精密加工中心直線軸復合誤差建模研究

趙南皓，齊向陽，熊明輝，黃平鈺，郭政

(1.天津工業大學機械工程學院，天津 300387；2.滄州市農機推廣站，河北滄州 061000)

0 前言

當前，我國制造業正處于高速發展階段，對工件的加工更加追求高精度、高效率、高智能。然而，在實際加工過程中總伴隨著各種誤差，從而影響機床加工精度。研究顯示：在諸多誤差項中，幾何誤差和熱誤差就占據所有誤差的50%以上。所以，在機床誤差的研究中，建立幾何與熱誤差的復合模型對提高機床精度尤為重要。高精度工件的加工依賴于精密機床，而大型、重型、高精度機床的直線軸常采用兩端固定的安裝方式，絲杠兩端都受約束限制，其熱誤差產生機制與固定-自由、固定-支撐的安裝方式并不相同，因此對具有兩端固定安裝方式的絲杠進給系統進行研究具有重要意義。

近年來，為降低機床誤差，國內外學者致力于誤差建模技術的研究，從靜態幾何誤差建模發展到熱誤差建模，以及兩種誤差的復合建模技術。靜態幾何誤差是機床本身固有的誤差，其建模方法常采用擬合法和插值法。擬合法建模方式多采用最小二乘法、多項式參數化建模法；插值方法常采用牛頓插值、三次樣條插值、B樣條插值。其中切比雪夫多項式參數化建模方法具有建模簡單、易程序化的特點，用于幾何誤差建模具有更高的精度。

機床熱誤差，是在機床運行過程中，由于絲杠螺母副的摩擦熱、絲杠兩端軸承摩擦熱以及電機等多處熱源的影響導致機床溫度分布發生變化，由此機床零部件會發生熱變形而產生熱誤差。對熱誤差預測，常用的兩類建模方法是數據驅動法和模型驅動法。數據驅動法是將測得的溫度作為模型輸入，將熱誤差作為輸出，將實驗獲得的數據集用于訓練模型。學者們多使用神經網絡、多元線性回歸和狀態空間等方法建立熱誤差模型。模型驅動法是對熱特性機制進行分析，計算生熱量和邊界條件作為模型輸入量，將溫度或熱誤差作為輸出。常用方法為有限元法和有限差分法。這類研究方法可降低實驗成本，避免實驗所帶來的繁瑣性。

由于機床存在多類誤差，如果只對單類誤差建立模型，可能會適得其反。因此，建立復合誤差模型至關重要。幾何與熱致定位誤差主要受滾珠絲杠的制造精度以及熱變形影響。本文作者針對臥式精密加工中心對幾何與熱致定位誤差進行研究，在考慮兩端約束情況下分析絲杠的臨界載荷與熱應力的關系，建立熱誤差模型。對幾何定位誤差建模采用切比雪夫多項式方法，利用多光束激光干涉儀XM-60檢測機床直線軸在不同時刻的誤差，實時采集關鍵點溫度，最終將復合模型與實驗結果對比，結果表明：復合模型具有較高的預測精度。

1 絲杠進給系統熱誤差機制分析

機床直線軸的溫度變化受多種因素影響，這些因素都會使絲杠溫度發生變化從而產生熱變形。如圖1所示，兩端固定式絲杠進給系統產生熱變形時，在軸承剛度影響下，其絲杠兩端均受到軸向徑向載荷，限制絲杠熱膨脹，從而起到降低熱誤差的效果。

圖1 兩端固定式絲杠

在絲杠受熱變性前，會有一個初始的軸向預載荷來限制絲杠的熱膨脹，隨著機床運行，絲杠內部熱應力不斷增大。當絲杠內部熱應力未達到臨界載荷時，絲杠會處于水平狀態，相對軸向位移為零；當超過臨界載荷時會發生撓曲變形，如圖2所示。因此熱應力產生的變形量是臨界載荷所限制的軸向變形量與撓曲變形產生的軸向誤差之和。

圖2 絲杠撓曲變形

(1)

