借助“截長補短法”探究三條線段間的數量關系
——由2021年北京市房山區初三數學二模第27題引發的思考

■ 北京景山學校遠洋分校 趙 照

1 試題呈現

如圖1，已知AC是矩形ABCD的對角線，∠BAC＝30°，點M是DC延長線上一點，∠BAC的平分線與∠BCM的平分線交于點E，將線段CA繞點C逆時針旋轉，得到線段CF，使點F在射線CB上，連接EF.

圖1

(1)依題意補全圖形；

(2)求∠AEC的度數；

(3)用等式表示線段AE，CE，EF之間的數量關系，并證明.

2 解法探究

2.1 第(2)問分析

如圖2，欲求∠AEC的度數，利用三角形內角和180°，可將其放在封閉△AEC中，只須求∠ECA和∠1，即求∠2，∠3，∠1 的度數即可.由∠BAC＝30°結合AE平分∠BAC，易知∠1＝15°，由CE平分直角∠MCF，可知∠2＝45°，結合矩形ABCD可知∠3＝60°，進而∠AEC＝60°.

圖2

解題后繼續聯想還可以獲得哪些結論?觀察圖形，有特殊的線段或特殊的角嗎?這也是幾何綜合題解題應該養成的習慣，在求解每問后繼續聯想往往會對后面的解題鋪墊條件.觀察圖形，∠F與∠1幾何直觀是相等的，那能證明么?由已知AB∥CD且AE平分∠BAC.如圖 3，延長AE交DC延長線于L，則會出現等腰三角形△ACL可知∠L＝15°，結合CE為角平分線易證△CEF≌△CEL.進而可得∠F＝15°，再進一步得∠AEF＝60°.

圖3

由于追問出的結論并不是簡單幾步就能得到的，所以在下面的討論中，我會說明其證明是否用到了追問出的結論∠AEF＝60°.

2.2 第(3)問分析

2.2.1 猜想三條線段之間的數量關系

遇到此類問題可以在測量的基礎上進行猜想，借助刻度尺測量欲證線段AE，CE，EF的長度后，可猜想三條線段間的數量關系為:AE＝CE＋EF.

2.2.2 證明三條線段之間的數量關系

針對三條線段間的和差關系，可以借助“截長補短法”將CE＋EF變成一條線段，或將AE-CE或AE-EF變成一條線段，從而將證不共線的三條線段間和差關系這個陌生問題轉化為證兩條線段間相等關系這個熟悉的問題.那該如何作輔助線呢，突破口在哪里?

方法一:補短法

如果借助欲證結論中的短線段CE，在其延長線上補的長度(或在延長線上補CE)，再去證明構造的新線段與欲證結論中長線段AE相等即可.定哪條短線段去延長它呢?延長的方向?如何找到新線段與AE的關系?

(1)借助已有線段CE，構造新線段CE＋EF

若確定短線段CE不動，我們是延長EC方向還是延長CE方向呢?延長方向的選擇還要結合第(2)問的結論∠AEC＝60°，延長EC到點N，使EN＝EA，直接構造等邊△EAN.

①延長(如圖4)

圖4

分析:

這條輔助線還可以描述為:作∠EAN＝60°交EC的延長線于點N.

換一個角度(旋轉變換)看，欲證結論中的AE所在的△AEF中，邊AF繞點A逆時針旋轉可得AC(由于△ACF為等邊三角形)，那若邊AE也繞點A逆時針旋轉會怎樣呢?如圖4，若直接旋轉得到AN，雖然有∠EAN＝60°和AE＝AN的結論，但是點E是否與點C，N共線?我們可通過三角形全等及角度計算得來說明三點共線，也可以調整一下輔助線的做法從而回避三點共線的問題.

②延長(如圖5)

如圖 5，延長CE到點N，使CN＝AE，連接FN，AF.結合 ∠AEC＝60°易證△CFN≌△AFE，進而可知EN＝EF進而證明結論.

圖5

此條輔助線還能描述為:延長CE到點N，使得EN＝EF.或作∠EFN＝60°交CE的延長線于點N.這兩種描述均需用到∠AEF＝60°這個追問出的結論方可證明△CFN≌△AFE.

