初中數學“理解教學”的理論及其應用

張秀娟

（福州第十九中學，福建 福州 350001）

如何在數學教育中落實立德樹人？如何在課堂教學中培育學生的學科核心素養？當前許多教師誤解“用教材教”和“創造性地使用教材”的課改理念，在沒有準確理解教材編寫意圖的情況下，隨意對教材內容進行刪減或者補充、更替，依據粗糙的教輔資料進行教學。基于以上現象，章建躍博士所帶領的團隊經過多年實踐，在啟發式教學思想、主體活動理論、建構主義理論等理論基礎上，以“三個理解”為核心思想，對我國的數學教學作了一些理性的思考。章建躍博士提出：“理解教學”就是教師要以一個個數學對象的研究過程為載體，將數學的目標取向、思考結果、思維方式和符號化表達等有機地融入于系列化的數學活動，引導學生用數學的獨特方式開展學科學習活動，逐漸形成靈動數學的思維方式，養成用數學的眼光觀察、用數學的思維思考和用數學的語言表達世界的習慣，來實現“用數學的方式”育人［1］。

一、借助數學文化，感受教學的生長性

教育的最終目的就是促進人的生命成長［2］，據此數學教育必然要堅守的理念是“生長數學”，教師在教學時要把生長劑注入活動中，給生命成長構建空間，來營造氛圍，實現知識發生與發展。特級教師卜以樓提出生長數學：把每個課堂的學習活動，設計成關注人的生命成長過程，將知識生長與人的生命成長協同發展［2］。只有遵守規則，尊重思維，凸顯過程，關注生長，形成方法，累積素養，才是生長數學的本質。

因此，生長數學不僅是數學知識的內部生長，也是學生數學思維和數學素養的生長。而作為數學思想的積淀的數學文化，可以升華數學本質。數學文化既是數學觀念的精髓，也是數學智慧的靈魂。它不僅具有人文價值，而且具有理性和思維價值。教師要從文化角度來關注數學和數學教學、來設計數學教學和數學教育；同時，讓學生成為文化的傳承者和研究文化的實踐者。

如，人教版數學八年級下冊第十七章《勾股定理》，本章教材內容從章前圖就開始鋪墊我國古代對勾股定理的研究：從西漢時期的《周髀算經》到趙爽弦圖；接下來是2002 年在北京召開的數學大會的會徽，都體現我國古代數學的成就。而在西方，公元前11 世紀，畢達哥拉斯登門拜訪朋友。朋友家的地板磚上的特殊圖案引起他的注意，從而證明了勾股定理。所以教師在課堂實施過程中，可以以時間軸的形式呈勾股定理的數學文化，感受勾股定理的發展線（如圖1）是一個人類文明發展的一個縮影。

圖1

接著設置其對應的問題情境，引出古老的課題：探究直角三角形的三邊關系，然后從沙漏實驗以及各種有趣的拼圖中抽象出定理本質，從而引發學生思維沖突，進而嘗試多種途徑來解決問題。這樣既能引導學生從探索數學文化背景知識出發，引起學生的興趣，激發學生的共鳴，從中窺視出數學的魅力。活動中學生經過觀察、交流、割補并通過計算得出面積的關系，據此提出猜想：直角三角形三邊關系滿足勾股定理。在數學活動中學生通過了解數學文化知識和積累數學思維的經驗，數學素養也潛移默化地得到了發展。

弘揚數學文化，感受數學知識的生長性，凸顯教學中數學文化育人的價值所在來理解教學，使得核心素養的培育更加自然生動。

二、通過多元變式，拓展教學的延伸性

“理解教學”是否到位、有效，主要取決于教師的教學理念以及教師的課堂教學設計和教學策略［3］。對知識和方法的課堂教學的立意是從知識到能力，再到素養的過程，需要不斷進行拓展和延伸。從拓展延伸性來看：教師在課堂教學中除了需要設置問題情境與建構知識網絡，還需要將知識的生成、發展和深化的延續進行結合；拓展從知識傳遞的教學取向走向數學教育的多元價值取向，真正體現知識所承載的數學本質和育人功能。

如，專題復習課《再探反比例函數的性質之k 的幾何意義》，筆者基于學情拓展延伸設計如圖2：

問題：如圖2，已知四邊形ABCD，點A在反比例函數圖象上，點B在反比例函數y=圖象上，AB∥x軸，AD⊥x軸于點D，BC⊥x軸于點C，則四邊形ABCD的面積為____。