式中：為預載應力，Pa；為絲杠初始長度，m;為彈性模量，N/m；為撓曲變形引起的軸向伸長，m。

在絲杠冷態條件下，取絲杠微元長度d，當絲杠發生熱膨脹時，由于受到兩端約束的限制，此時發生撓曲變形，其初始微元長度變為d，此時絲杠伸長率為

(2)

在兩端緊固狀態下，絲杠發生撓曲變形后引起的軸向伸長為

(3)

式中：為撓曲線切線與水平方向夾角；為撓度誤差。

在考慮沒有約束情況下時，由溫度引起的絲杠軸向伸長量為

(4)

式中：為熱膨脹系數，10m/℃；Δ(,)為絲杠表面溫升量，℃；為熱應力，Pa。

將式(2)(3)代入式(1)得：

(5)

撓曲線微分方程通解以及絲杠兩端邊界條件為

=cos+sin++

(6)

(7)

式中：、、、為未知系數；為撓度波長系數。將邊界條件(7)代入(6)，解得撓曲線方程為

=sin

(8)

將式(6)代入式(4)解得：

(9)

式中：=π/，為長度因數，這里假設絲杠實際伸長量全變為撓曲變形，取=2。根據撓度與軸向位移的關系，推導出軸向熱位移誤差為

(10)

絲杠在受熱載荷的條件下產生熱應力，熱應力會使絲杠產生撓曲變形，通過撓曲線方程推導，將式(9)代入式(10)，得到熱誤差表達式。這里設絲杠的熱誤差的幅值=-280，波長=π/1.3；比較熱應力與臨界應力之間的關系，得到兩端固定式絲杠進給系統熱致定位誤差模型：

(11)

由推導公式可得：當機床工作時，絲杠熱應力會逐漸增加，當熱應力小于臨界應力時，即<,其軸向熱位移為零，這說明兩端固定式絲杠進給系統對熱誤差具有一定的限制;當絲杠溫度達到一定值時，熱應力將大于臨界應力，即≥，得到的熱誤差模型是以絲杠升溫與位移為自變量的正弦函數表達式。這為兩端固定式絲杠進給系統熱誤差建模與補償提供了基本思路。

2 幾何誤差與熱誤差復合建模

2.1 基于有限元法瞬態熱仿真分析

絲杠表面在多處邊界條件影響下，想要通過理論計算解出溫度模型非常困難。本文作者基于有限元法來提取絲杠表面溫度場,因此對空心絲杠進給系統建立生熱、散熱計算模型。

(1)軸承生熱計算

滾動軸承的生熱主要由滾動體與套圈之間摩擦力矩以及潤滑劑的流體動力學損耗所引起的，其生熱率計算公式為

=0104 7

(12)

=+

(13)

式中：為軸承轉速，r/min；為軸承摩擦力矩，N·m；為與軸承類型、轉速和潤滑劑性質有關的力矩；為與軸承所受載荷有關的摩擦力矩。

(2)絲杠生熱計算

絲杠螺母副是由滾珠與滾道間摩擦產生熱量，其生熱計算公式與軸承生熱計算相同。絲杠螺母摩擦力矩為

=094+

(14)

式中：為預緊阻力矩；為驅動力矩。

(3)電機生熱計算

電機與絲杠前軸承處一端通過聯軸器連接，其溫度不會直接影響絲杠，但電機的生熱會影響前軸承座的溫度，因此需計算電機生熱量。其計算公式為

(15)

式中：為電機輸出扭矩；為電機機械效率。

(4)對流換熱系數

(16)

式中：為努賽爾數；為空氣熱傳導系數；為特征尺寸。

(5)空心絲杠冷卻液強制散熱

=(-)

(17)

式中：為冷卻液密度，kg/m；為冷卻液流量，L/min；為冷卻液比熱容，J/(kg·℃)。

2.2 建立絲杠溫度模型

所研究的臥式精密加工中心采用的是雙驅動進給系統，對滾珠絲杠進給系統單元的各部分材料物性參數進行定義，如表1所示。

表1 絲杠螺母副各部分物性參數

圖3為向進給系統，首先利用ANSYS Fluent進行流體分析獲得冷卻液出口溫度，計算出冷卻液進出口溫差為0.69 ℃；以工況為15 m/min的進給速度對向絲杠進給系統進行瞬態熱分析。設置環境溫度為20 ℃，根據上述經驗公式計算出熱載荷以及邊界條件參數，如表2所示。

