數(shù)控機(jī)床二質(zhì)量伺服系統(tǒng)慣量匹配研究

劉光宗，蘇建新，孫亞瓊，李洪偉，楊俊濤

(1.河南科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，河南洛陽 471003；2.洛陽LYC軸承有限公司，河南洛陽 471039；3.機(jī)械裝備先進(jìn)制造河南省協(xié)同創(chuàng)新中心，河南洛陽 471003)

0 前言

高速精密磨削加工要求數(shù)控機(jī)床反應(yīng)靈敏、精度高、可靠性強(qiáng)，相關(guān)研究表明：負(fù)載電機(jī)慣量匹配對數(shù)控機(jī)床系統(tǒng)的穩(wěn)定性、動態(tài)響應(yīng)(如系統(tǒng)超調(diào)、上升時(shí)間、調(diào)節(jié)時(shí)間)以及機(jī)床精度有著十分重要的影響。在實(shí)際工程應(yīng)用中，折算到電機(jī)軸的負(fù)載慣量與電機(jī)的慣量之比不宜過大，應(yīng)控制在合理的范圍內(nèi)，否則系統(tǒng)會出現(xiàn)振蕩甚至失控。相關(guān)學(xué)者作了大量研究，英國ARMSTRONG[1]和美國MOSCROP等[2]針對伺服系統(tǒng)在負(fù)載電機(jī)慣性失配情況下的控制進(jìn)行了學(xué)術(shù)交流；LI和LIU[3]對負(fù)載慣性變化的永磁同步電機(jī)系統(tǒng)在速度自適應(yīng)控制方面進(jìn)行了研究；SHAO等[4]研究某并聯(lián)機(jī)器人，仿真得出了慣量指標(biāo)以及合適的慣量匹配范圍；黃捷建等[5]總結(jié)了在負(fù)載慣量與電動機(jī)慣量高度不匹配的應(yīng)用中可采取的應(yīng)對措施；張彥方等[6]針對重型數(shù)控機(jī)床給出了直線加工和圓弧加工2種加工形式下較優(yōu)的慣量比范圍；劉輝等人[7]建立進(jìn)給系統(tǒng)的雙慣量模型進(jìn)行仿真分析，給出了綜合考慮各項(xiàng)性能的進(jìn)給系統(tǒng)負(fù)載慣量比設(shè)計(jì)步驟和方法；楊森[8]通過建立機(jī)床虛擬樣機(jī)的機(jī)電聯(lián)合仿真平臺，分析了不同驅(qū)動方式和不同加工工況下機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)的最佳負(fù)載慣量比；孫成志等[9]建立了轉(zhuǎn)動慣量與質(zhì)量之間的函數(shù)關(guān)系，得到了發(fā)動機(jī)飛輪與電機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動慣量的最佳匹配；袁磊等人[10]提出了滿足伺服運(yùn)動系統(tǒng)的定位精度和同步控制精度的方法。但目前可查到的文獻(xiàn)中還沒有一種可以對伺服系統(tǒng)慣量匹配普遍適用的方法，仍需具體問題具體分析。

1 概述

1.1 慣量匹配含義

對于某特定的伺服電機(jī)，若采用減速機(jī)構(gòu)，同時(shí)忽略減速機(jī)構(gòu)自身所增加的慣量和效率損失的情況下，使折算到電機(jī)軸上的負(fù)載慣量與伺服電機(jī)的慣量相匹配(負(fù)載慣量等于電機(jī)慣量，即慣量比為1)，該伺服系統(tǒng)就能實(shí)現(xiàn)最佳功率傳輸，且能獲得最大的負(fù)載加速度，即所謂的“慣量匹配”。

1.2 慣量匹配原則

圖1所示為伺服系統(tǒng)進(jìn)給結(jié)構(gòu)簡圖。對于機(jī)械傳動系統(tǒng)，根據(jù)牛頓第二定律可知：

圖1 伺服系統(tǒng)進(jìn)給結(jié)構(gòu)簡圖

2π(Jm+JL)dn/dt=Tm-TL

(1)

