函數的“故事”

姜鴻雁

記得好幾年前，我把“函數”這一課題寫在黑板上，對同學們說：“今天起，我們開始學習函數啦！在學習之前，對這個“新朋友”，你有問題問老師嗎？”有同學問：“它與我們前面學習的內容有關嗎？如果有，有怎樣的關系呢？我很想知道。”有人問：“什么叫函數呀？”……在眾多問題中，一位同學的問題讓我記憶猶新！他問：“老師，到底是誰起的這個‘怪怪的名字啊？”同學們，通過本章的學習，前面的問題都應該解決了。最后一個問題，你有沒有像這位學長一樣，有同樣的疑惑？相信通過這篇文章的閱讀，你一定能從另一個視角認識“函數”。

“函數”名字的由來

早在17世紀，德國數學家萊布尼茨就首次提出用“function，（函數）”表示x的冪，即x²、x³、x⁴……的值。后來，他還用‘function（函數）”這一詞表示曲線上的橫坐標、縱坐標等與曲線上的點的變量關系，這個詞便逐漸流行開來。大物理學家、數學家牛頓曾用“流量”（與我們現在手機使用的“流量”不是一回事）表示兩個變量之間的關系。

19世紀，英國數學家德摩根的權威著作《代數學》被英國傳教士偉烈亞力帶入我國。我國清代數學家李善蘭在翻譯這本書時，將“變量”譯成“變數”，把“包含變數的表達式”譯成了“函數”，所以“函”有“含”的意思。這個譯名一直沿用至今。

函數發展小史

目前，提起函數，同學們可能容易聯想到一次函數y=kx+b（k、b是常數，k≠0），也就是首先想到函數解析式。這與古代數學家剛開始認識函數的歷程是一樣的。著名數學家歐拉曾經直接用“解析式”給函數下過定義。函數發展史上稱這一段時期為“解析式說”定義時期。

18世紀中葉，還是歐拉，在《微分基礎》這本著作里，更新了函數的定義，大致是這么描述的：如果某些量依賴另一些量，當后面這些量變化時，前面的量也隨之變化，則前面的量稱為后面的量的函數。這個定義與我們課本上的定義比較接近了。為什么會有這樣的變化呢？因為數學家們發現，在現實世界里，并不是所有的函數關系都可以用解析式來表示的，比如一天中的氣溫隨時間而變化的規律是用圖像表示的;再如水庫的水位隨時間的變化規律是用表格來表示的……歐拉如此改進，將函數的發展由“解析式說”推進到“變量依賴關系說”。無論是他的“解析式”定義還是“依賴關系”定義，都對后世認識函數產生了深遠的影響。

德國數學家狄利克雷在1837年提出另一個函數定義，大致是這么說的：兩個變量x、y，在某一區間上，每一個確定的x值，y都有唯一一個確定的值與它對應，那么y叫x的函數。這與我們教材中關于函數定義的描述非常接近了，史上稱之為“變量對應關系說”。它將函數的發展又向前推進了一步。例如，y=0，我們說它一定不是一次函數，但它是函數嗎？我們可以這樣理解：對于變量x，取任意一個值，y都有唯一的值0與它對應，用變量對應關系定義可以判斷它是函數，我們稱它為“常函數”。另外，數學家柯西首次提出“自變量”一詞，也推動了函數的發展。

在數學世界里，同學們還有很長的探索之路要走。待到進入高中后，函數的定義會變化，你們將學習函數發展的更高階段——“集合對應關系說”下的定義。至于“集合對應關系說”下的函數定義是怎么描述的，對函數的研究又提供了怎樣廣闊天地，進入高中學習階段后自有分曉。這真是學無止境、學海無涯！

函數定義的發展是一部歷史，傾注了幾十代數學家們的思考與努力，為后人留下了燦爛的文化，也感召著后人為人類文明的發展奉獻自己的智慧。回望函數發展的歷史，其實“函數”這個詞翻譯自函數發展初級階段，即“解析式說”時期的定義，它已經不能反映“function”的真正含義了。我們了解它、延用它，更要發展它，這既是銘記我國古代數學家李善蘭為我國數學事業發展作出的貢獻，也是在鞭策我們努力前行，為人類的數學文明的發展作出我們中國人應有的貢獻！