圖3 Z向進給系統

表2 各部位熱載荷與邊界條件

設置絲杠螺母運動行程為900 mm，利用imprint faces生成有效路徑面，對有效路徑施加絲杠螺母副摩擦產生的熱流密度。根據經驗，精密加工中心達到熱平衡時間約為14 400 s，為驗證熱平衡時間的準確性，故取18 000 s為滾珠絲杠螺母副的總仿真時間。設置最小載荷步為18 s，最大載荷步為600 s。將上述參數施加到有限元模型中，計算得到向滾珠絲杠進給系統溫度場。

對雙驅動絲杠進給系統兩邊施加同等邊界條件，其熱源分布較為對稱，以右絲杠進給系統為例，仿真結果如圖4所示。

圖4 有效行程下絲杠表面溫度

由圖4(a)可知:前軸承座溫度高于后軸承，是由于電機溫度的影響，但絲杠靠近前軸承部分溫度較低是由于選取的有效行程偏向于后軸承，因此絲杠在靠近前軸承處沒有產生摩擦熱。提取絲杠有效行程下的表面溫度，將絲杠表面溫度數據導入到MATLAB中,在有效行程下絲杠表面溫度如圖5所示。

圖5 有效行程下絲杠表面溫度

利用MATLAB將絲杠瞬態溫度代入到式(4)，其中絲杠熱膨脹系數=1.18×10℃，計算熱應力變化情況，取位置270、540、810 mm處的絲杠熱應力的變化情況如圖6所示。臨界預載荷為最大工作載荷的1.35倍，故臨界應力值=4.88 MPa。由圖6可發現3個位置在非穩態條件下均大于臨界應力值，在4 h左右達到穩態狀態，且在1 h內負載熱應力增長幅度最大，即在=1 h時產生的熱變形量較大。

圖6 絲杠熱應力

將絲杠表面溫度數據進行統一化處理，除去波動較大的溫度數據，計算每小時絲杠表面平均升溫量，將絲杠表面升溫量代入到式(9)中計算得到熱誤差幅值，見表3。根據式(11)計算在1、2、3、4 h時刻的熱致定位誤差如圖7所示。

表3 不同時刻絲杠表面升溫值與幅值

圖7 熱誤差

2.3 基于切比雪夫多項式幾何誤差建模

在機床運行零時刻所產生的誤差視為幾何誤差，由于幾何誤差受到加工與裝配等諸多影響因素，因此對其理論計算較為困難，本文作者采用切比雪夫多項式對幾何定位誤差進行參數化建模。

切比雪夫多項式是以遞歸方式所定義的一系列正交多項式，第一類切比雪夫多項式在多項式插值時可最大限度降低龍格現象，可實現連續函數的最佳逼近。第一類切比雪夫前4項公式為

(18)

式中：為切比雪夫變量。

對直線軸運動行程進行歸一化處理，其轉換關系為

(19)

式中：為行程最大值，=900 mm；為初始位置，=0 mm；建立切比雪夫多項式模型并計算基函數的回歸系數：

=()+()+()+…+

(20)

(21)

式中：為回歸模型；為數據點個數；為第個檢測數據；為誤差數據；()為階切比雪夫多項式。

根據式(21)計算得到回歸系數，并代入到式(20)中，解得含有切比雪夫變量的多項式，再將式(18)代入，得到最終的直線軸靜態下的幾何定位誤差模型為

(,0)=-6993 9-5226 3+0939 7(2-1)-1052 8(4-3)

(22)

將幾何誤差與熱誤差模型疊加如式(23)，得到向直線軸幾何與熱誤差復合模型。

=(,0)+(,)

(23)

3 復合誤差模型實驗驗證

為驗證復合定位誤差模型的正確性，在JIG630精密臥式加工中心上進行復合定位誤差檢測實驗。通過測得不同時刻下的定位誤差來驗證所建立模型的正確性。

3.1 實驗設計

以精密臥式加工中心的向進給系統為研究對象，利用多束激光干涉儀XM-60作為定位誤差檢測裝置,在螺母座、前軸承座、后軸承座、電機、冷卻液進出口處布置溫度傳感器，對關鍵點溫度進行實時檢測，布置方式如圖8所示。