圖2

變式1：如圖3，已知矩形ABCD，點A在反比例函數圖象上，點B在圖 象上，CD在x軸上，則矩形ABCD的面積為____。

圖3

變式2：如圖4，已知△ABC，點A在反比例函數圖象上，點B在圖象上，AB∥x軸，點C在x軸上，△ABC的面積為3，則k=___。

圖4

變式3：如圖5，已知點A，C在反比例函數y=圖象上，點B，D在反比例函數0)圖象上，AB，CD在x軸的兩側，AB∥CD∥x軸，AB=3，CD=2，AB與CD的距離為5，則k1-k2=___。

變式4：如圖5，已知點A，C在反比例函數y=圖象上，點B，D在反比例函0)圖象上，AB，CD在x軸的兩側，AB∥CD∥x軸，AB=a，CD=b，AB與CD距離為c，則k1=k2=___。

圖5

以兩個反比例函數作為問題的背景，借助幾何直觀感受圖形之間的變化，從k的幾何意義入手，建立形轉數之間的聯系，構建反比例函數問題的直觀模型，并通過問題的層層遞進，來拓展延伸知識發生、發展的過程，體悟轉化思想以及數形結合思想，提升學生的運算能力，推理能力和應用意識，感受數形結合的數學魅力。從一個定點到動點，從直觀到肯定，借助具體的實例來引領學生發現k的幾何意義，利用幾何畫板來實現從靜態到動態，從具體的數字到字母，以萬“變”到不“變”的示范直觀想象的過程，做到“眼中有圖，心中有數”，對于這類的專題復習課的教材處理和理解要精準實施，讓學生在知識的主動構建和思維的類比遷移延伸中，數學學科核心素養得到培育。

三、優化問題設計，提升教學的邏輯性

數學是培養理性思維的一門學科，初中數學教學又是培養邏輯思維的重要載體。“理解教學”基于學生思維最近發展區，通過對題目的精心設計來構建教學過程的邏輯性，實現從問題引導學習，來提升激發學生思維；營造讓思維看得見的課堂，提升學生數學邏輯思維水平，讓每一節課堂都在提質增效中發生發展。

如，執教者在《平行四邊形》復習課中，擴展學生的思維，在質疑中促進學生深度思考，在補充完善中優化學生的思維。注重邏輯連貫，通過具有思維挑戰性的問題串來引導學生開展系列化的數學學習活動，合理構建數學邏輯的“思維磁場”。

引例：如圖6，已知平行四邊形ABCD，對角線AC、BD交于點O，E為BC中點，連接OE，

圖6

問題1：OE的特征是什么？

問題2：如圖7，延長OE至F，使得EF=OE，連接BF、CF，則圖中產生什么新的圖形，請把它們寫出來。

圖7

追問1：平行四邊形ABCD添加什么條件，使得平行四邊形BFCO是矩形？

追問2：平行四邊形ABCD添加什么條件，使得平行四邊形BFCO是菱形？

追問3：平行四邊形ABCD添加什么條件，使得平行四邊形BFCO是正方形？

問題3：已知平行四邊形ABCD，對角線AC，BD交于點O，過點O作直線交AD于點M，交BC于點N，你有什么發現？

變式1：如圖8，連接CM，AN，判斷四邊形ANCM的形狀。

圖8

變式2：請在上題的基礎上增加一個條件，使得四邊形ANCM變為菱形。

變式3：如圖9，若平行四邊形ABCD是矩形，過點O作MN⊥AC，交AD于點M，交BC于點N，若AB=6，BC=8，求CN和MN的長。

圖9

原問題是開放型的，學生可以從不同角度給出正確結論，這樣就有可能捕捉到課堂上的精彩生成。變式1 是對原問題的補充和發展，變式2 是變式1 的延續，而變式3 則是之前問題的延伸拓展，能夠幫助學生提升思維層次。學生在“問題串”的引導下，通過積極主動探索，讓整個課堂真正落實思維的發生、發展，使得思維的深度和廣度都有了進一步的提升。

總之，在“理解教學”的道路上，要根據知識內容、學生已有的認知經驗，依據系統論的理論，采用結構化的思維方式，將情境與數學問題有機結合起來，也可以對精選的問題進行拆解、重構或者變式拓展延伸，在探究過程中進行邏輯思維的提升。