式中:Jm為伺服電機(jī)自身慣量(kg·m2)；JL為折算到電動機(jī)軸的負(fù)載慣量(kg·m2)；n為電機(jī)轉(zhuǎn)速(r/s)；t為加減速時(shí)間(s)；Tm為伺服電機(jī)轉(zhuǎn)矩(N·m)；TL為折算到電機(jī)軸的負(fù)載轉(zhuǎn)矩(N·m)。2πdn/dt為角加速度，角加速度越小，則數(shù)控系統(tǒng)從發(fā)出指令到指令執(zhí)行完畢所需時(shí)間越長，即通常所說的系統(tǒng)反應(yīng)遲鈍；相反，則系統(tǒng)反應(yīng)靈敏。若角加速度變化，即系統(tǒng)反應(yīng)忽快忽慢，就會影響加工精度。當(dāng)進(jìn)給伺服電機(jī)選定，則轉(zhuǎn)矩一定，若期望角加速度的變化盡可能小，應(yīng)使Jm+JL的變化盡量小，Jm+JL越小越有利于調(diào)速，瞬態(tài)響應(yīng)就越好。

JL/Jm為負(fù)載電機(jī)慣量比(為了表示方便，用q表示慣量比JL/Jm)，反映了電機(jī)對負(fù)載的控制能力。q值越大，則電機(jī)控制穩(wěn)定性越差，動態(tài)特性受負(fù)載影響越大，越易受其他因素干擾，系統(tǒng)調(diào)試?yán)щy及定位時(shí)間長，加工性能越低；q值越小，則電機(jī)慣量占總慣量的比率越大，電機(jī)的控制能力越強(qiáng)，動態(tài)特性越好，加工性能越好。

根據(jù)相關(guān)研究，q一般選擇范圍：q≤5，其中：

(1)對于大型數(shù)控機(jī)床，q≤5；

(2)對于中小型數(shù)控機(jī)床，q≤2；

(3)高速高精度特殊加工，q≤1。

對于現(xiàn)代全閉環(huán)數(shù)控機(jī)床，常把高“伺服精度”和優(yōu)“瞬態(tài)響應(yīng)特性”作為首要追求目標(biāo)，轉(zhuǎn)矩雖有裕量，但仍以慣量匹配達(dá)到最佳狀態(tài)為目標(biāo)，這對提高加工精度、減小加工表面粗糙度以及提高加工效率十分有利。因此，應(yīng)優(yōu)先考慮慣量匹配，這就是慣量匹配的原則。

2 慣量匹配設(shè)計(jì)

2.1 伺服系統(tǒng)慣量匹配設(shè)計(jì)

在擺線輪成形磨齒機(jī)數(shù)控系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，某型號磨齒機(jī)水平方向載質(zhì)量(工作臺+工件)m1約為300 kg、滾珠絲杠(螺距S=26 mm、直徑D=80 mm)質(zhì)量m2約為40 kg、負(fù)載與導(dǎo)軌之間摩擦因數(shù)μ=0.002，設(shè)機(jī)械傳動效率η=95%，要求負(fù)載移動速度v最大達(dá)到0.8 m/s，加減速時(shí)間t為0.5 s，對該方向伺服電機(jī)進(jìn)行選型設(shè)計(jì)。

(1)折算到電機(jī)軸上的負(fù)載慣量為

JL=m1(S/2π)2+m2D2/8=300×(2.6/6.28)2+40×82/8=371.42 kg·cm2

(2)電機(jī)驅(qū)動負(fù)載所需轉(zhuǎn)矩

①電機(jī)轉(zhuǎn)速為

n=v/S=60×0.8/0.026=1 846 r/min

②克服摩擦力所需轉(zhuǎn)矩為

T1=μm1gS/(2πη)=0.002×300×9.8×0.026/(2×3.14×0.95)=0.026 N·m

③重物加速時(shí)所需力矩為

T2=m1aS/(2πη)=300×0.8/0.5×0.026/(2×3.14×0.95)=2.092 N·m

④螺桿加速時(shí)所需轉(zhuǎn)矩為

T3=(m2D2/8)(2πn/60)/(tη)=(40×82/8/10 000)×(2×3.14×1 846/60)/(0.5×0.95)=13.74 N·m

由②③④知，所需最大轉(zhuǎn)矩為

T=T1+T2+T3=15.86 N·m

根據(jù)(1)(2)知，伺服系統(tǒng)負(fù)載慣量為371.42 kg·cm2、電機(jī)驅(qū)動所需最大轉(zhuǎn)矩為15.86 N·m，則可選額定轉(zhuǎn)速2 000 r/min、額定力矩16 N·m、轉(zhuǎn)子慣量75 kg·cm2的伺服電機(jī)。其負(fù)載電機(jī)慣量比為371.42/75≈4.95，符合慣量匹配原則。