從旋轉變換的角度看，由于FA＝FC，可將△CFN看作由包含線段AE，EF的△AFE順時針旋轉 60°得到.

我們把這種添加輔助線的方法稱為“補短法”，在運用“補短法”時要明確:讓哪條短線段不動?延長方向?如何找到新構造的長線段與題目中的長線段的關系(可借助全等三角形或等腰三角形等).

2.2 借助已有線段，構造新線段

如果我們確定短線段EF不動，直接延長EF或延長FE，哪種能較好地利用已知條件?

③延長FE(如圖6)

如圖6，延長FE到點N，使FN＝EC.結合∠AEF＝60°和易證△AEC≌△FNC，進而可知AE＝FN進而證明結論.

圖6

此條輔助線還能描述為:作∠ECN＝60°交EF的延長線于點N.或延長FE到點N，使FN＝AE，連接CN.這兩種描述的證明同時需用到∠AEF＝60°和∠AEC＝60°.

從旋轉變換的角度看，由于CF＝CA，可將△FNC看作由包含線段AE，EC的△AEC逆時針旋轉 60°得到.

④延長(如圖7)

如圖7，延長EF到點N，使FN＝EC.結合∠AEF＝60°和∠AEC＝60°易證 △AEC≌△AFN，進而可知AE＝EN，進而證明結論.

圖7

此條輔助線還能描述為:作∠ECN＝60°交EF的延長線于點N.或延長FE到點N，使FN＝AE，連接CN.這兩種描述的證明同時需用到∠AEF＝60°和∠AEC＝60°.

從旋轉變換的角度看，由于CF＝CA，可將△ANF看作由包含線段AE，EC的△AEC順時針旋轉 60°得到.

方法二:截長法

如果借助欲證結論中的長線段AE，能否構造AE-CE或AE-EF呢?此時，我們需考慮:以點A為端點截取還是以E為端點截取?是截取EF還是CE呢?

以E為頂點的∠AEC＝60°是與等邊三角形或旋轉變換相關的重要條件，因此我們可試試以點E為端點進行截取.

①從E點截長(如圖8)

如圖8，在EA上截取EH＝EC，連接CH.結合∠AEC＝60°易證△ACH≌△FCE，進而可知AH＝EF，進而證明結論.

圖8

此條輔助線還能描述為:作∠ECH＝60°交EA于點H.或在AE上截取AH＝EF，連接CH.這兩種描述的證明同時需用到 ∠AEF＝60°和 ∠AEC＝60°.

從旋轉變換的角度看，由于CF＝CA，可將△ACH看作由包含線段EF，EC的△FCE順時針旋轉60°得到.

②從A點截長(如圖9)

如圖9，在AE上截取AH＝EC，連接FH.結合∠AEC＝60°易證△FAH≌△FCE，進而可知EH＝EF，進而證明結論.

圖9

此條輔助線還能描述為:在EA上截取EH＝EF，連接FH.或作∠EFH＝60°交EA于點H.這兩種描述的證明同時需用到∠AEF＝60°和∠AEC＝60°.

從旋轉變換的角度看，由于FC＝FA，可將△FAH看作由包含線段EF，EC的△FCE逆時針旋轉60°得到.

我們把這種添加輔助線的方法稱為“截長法”，在運用“截長法”時要明確:以題目中長線段的哪個端點為端點進行截取?截取兩條短線段中的哪條?如何找到新構造的短線段與題目中的另一條短線段的關系(可借助全等三角形或等腰三角形等).

3 反思與啟示

題目中(條件或結論)出現三條線段有形如的數量關系時，可考慮用“截長法”或“補短法”添加輔助線來解決問題，目的都是將不共線的兩條線段轉化為共線的線段，再借助構造的全等三角形實現“等線段代換”從而得證三條線段間的數量關系.當然，有的題目用“截長法”作輔助線可以求解，但用“補短法”卻證不出來，或反之。我們還是要根據題目的條件及圖形特點進行分析，找到輔助線的添加方法。

而從旋轉變換的角度看，此題背景的等邊三角形是典型的旋轉變換的載體，在分析問題過程中借助“旋轉變換”(或其它幾何變換)審視圖形特點，把握在旋轉變換過程中蘊含的圖形不變的關系(數量關系或位置關系)，這對于解決幾何綜合題也是非常有幫助的。