借助GeoGebra實現解析幾何恒過定點探索

河北省三河市第二中學 馮志云 065201

解析幾何在高考數學中占有十分重要的地位！在高考數學中，通常以圓錐曲線為主要載體，與平面向量、導數、數列、不等式、平面幾何等知識進行綜合，結合數學思想方法，并與高等數學基礎知識融為一體，考查學生的數學思維能力及創新能力.其設問形式新穎、有趣、綜合性很強.基于解析幾何在高考中重要地位，這一板塊知識一直以來都就是學生在高三復習中一塊“難啃的骨頭”.所以研究解析幾何的解題思路，方法與策略，重視一題多解，一題多變，多題一解這樣三位一體的拓展型變式教學，就是老師與同學們在高三復習一起攻堅的主題之一.本文嘗試在高三復習教學中，在模擬題和高考題中遇到的兩道恒過定點問題，來談談解析幾何解題思路與方法策略.

1 恒過定點問題的解題策略和方法

①y=kx+b，其中b為常數時，直線恒過y軸上定點（0，b）；②y=k(x-x0)，其中x0為常數時，直線恒過x軸上定點(x0,0)；③y-y0=k(x-x0)，其中x0、y0為常數時，直線恒過定點(x0、y0).

2 利用GeoGebra 軟件體驗以動態的觀點研究解析幾何問題的思維方式，掌握類比探究、化歸與轉化等思想方法

我們主要通過GeoGebra 軟件的參數設置滑動條功能，實現AB直線的改變，使得BD直線發生變化，利用跟蹤顯示BD直線功能，實現BD直線恒過定點的直觀認識.

在GeoGebra 的演示過程中，發現隨著t的不同有不同的直線，但這些直線恒過同一個點，所以要想得到這個定點只需要由兩個不同的t=0 和t=1 確定的兩條直線，解出交點G(2,0)，此交點即為所求定點，然后再證明這個定點G是所有直線上的點.即證BD過定點G(2,0).

圖1

在方法1 中，用特殊值法找點再證明，思維方法符合學生思維的發展規律，由特殊到一般，證明三點B、D、G共線也是通法，利用斜率相等，只需證kBG=kDG，此法易得滿分.

方法2 是通過動態幾何畫板GeoGebra發現定點在x軸上，所以寫出直線BD 方程，令y=0，求得x0=2 此處有一個要點，發現（ty1y2=y1+y2）的關系，否則此處是關鍵失分點，因為看不到聯系，則使得下面的約分化簡不能得到常數.

方法3 是對任意直線過定點問題的一般性做法，返璞歸真，化為點斜式得到定點，即使不是x軸上的點也能精準定位.考查學生的精準頑強的計算能力，更體現了解析幾何中圓錐曲線的設而不求的思想方法.在判卷過程中，利用法三的只有幾個同學.得分困難主要是在y1、y2中不知用誰表示.即使保留了y2，在運算過程中也會出錯，他們不知道可以使y2和t同時并存.一直想在題干當中只用t來表示，所以這種方法的運用也給有些同學開辟了一條新的思路.試著改變橢圓方程和直線x=ty+1，這兩個量實質是任意橢圓與任意直線.只不過在第二問加入的條件x=3 這條直線需要出題人提前設定好.用方法二，有幾個同學得到滿分，沒有得分的同學主要障礙是沒有發現條件ty1y2=y1+y2，此處是關鍵點.

最后探索在第二問當中，為什么作者要用x=3 這條直線，而不是用其他直線說明直線必過定點？現給出了如下證明.

因為橢圓的對稱性的性質，才有過定點，通過動態幾何畫板GeoGebra 演示，學生們一目了然，瞬間找到此定點，然后就是對這個定點的證明.課堂上同學們積極主動，被GeoGebra吸引，激發了他們的探索精神及發現問題解決問題的熱情.

除了平時模擬題中會遇到此類恒過定點問題，在歷年全國各地不同省份的高考試題中也出現過.

題后反思：方法一從直線的兩點入手，求得C、D的坐標，運算中結合圖形的對稱性，通過定點在x軸上簡化運算.方法二在設直線PA、PB的方程時較為簡單，后續通過兩直線交點在定直線上，得到兩直線斜率的關系式，從而解得定點坐標.解此類問題無固定方法，依題意選方法.本文從平時教學中常用方法入手，借助GeoGebra 軟件動畫展示功能，讓同學們能切實理解數學中“動中有靜，變中蘊定，動靜結合，簡化運算”.借用數學家華羅庚先生名言：數與形本是相倚依，焉能分作兩邊飛.數缺形時少直觀，形少數時難入微.數形結合百般好，割裂分家萬事非.平時教學中教師要在條件允許的情況下引導學生，多做嘗試！