地鐵隧道圍巖簡化模型研究

劉 俊 劉俊媛 車輪飛 徐新華

（1.中鐵第四勘察設計院集團有限公司 武漢 430064；2.華中科技大學建筑環境與能源應用工程系 武漢 430074）

0 引言

地鐵隧道一般淺埋在土壤變溫層中，有著獨特的熱特性，在傳熱過程、傳熱范圍、邊界條件等方面都與其他的結構傳熱，如巷道圍巖的傳熱[1,2]、埋地管道傳熱[3-6]等不一樣。長期來看，地鐵隧道圍巖傳熱可能改變地下土壤溫度，影響地鐵系統的遠期運營環境，威脅地鐵的穩定運行[7]。因此研究地鐵隧道圍巖傳熱非常有必要。在地鐵隧道傳熱方面，部分學者建立利用數值模擬研究隧道圍巖傳熱。胡文斌[8]建立CFD 地鐵隧道模型對活塞風進行模擬，分析了隧道區間的熱平衡情況并估算了圍巖傳熱散熱量，提出了變風量通風的優化方案。鄧昌黎[9]基于BIM 技術搭建車站隧道模型進行數值模擬，在模擬隧道圍巖溫度場遠期分布時，分別采用周期性變化的空氣溫度場和周期性通過的列車熱源兩種邊界條件，模擬結果比較接近。胡增輝[10]利用FLAC3D 模擬隧道圍巖傳熱，研究了某區間隧道斷面圍巖傳熱能力與溫度場的演化規律。于連廣等[11]建立地鐵土壤溫度預測模型，利用有限差分法進行數值模擬，利用高頻熱擾觀察模型的溫度熱響應，結果表明高頻熱擾對隧道空間的溫度影響很大，但是對土壤內部溫度的分布影響有限。

有的學者從換熱器的角度研究地鐵隧道圍巖的傳熱。劉政軒[12]提出了一種基于U 型的垂直埋管土壤-空氣換熱器VEAHE（Vertical Earth-to-Air Heat Exchanger,VEAHE）系統，該數學模型考慮了垂直方向土壤溫度及導熱系數的分層。Rotta等[13]將地下隧道視為地下熱交換器，研究其熱能儲存潛力，表明利用地下結構作為熱能儲存手段有希望建立可持續的能源系統。有的學者提出將毛細管換熱器作為熱泵前端取熱部分置于隧道襯砌內，通過毛細管內的循環介質與隧道圍巖換熱[14]。該文獻進一步采用數值模擬對毛細管換熱器在不同氣候類型下冬夏季的傳熱過程進行分析。

劉伊江[15]對隧道周圍土壤熱沉積效應機理及規律進行研究，提出熱沉積作用的計算方法，表明熱沉積效應主要影響因素為大氣與深層土壤的溫度差與以列車散熱為主的隧道內熱源。還研究了土壤含水量對隧道圍巖傳熱的影響[16]，結果表明土壤含水量對隧道周圍土壤熱物性以及蓄熱能力有顯著影響。上述研究都是采用地鐵隧道圍巖傳熱的相關內容做了研究，建立不同的模型進行數值計算以及簡化為不同的換熱器模型等。但在現有的研究隧道土壤傳熱的方法上，進行遠期分析時往往需要的工作量大，效率低。本文建立一種簡化模型，與常用熱濕軟件包結合可以大大增加實用性與提高計算效率。

1 地鐵隧道圍巖原型及簡化

地鐵隧道主要分為區間隧道和車站隧道。地鐵區間隧道通常是指地鐵車站站點與站點之間的隧道，一般在同一軌道中隧道的結構形式較為單一且長度較長。地鐵車站隧道通常指的是車站范圍部分包含的隧道，位于各個地鐵站點，長度較短。本文區間隧道圍巖為研究對象，參考實際情況，取兩車站之間區間隧道長度為1000m，隧道截面圖見圖1。

圖1 區間隧道截面Fig.1 Cross-section of the running tunnel

參考武漢某地鐵區間隧道實際尺寸，其隧道上壁面至地面的高度為13.1m，隧道直徑為5.2m，隧道中心至地面高度為15.7m。隧道圍巖側土壤物性參數如表1 所示[17]。

