建構(gòu)一次函數(shù)助力調(diào)運決策

任蕾

一次函數(shù)在實際生活中有廣泛的運用。學(xué)習(xí)了一次函數(shù)，我們可以運用一次函數(shù)知識建立數(shù)學(xué)模型解決實際問題。下面以調(diào)水問題為例，研究如何解決調(diào)運方案類問題。

例題 從A、B兩水庫向甲、乙兩地調(diào)水，其中甲地需水15萬噸，乙地需水13萬噸，A、B兩水庫各可調(diào)出水14萬噸。從A水庫到甲地50千米，到乙地30千米;從B水庫到甲地60千米，到乙地45千米。請你設(shè)計調(diào)運方案，使水的調(diào)運總量（萬噸·千米）盡可能小。

【分析】題中變量較多，信息量大，可以把問題逐步分解：

（1）調(diào)運總量與哪些因素有關(guān)？

調(diào)運總量與水庫（A或B）向需水地（甲或乙）供水的重量及調(diào)運路程有關(guān)。

（2）調(diào)運過程中包含哪些不同地點間的調(diào)運？路程各為多少？

調(diào)運過程中有A到甲、A到乙、B到甲、B到乙這四種不同地點間的調(diào)運，路程分別為50千米、30千米、60千米、45千米。不難看出，兩地之間的路程是一定的，結(jié)合（1）可知，調(diào)運總量隨水庫向需水地供水的重量的變化而變化。由此可以確定某水庫向某需水地的供水量為自變量（不妨設(shè)從A水庫調(diào)往甲地的水量為x萬噸），通過列表厘清其他水庫與各需水地調(diào)入的水量之間的關(guān)系，如下表：

（3）總的調(diào)運量由幾部分組成？如何表示總的調(diào)運量？

由上圖可知總的調(diào)運量由四部分組成，設(shè)總的調(diào)運量為y（萬噸·千米），可列函數(shù)關(guān)系式：y=50x+30（14-x）+60.（15-x）+45 （x-1），化簡為y=5x+1275。

（4）考慮自變量的取值范圍。

要使每個量都有實際意義，即

（5）利用一次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合自變量的取值范圍說出最佳調(diào)運方案。

本題中k=5>0，y隨x的增大而增大。因此當(dāng)x=1時，y有最小值，即調(diào)運量最小。最佳調(diào)水方案是：A水庫向甲地調(diào)水1萬噸，向乙地調(diào)水13萬噸;B水庫向甲地調(diào)水14萬噸，向乙地調(diào)水0噸。

【歸納】解決含有多個變量的實際問題時，應(yīng)先分析變量之間的關(guān)系，選取有代表性的變量作為自變量，進一步表示出其他變量，再根據(jù)條件尋求可以反映實際問題的數(shù)學(xué)模型（例如函數(shù)模型），建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，利用相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識予以解決。

【練習(xí)】某市的C縣和D縣上個月發(fā)生水災(zāi)，急需救災(zāi)物資10噸和8噸。該市的A縣和B縣伸出援助之手，分別募集到救災(zāi)物資12噸和6噸，全部贈給C縣和D縣。已知A、B兩縣運送到C、D兩縣的每噸物資的運費如下表所示：

（1）設(shè)B縣運到C縣的救災(zāi)物資為x噸，求總運費w（元）關(guān)于x（t）的函數(shù)關(guān)系式，并指出x的取值范圍;（2）求最低總運費，并說出總運費最低時的運送方案。

參考答案：

（1）w=-40x+980（0≤x≤6）。

（2）最低總運費為740元，運送方案為：B縣運到C縣的物資為6噸，B縣運到D縣的物資為0噸;A縣運到C縣的物資為4噸，A縣運到D縣的物資為8噸。