磁懸浮加捻機構中環形永磁體的磁場計算

唐 雨，束永平，郭振杭

(東華大學 機械工程學院，上海 201620)

磁場在機械工程領域中有著廣泛的應用前景。以環錠細紗機為例，傳統的加捻方式采用鋼領、鋼絲圈將須條加捻成紗，由這種加捻方式加工的紗線質量較好，但產能較低[1]。制約傳統環錠紡產能的主要原因是在環錠紡的加捻卷繞過程中錠子的轉速不能無限增加，當錠子轉速超過25 000 r/min時，會導致鋼領與鋼絲圈之間的磨損加重，以及鋼絲圈過熱燒毀紗線等問題[2]。研究者們嘗試采用高溫超導磁懸浮軸承[3]替代傳統的鋼絲圈-鋼領加捻機構，這種新型加捻機構的工作原理是將導紗環固定在由釹鐵硼永磁體制成的圓環(轉子)上，轉子穩定地懸浮在由釔鋇銅氧高溫超導體材料制成的錠子上方，轉子通過紗線在錠子帶動下轉動給紗線加捻[4]。相比傳統的鋼領-鋼絲圈加捻，高溫超導磁懸浮加捻的轉子幾乎沒有摩擦力，因此可以大大提高錠子的轉速，有望將細紗機的產能提高2～3倍。

為合理設計永磁體轉子的結構參數，使其具有足夠的懸浮力和側向穩定性，需給出永磁體的磁場分布解析公式。對此，學者們紛紛展開研究，例如：Vagin等[5]基于分子電流模型得出矩形永磁體磁場分布的解析公式；李群明等[6]應用矢量磁位法得到環形永磁體磁場分布的解析公式；Wang等[7]基于磁荷模型[8]，根據標量磁位法和廣義二項式定理得出環形永磁體磁場分布的解析公式；Varga等[9]引入二階對稱張量，基于線性疊加原理得出圓柱形磁鐵的解析公式。但目前國內外學者對環形永磁體磁場分布的研究還較少，且相關文獻研究較為陳舊，文獻[6]雖然給出了永磁環磁場分布的積分表達式，但是該表達式包含完全橢圓積分的再積分項，在進行數值積分時運算量較大，嚴重影響計算效率和精度。本文從分子電流假說出發，應用畢奧-薩伐爾定律和矢量疊加原理[10]推導環形永磁體空間磁場的解析表達式，分析永磁體空間磁場的分布特性。

1 實心環形永磁體磁場計算

根據分子電流假說，在軸向均勻充磁后分子內部的微觀環形電流在磁體內部相互抵消，宏觀上表現為面電流，對于圓環形永磁體則表現為圓環形面電流[11]，因此可以認為永磁環中的電流是由許多同軸、同半徑的環形線電流所組成的。首先，分析1塊實心圓柱形永磁體的空間磁場，再應用疊加原理計算空心永磁環的磁場。

在圖1所示的軸向磁化實心永磁環幾何模型中有1個半徑為a的實心永磁環，在其電流分布面上任取一點Q(a,φ′,h)，根據分子電流觀點導出該點的面電流密度矢量，如式(1)所示。

JS(Q)=nI(-exsinφ′+eycosφ′)

(1)

式中：下標S為實心永磁環電流分布的曲面；n為實心永磁環單位高度的匝數；I為單個環形線電流密度；ex、ey分別為空間直角坐標系中x、y軸正方向的單位向量。

圖1 軸向磁化實心永磁環幾何模型Fig.1 Geometric model of axially magnetized solid permanent magnetic ring

在實心永磁環外部空間任取一點P(r,φ,z)，則源點Q到場點P的矢徑為

R(Q,P)=(x-x′)ex+(y-y′)ey+(z-z′)ez

(2)

式中：ez為空間直角坐標系中z軸正方向的單位向量。

令θ=φ-φ′。利用直角坐標系與柱面坐標系的坐標變換公式如式(3)所示。

(3)

式中：er、eφ、ez分別為柱面坐標系中r、φ、z軸正方向的單位向量。

可得面電流密度矢量JS和矢徑R的矢積為

JS×R(Q,P)=nI[(z-h)ercosθ-

(z-h)eφsinθ+(a-rcosθ)ez]

(4)

為得到普遍情形下的磁場表達式，令實心永磁環下表面的軸向坐標為z1、上表面的軸向坐標為z2。根據畢奧-薩伐爾定律，實心永磁環在空間任一點P處的磁感應強度為

(5)

式中：μ0為真空磁導率,μ0=4π×10-7H/m。

下面推導Br、Bφ、Bz的表達式。

根據式(5)，實心環形永磁體空間磁場的徑向分量為

(6)

當點P在永磁環軸線上時，即r=0時，由式(6)可知

Br=0

(7)

當點P在永磁環軸線以外時，即r>0時，考慮到式(6)中減式與被減式的相似性，設置中間變量t以簡化徑向分量Br的表達式，令

(8)

(9)

可將式(8)寫為

(10)

式中：K(k)和E(k)分別為以k為模數的第一類完全橢圓積分和第二類完全橢圓積分[12]。

(11)