表1 土壤物性參數Table 1 Physical properties of the soil

實際情況下隧道內部情況較為復雜，為方便建立簡化熱網模型本節將進行一些簡化。視表1 中不同深度土壤物性參數在土樣一致時物性參數也保持一致性。將實際區間隧道斷面簡化為半徑為2.6m的規則圓形，隧道壁面管片的尺寸相對于圍巖土壤尺寸小，采用粉土物性參數。

隧道圍巖物理模型如圖2 所示。通過恒溫層分析以及地鐵隧道表面熱響應頻域特性分析，進行模型尺度的選擇，結果表明以下尺寸的設定是合理的：隧道中心到地面參考實際物理模型的尺寸即15.7m，隧道中心至土壤底部尺寸、隧道中心離土壤模型左右兩端尺寸均為10m。在物理模型簡化的基礎上，提出一種簡化熱網模型（RC 模型），RC模型中只要確定其熱阻和熱容就可以得到其對應傳熱系統的傳熱特性。

圖2 隧道圍巖物理模型Fig.2 Physical model of the tunnel surrounding rock

2 圍巖簡化RC 模型與核心層參數確定

2.1 模型概述

簡化物理模型按隧道頂和底為界限分為三個部分，分別命名為上結構層、核心層、下結構層。按此劃分方式建立RC 簡化熱網模型，如圖3 所示。其中，Ttop為地面的溫度，Tpipe為隧道內壁的內表面溫度。R1~R9均為模型不同位置的土壤熱阻，C1~C6為對應土壤熱容。對隧道所處核心層作進一步簡化，其中兩側土壤部分與中間隧道與其周邊土壤部分視為并聯關系，具體RC 階數劃分與并聯關系如圖3 中間段核心層所示。

圖3 簡化RC 模型Fig.3 Simplified RC model

上結構物理模型簡化為3 階RC 模型。上結構中總熱阻與熱容值計算如式（1）與（2）。

式中，L 為與傳熱方向相同的深度，m；λ 為土壤熱導率，W/(m·℃)；δ 為垂直傳熱方向的寬度，m；ρ為土壤密度，kg/m3；c 為熱容，kJ/(kg·℃)；V為面積，m2。在計算式中由于計算的是對應部分的總熱阻值，所以需要考慮δ 的影響。

R、C 具體數值的計算需要對此部分進行比例分割，為使地面溫度響應更為準確，進行了參數的試算分析。靠近地面的部分劃分比例將遠小于較深土壤部分，剩余R2、R3部分平分，令R1:R2:R3=1:350:350，則有C1:C2=1:700。該分配方式可獲得較理想計算結果。

下結構其物理模型及該部分RC 結構示意圖如圖3 所示。下結構中總熱阻與熱容值計算如式（3）、（4）。

本層采用2R1C 形式的RC 結構，考慮到土壤底部為絕熱，所以R7數值意義不大，將此部分熱阻絕大部分分給R6，R6取值為0.227℃/W，R7取值為0。

2.2 核心層參數確定方法

簡化模型中隧道所在的層命名為核心層，該層的物理模型與RC 結構示意圖分別如圖3 所示。核心層可分為兩個部分，其中a 部分代表圖中RC 模型中R4、R5、C4所組成的2R1C 結構，b 部分代表其余2R2C 部分，a、b 兩部分為并聯關系。對b 部分寬度尺寸進行試算，對b 部分不同尺寸模型的熱流響應結果進行分析，比較選擇后取b 為厚度與寬度分別為5.4m 與8m 的二維矩形。

a 部分的參數計算較為簡單，參考上文中上、下結構參數計算方法，并劃分相應比例。其中R4:R5的比例需要確定，嘗試采用不同的比例并將熱流結果與理論模型對比。結果表明R4:R5=1:10 時RC 模型計算結果與理論模型更加接近。R4取值0.019℃/W，R5取值0.194℃/W，C4計算結果為3.5×108J/℃。