2.2 伺服系統(tǒng)慣量匹配優(yōu)化方案

為減小慣量比不匹配對系統(tǒng)造成的不利影響，提出以下改善策略:

(1)提高機(jī)械系統(tǒng)剛度，這需要在機(jī)床組裝前選擇剛度較好的零部件；

(2)采用合適的減速機(jī)構(gòu)，使慣量不匹配程度降到最小；

(3)增加伺服電機(jī)慣量，提高伺服電機(jī)對系統(tǒng)的控制能力以及系統(tǒng)穩(wěn)定性；

(4)采用雙軸伺服同步控制代替?zhèn)鹘y(tǒng)單軸驅(qū)動控制，在同等慣量情況下，可提高系統(tǒng)動態(tài)性能；

(5)構(gòu)建伺服驅(qū)動閉環(huán)PID控制系統(tǒng)，實(shí)時(shí)檢測、調(diào)節(jié)并跟蹤系統(tǒng)位置和轉(zhuǎn)速，獲得更快、更穩(wěn)的瞬態(tài)響應(yīng)。

3 二質(zhì)量伺服系統(tǒng)動力學(xué)模型及仿真實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證慣量匹配效果，結(jié)合上述優(yōu)化方案(5)，引入二質(zhì)量伺服系統(tǒng)概念，構(gòu)建二質(zhì)量伺服驅(qū)動閉環(huán)PID控制系統(tǒng)并進(jìn)行仿真研究。

3.1 二質(zhì)量伺服系統(tǒng)

如果把伺服系統(tǒng)中電機(jī)與負(fù)載作為一個(gè)剛體來考慮，則該系統(tǒng)稱為單質(zhì)量伺服系統(tǒng)。對于實(shí)際系統(tǒng)，盡管電機(jī)與負(fù)載是直接耦合的，但傳動本質(zhì)上是彈性的，在電機(jī)驅(qū)動力矩的作用下，機(jī)械軸會受到某種程度的彎曲和變形作用。對于加速度大、快速性和精度要求高的系統(tǒng)，彈性形變對系統(tǒng)性能的影響不能忽略。在定性計(jì)算時(shí)，通常將傳動軸的轉(zhuǎn)動慣量Ja計(jì)入到JL中，因此可將電機(jī)傳動系統(tǒng)簡化成電機(jī)-負(fù)載組成的二質(zhì)量伺服系統(tǒng)模型，如圖2所示。

圖2 二質(zhì)量伺服系統(tǒng)模型

其中：u為電源電壓；θm和θL分別為電機(jī)轉(zhuǎn)角和負(fù)載轉(zhuǎn)角；Tm和TL分別為電機(jī)力矩和負(fù)載轉(zhuǎn)矩；Ja為傳動軸轉(zhuǎn)動慣量；KL為耦合剛度系數(shù)。

3.2 伺服驅(qū)動閉環(huán)PID控制系統(tǒng)模型

3.2.1 伺服電機(jī)控制模型

根據(jù)圖3，可得電機(jī)電力學(xué)方程：

圖3 伺服系統(tǒng)電機(jī)框圖

(2)

其中：L為電樞電感;R為電樞電阻;Ce為電動機(jī)反電動勢系數(shù);Ki為電流反饋系數(shù);Km為電機(jī)力矩系數(shù);Jm和JL分別為電機(jī)的轉(zhuǎn)動慣量和負(fù)載的轉(zhuǎn)動慣量;Td為擾動力矩;bm為電機(jī)黏性阻尼系數(shù)。

3.2.2 負(fù)載模型

根據(jù)圖4，可得負(fù)載動力學(xué)方程為

圖4 負(fù)載框圖

(3)

