基于MATLAB的高速重載斜齒輪時變摩擦力計算研究

國瑞坤，賀磊，鞠國強(qiáng)，孫文莉，劉樹昆

(1.山東理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，山東淄博 255049；2.山東華成中德傳動設(shè)備有限公司，山東淄博 255200)

0 前言

高速重載齒輪目前廣泛應(yīng)用于高速列車、起重運輸機(jī)械、航空發(fā)動機(jī)等領(lǐng)域，齒輪傳動系統(tǒng)及其基礎(chǔ)部件在國家裝備制造業(yè)中具有不可替代的重要地位[1]。社會生產(chǎn)力的發(fā)展對齒輪高速重載的性能提出了更高的要求，將不可避免地加劇齒輪激勵，而齒面摩擦作為齒輪不可忽略的激勵源，其計算與影響規(guī)律探究對齒輪性能改進(jìn)具有重要意義。

李文良[2]以齒輪寬度與嚙合平面寬度的比值關(guān)系，確定嚙合平面的形狀準(zhǔn)則，推導(dǎo)出接觸線的計算公式并以此為基礎(chǔ)推導(dǎo)出摩擦力計算公式。蔣漢軍[3]通過時變接觸線的計算，以分段法計算時變摩擦力，并以此為基礎(chǔ)進(jìn)行故障分析。康博強(qiáng)和茍向鋒[4]建立了考慮齒面摩擦的五自由度彎-扭-軸耦合傳動系統(tǒng)動力學(xué)模型，分析系統(tǒng)隨激勵變化的動力學(xué)特性。王勝男等[5]以二級直齒輪傳動系統(tǒng)為研究對象，研究中間軸剛度改變對二級系統(tǒng)動態(tài)特性的影響，并得出其改變使得系統(tǒng)的固有頻率及其振型產(chǎn)生了模態(tài)躍遷的結(jié)論。韓林[6]采用勢能法與切片法，計及摩擦力的影響，建立單齒對及齒輪副嚙合剛度計算模型。

現(xiàn)有研究中用不同方法對齒面摩擦力計算公式的推導(dǎo)與影響因素、規(guī)律進(jìn)行了比較深入的探討，取得了一定成果，得出了很多重要結(jié)論。但上述研究中大多將載荷簡化處理為沿接觸線均勻分布，少有考慮接觸線實際精確的時變載荷分布情況。本文作者基于最小彈性勢能原理和動勢能轉(zhuǎn)換關(guān)系提出一種時變載荷計算公式，利用該公式推導(dǎo)出時變摩擦力計算公式，并探究高速重載工況下對摩擦力的影響規(guī)律。

1 載荷分布理論推導(dǎo)

基于最小彈性勢能原理，通過建立一個負(fù)荷分配模型來計算斜齒輪接觸線上的載荷分布[7]。齒輪的彈性勢能取決于齒廓瞬時接觸點的位置，將斜齒輪沿軸向劃分為若干個單位長度的薄片，薄片可看作小直齒輪，分別計算出小直齒輪在嚙合點處的彈性勢能，最后將計算結(jié)果沿著接觸線做積分處理，得到斜齒輪在嚙合接觸線上整體的載荷分布情況如下式所示：

式中:F為法向力(N)；βb為基圓螺旋角(°)；εβ為縱向重合度；b為輪齒寬度(mm)；ν(ξ)為彈性勢能倒數(shù)；Lc為接觸線長度(mm)。

彈性勢能是彎曲勢能、壓縮勢能、剪切勢能之和，詳細(xì)計算可見文獻(xiàn)[7]。根據(jù)動勢能轉(zhuǎn)換關(guān)系，提出一種時變載荷計算模型，將沿接觸線載荷分布模型轉(zhuǎn)化為時變載荷計算模型，可得某一時刻，小直齒輪嚙合點的時變載荷計算公式如下：

其中：β為斜齒輪的螺旋角；mn為斜齒輪的法向模數(shù)；E為斜齒輪的總體動能；F(t)為斜齒輪的時變嚙合力。

2 時變摩擦力其他參數(shù)計算

2.1 接觸線長度計算

斜齒輪接觸線在端面重合度或縱向重合度有任一個為整數(shù)時，接觸線總長度隨時間固定不變；當(dāng)兩者都不為整數(shù)時，接觸線總長度隨時間變化，尤其在β=15°時，接觸線總長度最大值與最小值相差最大，取值浮動最明顯。漸開線斜齒輪瞬時接觸線長度可表示為

式中 :εα為端面重合度；f為嚙合平面寬度。

γ(t)為周期分段線性函數(shù)，其表達(dá)式為

γ(t)=

n=ceil(εγ)

式中:εγ為總重合度，是端面重合度與縱向重合度之和；ωp為主動輪角速度；Pt為端面齒距；Rb為主動輪基圓半徑。

不同的幼兒之間存在個體差異，這就使幼兒在學(xué)習(xí)過程中通常會表現(xiàn)出不同的學(xué)習(xí)特點與心理特點，但是就總體而言，某個階段的幼兒通常會表現(xiàn)出相似的心理特征，這有助于教育者清晰地探究幼兒的學(xué)習(xí)路徑。