將隧道周圍土壤分為左右相同的兩個部分，隧道空腔部分等效成中間面積相等的矩形空腔，如圖4 所示。R8+R9的總熱阻值可視為左右兩部分并聯值，由于面積相同，因此總熱阻值為單邊阻值的一半，總熱阻與熱容值計算如式（5）、（6）。

圖4 b 部分簡化Fig.4 Simplification of Part b

上述只是給出了核心層中b 的熱阻熱容劃分與計算的一種方法（方法A）。本研究還采用另外兩種方法進行簡化，方法B 與方法C。方法B 將隧道周圍土壤分為上下兩個部分，隧道空腔部分等效成中間面積相等的矩形空腔。方法C 將隧道周圍土壤等效為圍繞在隧道周圍面積相同的圓環，隧道部分形狀域面積均不變。經計算，利用不同的劃分方法，雖然土壤部分熱容均通過相同面積的等效方法沒有變化，但不同計算方法得到的R 值區別很大。方法B 計算出的熱阻值為0.163℃/W，方法C計算出的熱阻值為0.0536℃/W。

3 簡化模型的頻域表示

在確定區間隧道簡化RC 模型各部分參數后，可以得到系統在邊界條件下的節點溫度隨時間的變化，隧道圍巖模型各節點傳熱方程如（7）~（12）。當系統處于準穩態時，系統溫度可以表示為頻域下的復指數形式，如式（13），通過拉普拉斯變換，節點傳熱方程組可表示為矩陣形式，如式（14）所示。

式中：Ri（i 取值1~9）為系統內各部分熱阻，℃/W；Ci（i 取值1~6）系統內各部分熱容，J/℃；Ti（i 取值1~7）為系統中節點溫度，℃；t 為時間，s；ω為頻率，s-1；u 為溫度實部；ν 為溫度虛部。

確定RC 模型各部分熱阻與熱容值之后，加載溫度外擾的邊界條件，通過式（14）矩陣計算求解即可獲得各溫度節點溫度諧波的實部與虛部即u和v，結合式（15）、（16），從而可以分析出整個系統在不同外擾作用下的頻域特性。

式中，Tt為時域節點溫度，℃；φ 為相角，rad；A 為幅值，℃。

4 簡化模型驗證

以相同物理模型為基準建立頻域有限元模型作為基準模型，頻域有限元模型與簡化熱網模型所參考的物理模型與物性參數等具有一致性。因此可以利用頻域有限元模型的熱響應為基準，與RC 簡化模型的熱響應結果作對比。判定RC 簡化模型準確性的依據為：與頻域熱特性結果更為接近的計算結果視為更加可靠，即模型更加準確。

4.1 頻域有限元模型介紹

有限元法是用離散模型來近似連續函數的一種系統方法。它將問題域離散成有限個節點和子域，不重疊的子域叫做有限單元，單元和單元通過節點進行連接。利用有限元方法進行數值計算一般會分為時域有限元和頻域有限元兩類。時域模型的模擬往往需要同時考慮到初始條件與模擬周期時間長短的影響，頻域模型可以在不考慮初始條件的基礎上大大減少計算量，并且同時獲得周期性條件下的準穩態傳熱特性。

圖2 的隧道圍巖物理模型的傳熱過程可用二維傳熱偏微分方程如式（17）進行描述。

式中，T 為求解域的溫度，℃；qv為內熱源，取0；其他各參數如前所述。利用有限元法將二維模型離散成一系列網格，建立圍巖傳熱的離散模型，如圖5 所示。

圖5 隧道圍巖網格模型Fig.5 Meshing model of the tunnel surrounding rock

溫度場離散成若干個溫度節點T1、T2、T3…Tn（在簡化模型中，也采用這樣的方式表示溫度節點，只是更為宏觀），并在計算域中對它們進行逐 一偏導，可得矩陣形式，如式（18），簡寫為式（19）。