由式(2)(3)，可得負(fù)載電機(jī)慣量比為

q=JL/Jm=

(4)

由上述電機(jī)及負(fù)載結(jié)構(gòu)框圖，建立電機(jī)-負(fù)載二質(zhì)量伺服系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖，如圖5所示。

圖5 二質(zhì)量伺服系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖

3.3 伺服驅(qū)動閉環(huán)PID控制系統(tǒng)模型

根據(jù)圖3，在Simulink環(huán)境下搭建電機(jī)仿真模型如圖6所示。

圖6 閉環(huán)PID控制Simulink主模型

為使仿真系統(tǒng)搭建簡化，提前將上述搭建好的電機(jī)模型進(jìn)行封裝，以便隨時(shí)調(diào)用。進(jìn)而在Simulink環(huán)境下搭建二質(zhì)量伺服系統(tǒng)仿真模型，如圖7所示。

圖7 Simulink環(huán)境下二質(zhì)量伺服系統(tǒng)模型

然后，在Simulink環(huán)境下搭建二質(zhì)量伺服PID控制系統(tǒng)仿真模型如圖8所示。為進(jìn)一步簡化，再將建立的二質(zhì)量伺服PID系統(tǒng)仿真模型作為一個(gè)整體被控對象進(jìn)行封裝，便于調(diào)用。搭建控制系統(tǒng)主模型時(shí)，通過PID控制器輸入信號直接連至整體封裝模型。其中，PID控制器內(nèi)部結(jié)構(gòu)如圖9所示。

圖8 閉環(huán)PID控制Simulink主模型

圖9 PID控制器Simulink內(nèi)部結(jié)構(gòu)圖

圖8中被控對象是一個(gè)二質(zhì)量伺服系統(tǒng)。輸入正弦波y=sin2πt，控制器采用PID控制(取PID控制器參數(shù)kp=8、ki=1、kd=5)進(jìn)行仿真。仿真時(shí)，通過改變負(fù)載慣量，使q取不同的值，分別為1、3、5、7、9，跟蹤系統(tǒng)的位置和速度響應(yīng)，結(jié)果分別如圖10和圖11所示。

圖10 不同慣量比下的位置跟蹤 圖11 不同慣量比下的速度跟蹤

由圖10、圖11可知:在慣量比小于等于5時(shí)，系統(tǒng)位置和速度響應(yīng)效果較好，且慣量比為1時(shí)達(dá)到最佳；隨著慣量比的增大，無論系統(tǒng)位置跟蹤還是速度跟蹤響應(yīng)均有所滯后，且隨之增大。系統(tǒng)動態(tài)性能變差，比值過大時(shí)會出現(xiàn)位置平頂和速度死區(qū)現(xiàn)象。

4 結(jié)束語

慣量匹配在數(shù)控機(jī)床的進(jìn)給系統(tǒng)設(shè)計(jì)中很重要，尤其是對于動態(tài)性能和穩(wěn)定性要求較高的場合。通過擺線輪成形磨齒機(jī)數(shù)控化設(shè)計(jì)實(shí)例進(jìn)行了定量計(jì)算和分析，構(gòu)建了二質(zhì)量伺服驅(qū)動閉環(huán)PID控制系統(tǒng)模型，并進(jìn)行了MATLAB仿真，分析了不同慣量比情況下位置和速度跟蹤結(jié)果，結(jié)果表明：

(1)慣量比q≤1時(shí)，系統(tǒng)位置和速動跟蹤趨近于理想曲線，幾乎同步運(yùn)動，可以滿足精密零部件加工需求；

(2)慣量比1

(3)慣量比3

(4)慣量比5

(5)慣量比q>7時(shí)，系統(tǒng)動態(tài)性能變差，尤其是當(dāng)q≥9時(shí)，系統(tǒng)動態(tài)特性急劇下降，不僅會發(fā)生位置平頂現(xiàn)象，還會發(fā)生速度死區(qū)的現(xiàn)象，造成跟蹤失真。反映在機(jī)床具體運(yùn)動時(shí)，會出現(xiàn)動作響應(yīng)較慢，且動作不能按照給定輸入執(zhí)行到位，無法滿足正常加工需求。