考慮嚙合過程的周期性，嚙合齒對接觸線瞬時總長度為

i=1,…,n

為初步驗證合理性，以為后面的摩擦力公式推導(dǎo)提供精確參數(shù)，取某企業(yè)某型號齒輪箱中一對齒輪進(jìn)行計算分析，參數(shù)如表1所示。

表1 斜齒輪副參數(shù)

將用此方法計算得到的時變接觸線總長極值和均值與中國航空漸開線圓柱齒輪工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)HB/Z 84.2—1984中接觸線計算方法計算結(jié)果進(jìn)行比較，結(jié)果如表2所示。時變接觸線總長變化曲線如圖1所示。接觸線總長誤差在4%以內(nèi)且曲線符合實際變化規(guī)律。

表2 接觸線總長結(jié)果驗證

圖1 β=15°時斜齒時變接觸線總長變化

2.2 時變摩擦因數(shù)計算

摩擦因數(shù)的時變性是摩擦力時變性的重要原因，它為一個隨嚙合位置變化的周期函數(shù)，摩擦因數(shù)的計算多采用半經(jīng)驗公式。文中采用Buckingham公式：

v=wili(t)-wjlj(t)

方向函數(shù)為δ=signν。

3 時變摩擦力公式推導(dǎo)

齒輪嚙合過程中的相對滑動產(chǎn)生齒面摩擦力，齒面摩擦力發(fā)生在嚙合線上，且其方向垂直于嚙合線。將斜齒輪沿軸向分解成n1個薄片，則每一個薄片可以看作成小直齒輪，如圖2所示。

圖2 切片法模型

某一小薄片上的摩擦力可表示為

Fk=μ(t)fr+ft

則某對輪齒嚙合時的摩擦力為

考慮到多齒嚙合情況，設(shè)某時刻嚙合時共有n2條接觸線，則總的時變齒面摩擦力為

式中:fr為載荷作用下徑向分力；ft為載荷作用下圓周分力。該摩擦力計算模型考慮了載荷分布、接觸線與摩擦因數(shù)這些計算參數(shù)的時變性，使它更加貼合實際。

將文獻(xiàn)[3]中齒輪參數(shù)代入所得時變摩擦力曲線、文獻(xiàn)[8]中的Kar模型、時變嚙合力和恒定摩擦因數(shù)(Tvnf+Cfc)模型、時變嚙合力和時變摩擦因數(shù)(Tvnf+Tvfc)模型，通過MATLAB軟件進(jìn)行仿真，結(jié)果如圖3所示。

圖3 不同方法時變摩擦力周期曲線對比

由圖3可知：對比恒定嚙合力構(gòu)建的摩擦力計算模型，考慮時變嚙合力的摩擦力計算模型降低了摩擦力波動的幅值。然而，在時變摩擦因數(shù)作用下，摩擦力的波動變大。本文作者所提方法較其他3種方法計算結(jié)果略偏大，考慮到時變嚙合力和時變摩擦因數(shù)，文中模型計算結(jié)果更接近實際情況。

4 高速重載對時變摩擦力的影響分析

為研究高速重載工況下齒輪的時變摩擦力變化情況，運用MATLAB軟件對恒定功率110 kW重載齒輪不同高轉(zhuǎn)速值下摩擦力進(jìn)行計算分析，得到不同轉(zhuǎn)速值下最大瞬時摩擦力的數(shù)值變化規(guī)律如圖4所示。

圖4 不同線速度下一個周期內(nèi)最大瞬時摩擦力變化曲線

對恒定高線速度25 m/s下高轉(zhuǎn)速齒輪在不同負(fù)載扭矩即不同法向力下最大瞬時摩擦力進(jìn)行計算分析，其變化曲線如圖5所示。

圖5 不同法向力下一個周期內(nèi)最大瞬時摩擦力變化曲線

由圖4可知：在一個嚙合周期內(nèi)最大瞬時摩擦力隨著速度的增大而增大，速度相對較大時，最大瞬時摩擦力變化趨勢增大。由圖5可知：在一個嚙合周期內(nèi)隨著法向力即負(fù)載扭矩的增大，最大瞬時摩擦力也在逐漸增大，在負(fù)載允許范圍內(nèi)，最大瞬時摩擦力與法向力呈線性關(guān)系。表明高速運轉(zhuǎn)時斜齒輪輪齒表面更容易出現(xiàn)齒面膠合等失效形式。

5 結(jié)語

提出一種時變載荷計算模型，將時變接觸線長度公式以及時變摩擦因數(shù)作為基本參數(shù)，運用切片法推導(dǎo)了時變摩擦力公式；運用MATLAB軟件對推導(dǎo)的摩擦力公式和已有模型公式進(jìn)行求解，得到對比曲線。結(jié)果表明：本文作者所提方法所求摩擦力略大于其他3種方法，模型計算結(jié)果更接近實際情況。對不同高轉(zhuǎn)速值下同一個嚙合周期內(nèi)最大摩擦力進(jìn)行了對比分析，結(jié)果表明：轉(zhuǎn)速增大與負(fù)載扭矩增大都會使摩擦力增大，這也從齒面摩擦力角度上合理解釋了高速工況下，斜齒輪輪齒表面更容易出現(xiàn)齒面膠合等失效形式的原因。