘余力，從而提高加工效率和加工精度[8]。小波處理后的復雜曲面的復雜程度降低，所以對球面漸開線螺旋錐齒輪的齒面運用小波優化可以在很大程度上提高螺旋錐齒輪齒面的加工精度。

表2 齒面的高斯曲率

在加工過程中，應盡可能地減小加工誤差和保證加工精度，所以可以從以下2個方面進行優化：

(1)對刀具的運動軌跡和走刀步長進行優化。在數控加工過程中，刀具運動軌跡的優化可以改善加工質量和提高材料的去除效率。走刀步長是刀具軌跡上相鄰2個插補點之間的距離。由幾何關系可知走刀的步長公式為

(17)

式中：Rmin為最小曲率半徑；δ為誤差。

其中：A=yC-yB；B=xB-xC；C=yBxC-xByC。文獻[15]中證明了合理的步長可以弱化因插補方法而造成的誤差。

(2)對進給速度進行優化。在加工過程中要確保加工精度，應避免造成較大的輪廓誤差，插補時進給速度應該滿足式(18)。在加工中，為防止加速度過大而對機床造成沖擊，加速度應滿足式(19)：

(18)

(19)

式中:ρi是曲率半徑；δmax為最大輪廓誤差；Ts為插補周期；vi為第i個插補周期的進給速度；amax為系統的許用最大加速度[9]。

3 實驗驗證

3.1 實驗條件

以大輪為例進行實驗驗證，運用UG12.0構建球面漸開線螺旋錐齒輪的單齒模型,如圖6所示。運用UG中特殊模塊，進行數字模擬加工并導出數控加工代碼，把加工代碼導入到數控銑床中進行數字化加工。毛坯的材料為45號鋼，尺寸為60 mm×50 mm×30 mm。加工需要運用的設備及加工參數見表3，加工過程如圖7所示。

圖6 數字化模型

表3 加工參數

圖7 數控加工過程

對數控加工后的工件，用三坐標測量儀(TASASTAR-m)對螺旋錐齒輪的齒面(凹面和凸面)進行測量，如圖8所示。首先將工件固定在三坐標測量儀的測量臺面上，以工件底面的中心作為三坐標測量儀的原點并建立坐標系，均勻分布測量齒面的凹面和凸面上離散點坐標數據。

圖8 測量裝置

3.2 實驗結果與分析

將三坐標測量儀測量的數據點與理論數據點進行比較，可以計算出齒面加工誤差。小波優化后加工的球面漸開線螺旋錐齒輪齒面上凸面和凹面的加工誤差分布如圖9所示。圖10所示為齒面加工誤差。

圖9 小波優化加工誤差分布

圖10 齒面加工誤差

由圖9可以看出:齒面(凸面和凹面)的加工誤差呈現出相同的趨勢，齒根加工誤差比較大,這是因為球面漸開線螺旋錐齒輪的齒根結構比較復雜，在實際加工過程中機床的振動和測量誤差等因素都會對實驗結果產生影響。

由圖10可知:通過小波處理的齒面擬合誤差近似為加工誤差的1/3，而未經小波處理的齒面擬合誤差近似為加工誤差的1/6。經過小波處理后的齒面擬合誤差比未處理的齒面大，但是較小的加工誤差彰顯了小波變換在齒面優化上的優勢。

由表2可知:經過小波處理后的齒面的高斯曲率減小，并且原始凹面和凸面與小波處理的凹面和凸面的高斯曲率極差分別減小了1×10-3、1.01×10-3，說明降低了齒面的復雜性，提高了齒面的光順性。由圖10還可以得到經小波變換后的球面漸開線螺旋錐齒輪的齒面的凹面和凸面的平均加工誤差分別減少了14.58、14.62 μm,說明齒面的復雜性越低，加工偏差越小，加工精度就越高。

4 結論

(1)利用雙正交B樣條小波對球面漸開線螺旋錐齒輪齒面進行優化，實現了對球面漸開線螺旋錐齒輪齒面參數化與精確模型的構建；從構建數字化模型入手，提出了一種提高螺旋錐齒輪加工精度的新方法。在保證擬合精度的前提下降低曲面復雜程度，減小加工過程中的振動，有利于提高加工精度。

(2)利用雙正交B樣條小波對齒面進行優化，降低了齒面高斯曲率，因此降低了齒面的復雜性，提高了光順性；同時也為復雜曲面的構造和逆向工程提供了一種新的建模方法。