圖8 精密機床實驗平臺

復合定位誤差檢測流程：在初始冷態下，采用XM-60對機床軸幾何定位誤差進行測量，然后以進給速度為15 m/min進行往復運動，每隔1 h對軸進行一次定位誤差測量，當運行4 h左右時，溫度基本達到穩態，進行最后一次測量。除初始冷態測得的為幾何誤差，其余4次誤差測量，均為幾何與熱的復合定位誤差。

3.2 實驗結果與分析

以進給速度15 m/min運行的向絲杠進給系統各關鍵點溫度與仿真溫度對比如圖9所示，實驗過程中環境溫度為(20±0.5)℃，冷卻液流量為5 L/min，整個實驗過程保持不變。

如圖9所示:隨著機床運行時間的增加，關鍵點溫度不斷增加，電機座相對于軸承座溫度較高，是由于電機的生熱對電機座有一定的影響。第一個小時增加幅度最大，隨后生熱減少，實驗溫度呈波動趨勢，是由于每次定位誤差檢測，絲杠停止運行，機床處于自然散熱，會出現降溫的趨勢。

圖9 溫度仿真實驗對比

仿真結果與實驗溫度曲線進行對比，各關鍵點瞬態仿真曲線的升溫趨勢與實驗溫度曲線相符，且達到穩態時的仿真值與實驗值相差不大，絲杠表面溫度受各處關鍵點溫度的影響，證明利用有限元法對絲杠表面溫度進行描述具有正確性。

對機床向進給系統每隔1 h進行誤差檢測，測量行程與仿真行程保持一致，每次測量得到幾何誤差與熱誤差的復合定位誤差，機床運行1 h后產生的熱致誤差最大，2 h之后誤差幅度增加變小，是由于絲杠表面溫度在1 h左右增幅最大，2 h之后升溫幅度變得緩慢，當運行4 h左右時，溫度基本達到穩態，所以將4 h后的誤差作為穩態誤差。將幾何誤差與不同時刻下的熱誤差代入式(23)，得到不同時刻幾何與熱復合誤差模型。實驗曲線與預測曲線進行對比，如圖10所示。

圖10 不同時刻下復合誤差實驗值與預測值

由圖10可看出:機床冷態狀況下預測值與測量值最大誤差為1.42 μm，機床跑車1 h，復合誤差預測值與測量值最大誤差為0.92 μm；跑車2 h，復合誤差的預測值與測量值的最大誤差為1.285 μm；跑車3 h，復合誤差的預測值與測量值的最大誤差為1.285 μm；跑車4 h，復合誤差的預測值與測量值的最大誤差為1.85 μm。復合預測精度達到85%以上,驗證了幾何與熱誤差復合模型的有效性。此外，對于兩端固定式絲杠進給系統，預測模型計算得到的熱致誤差小于實測值，其原因是由于床身在多處熱源的影響下會發生變形，從而會減少兩端的臨界載荷對絲杠的限制，進一步增大熱致定位誤差的產生。

4 結論

(1)針對兩端固定式絲杠進給系統，從誤差產生機制角度分析，提出了幾何與熱復合定位誤差建模方法。通過對絲杠受熱膨脹所產生的熱應力與兩端固定所產生臨界載荷的分析，根據絲杠的撓曲變形，推導出兩端固定式絲杠進給系統熱誤差的正弦函數表達式。

(2)利用有限元法對絲杠進給系統進行瞬態熱分析，提取有效行程處的絲杠表面溫度并作為輸入量代入到誤差模型中，從而分析不同時刻所產生的熱致定位誤差。

(3)機床靜態下的幾何誤差采用切比雪夫多項式進行參數化建模，與熱誤差進行疊加，從而得到不同時刻下的復合誤差模型。

(4)根據實驗測得的不同時刻下定位誤差曲線，與文中所建立的復合誤差模型預測曲線進行對比，其重合度達到85%以上，驗證了復合誤差模型的準確性，為提高直線軸定位精度提供了理論依據。