(12)

為減少自變量個數，對變量k設置如式(13)所示的函數。

(13)

則式(10)可以寫成：

(14)

聯立式(6)、(8)和(13)可得：

(15)

(16)

(17)

式中：μ0nI=Brem，Brem為永磁環的剩余磁通密度[13]。 式(15)為實心永磁環磁場分布的徑向分量表達式。

根據式(5)，實心環形永磁體空間磁場的周向分量為

(18)

由于式(18)中被積函數是關于θ的奇函數，并且關于自變量θ的積分區間是對稱區間，因此

Bφ=0

(19)

由于環形面電流的對稱性，周向的磁感應強度分量等于零是意料之中的。

對于實心環形永磁體空間磁場的軸向分量，由式(5)可得：

(20)

其中：

(21)

(22)

式中：П(u,k)為第三類完全橢圓積分，u>-1。

(23)

2 空心環形永磁體磁場計算

根據矢量疊加原理，空心永磁環的作用相當于在1塊實心永磁環中心挖去1塊小的同心同厚度的實心永磁環。因此，用大的實心永磁環的空間磁場分量減去小的實心永磁環的空間磁場分量，即可得到空心永磁環的空間磁場分布規律[14]，具體計算如式(24)和(25)所示。

Br′=Br(a)-Br(b)

(24)

Bz′=Bz(a)-Bz(b)

(25)

式中：Br′和Bz′分別為空心磁環磁感應強度的徑向分量和軸向分量；Br(a)和Br(b)分別是半徑為a和b的實心永磁環的徑向磁感應強度分量；Bz(a)和Bz(b)分別是半徑為a和b的實心永磁環的軸向磁感應強度分量。

3 試驗驗證與對比分析

高溫超導磁懸浮加捻系統的懸浮力僅由環形永磁體的外部磁場提供[15]，受永磁體尺寸和場冷高度的影響，永磁環的懸浮高度為2～7 mm。在空心永磁環的上表面選取兩個高度層(H=2，7 mm)，使用Lake Shore460型三維特斯拉計對此位置處的磁感應強度進行多點測量，基于解析計算公式在MATLAB軟件中分析這兩個高度層下的理論磁場分布，利用COMSOL多物理場仿真軟件分析單個空心永磁環的磁場分布，通過對比測量值、理論值和仿真結果來驗證解析計算公式的準確性。

圖2為試驗所用的空心永磁環，其外徑為100 mm，內徑為50 mm，軸向厚度為10 mm，牌號為N35燒結NdFeB，厚度方向充磁，最大磁能積為278.8 kJ/m2，充磁后的剩余磁通密度為Brem=1.22 T。

圖2 空心永磁環實物圖Fig.2 Physical image of hollow permanent magnetic ring

環形永磁體空間磁場的周向磁感應強度分量始終為0，故該方向上的磁感應強度不作討論。兩個高度(H=2，7 mm)層上的徑向磁感應強度分量Br和軸向磁感應強度分量Bz的理論計算結果與試驗測試結果如圖3所示。

從圖3可以看出，在距離永磁環上表面H=2和7 mm處，軸線處的徑向磁感應強度分量Br為零。在永磁環的內圓柱面到外圓柱面的區域內，Br幾乎呈線性上升趨勢，而軸向磁感應強度分量Bz變化不大，總磁感應強度大概在外圓柱面上取得最大值。隨著測量點到磁環上表面距離的增加，在xOy平面的同一位置上，各磁感應強度分量及總磁感應強度逐漸減小。

圖3 距空心永磁環上表面2和7 mm處的磁感應強度分布Fig.3 Magnetic field distribution at the distrance of 2 and 7 mm to the surface of hollow permanent magnetic ring

空心永磁環的磁場分布仿真結果如圖4所示。

圖4 空心永磁環磁場分布的仿真結果(H=2, 7 mm)Fig.4 Simulation results of magnetic field distribution of the hollow permanent magnetic ring(H=2, 7 mm)

結合圖3，通過對比空心永磁環同一高度層下的磁感應強度的理論值、實測值和仿真結果發現，3種結果基本吻合，只是因磁環內部磁場分布的不均勻性、特斯拉計探頭的尺寸影響以及測量過程中的定位誤差和讀數誤差等因素，造成了三者之間的偏差。需要指出的是，磁感應強度最大平均相對誤差主要體現在永磁環內外圓柱面的邊緣處，盡管存在上述誤差，但最大平均相對誤差僅為7.3%，足以證實所推導的空間永磁環磁場分布解析計算公式的準確性。

4 結 語

從永磁體的分子電流假說出發，應用畢奧-薩伐爾定律和矢量疊加原理，建立用完全橢圓積分形式表示的單塊空心永磁環的磁場分布解析計算式，此方法也可推廣到求解多塊永磁環并列存在時的磁場分布規律。比較磁感應強度理論值、實測值和仿真結果發現，三者之間的相對誤差不超過7.3%，證實了所推導的解析計算式的準確性。該解析計算式形式簡潔且計算精度較高，在分析高溫超導磁懸浮加捻機構中轉子的懸浮特性和穩定性時有很大的作用。