其中，KD為總體剛度矩陣；ND為總體變溫矩陣；PD為總體溫度載荷向量或者熱流載荷向量。為總體溫度向量對時間TD的偏導。

當不考慮系統的初始條件且只受到單一諧波熱擾的作用時，可認為該系統處于準穩態，此時的系統溫度可以表示為頻域下的復指數形式，由實部與虛部共同組成，如式（15），式（16）。對方程（18）直接求解就可以得到在任意頻率ω下各個節點的頻域溫度響應（即各點頻率相同、振幅和相位不同的溫度諧波）。詳細細節可參考文獻[18,19]。

4.2 簡化模型驗證

當系統受到隧道熱擾作用時，采用三種計算方法得到的簡化模型進行熱流幅值的預測，同時采用基準模型對熱流幅值進行計算，結果對比如圖6 所示。當系統受到地面熱擾作用時上述四種模型熱流幅值的對比圖如圖7 所示。由圖6 可以看出，三個簡化模型與基準模型均在低頻區擬合情況較好，但在高頻區表現出很大差異。方法A 的簡化模型計算得到的熱流幅值與基準模型的熱流幅值相差最小。在高頻區差異最大為方法C 的簡化模型計算得到的幅值曲線，方法B 的簡化模型次之。圖7（a）顯示三種方法獲得的簡化模型與基準模型均差別不大，表現出一致性。圖7（b）中，方法B 的簡化模型計算所得幅值曲線，與基準模型的幅值相差最大。方法A 的簡化模型計算得到的幅值曲線與方法C 的簡化模型計算得到的幅值曲線相差不大，在高頻區都偏離基準模型的幅值曲線。

圖6 簡化模型與理論模型在隧道熱擾下隧道與地面溫度熱響應幅值Fig.6 Amplitudes of the temperature thermal responses of the tunnel surface and the ground surface of the simplified model and the theoretical model under the tunnel thermal disturbance

圖7 簡化模型與理論模型在地面熱擾下隧道與地面溫度熱響應幅值Fig.7 Amplitudes of the temperature thermal responses of the tunnel surface and the ground surface of the simplified model and the theoretical model under the ground surface thermal disturbance

三種方法計算得到的簡化模型的相角與基準模型的相角的對比如圖8、圖9 所示。三個簡化模型在相角值上沒有表現出明顯的差異性，在整體上與基準模型的相角接近。

圖8 簡化模型與理論模型在隧道熱擾下隧道與地面溫度熱響應相角Fig.8 Phase angles of the temperature thermal responses of the tunnel surface and the ground surface of the simplified model and the theoretical model under the tunnel thermal disturbance

圖9 簡化模型與理論模型在地面熱擾下隧道與地面溫度熱響應相角Fig.9 Phase angles of the temperature thermal responses of the tunnel surface and the ground surface of the simplified model and the theoretical model under the ground surface thermal disturbance

三種方法確定的簡化模型計算出的相角相差不大，但幅值表現出較大的差別。采用熱流響應結果中的熱流幅值進行比較，選擇方法A 得到的簡化模型。總的來說，通過方法A 計算得到的簡化模型在計算得到的熱流響應曲線上與基準模型吻合較好。可以認為該模型在不同的外擾作用下得到的熱流響應結果即熱流幅值與相角均表現出很好合理性，該模型可用于隧道圍巖傳熱的計算分析。

5 結論

本文以實際地鐵隧道物理模型為基礎建立了隧道圍巖簡化RC 模型。確定模型中的RC 參數對模型的準確性十分關鍵，本文對模型中上層結構與下層結構各個熱阻值的比例分配進行了分析選取，對核心層的參數確定不同的方法進行測算，其中采用方法A（即將隧道周圍土壤分為左右相同的兩個部分進行并聯，隧道空腔部分等效成中間面積相等的矩形空腔）計算出的熱阻值最為合理。進一步采用頻域有限元模型做為基準模型，并采用特征外擾獲取基準模型的頻域熱響應特性。對簡化模型方程組進行拉普拉斯變換得到圍巖簡化模型的頻域傳熱計算矩陣，進一步獲得特征外擾下的頻域熱響應特性。比較基準模型的頻域熱響應特性與簡化模型的頻域熱響應特性表明，采用方法A 獲取的簡化模型的頻域熱特性與基準模型的頻域熱特性中低頻區域（<10-4rad/s）吻合很好。