用課本例題撬起學生探究之趣

湖北省廣水市一中 彭光焰 432700

創設問題情境，激發學生探究中的智慧潛能.學習的契機蘊含在學生與身邊的學習資源和人的交互中，我們深度創設問題情境，讓學生借助身邊的材料和已有的知識經驗發揮自己的智慧潛能，應對學習中的挑戰，在解決問題的過程中，完成新舊知識的整合，逐步建構起對新知識的自我認知.課本例題是經過專家的精心挑選而成，有些例習題初看起來很平常，實際上卻豐富多彩，蘊涵著漂亮的結論.

教材內容豐富多樣，怎樣才能調動學生的感官對材料產生敏感度，激發他們的探究興趣.我們認為教師要深度研究教材，準確把握教材，重視教材在數學教學中重要地位，利用好教材例習題.這不僅增加了學生與教材互動的親密程度，也讓學生在學習過程中有更多的選擇空間，釋放出內心對教材的理解和感受.學生解決問題思路大多來源于以前所學的知識、方法和技能，在自發探究的過程中，他們會在觀察、操作、篩選、嘗試中建構自己對教材知識的一系列感知和解讀，選擇出他們認為可以幫助自己達成學習目的的方法，通過具體的操作和創造性地使用教材，表達自己對教材內容的理解.

由于學生都是具有差異的不同個體，每個學生都是獨立的，即使他們在同個班級學習，他們的智力發展水平不一，興趣不同，應采用小團隊式教學，使處于不同發展水平的學生在相互作用中都獲得長進.在小團隊式教學中，學生會不斷從同伴身上汲取智慧、策略和經驗方法，通過小組討論和交流，使得這些想法不斷修正或者實現，一起推動思維往更高級的方向前進，這種群眾式的互動學習，讓學生在合作式探究中，容易獲得更加愉悅的心理體驗，同時更能發現自己在團隊中的貢獻和價值，變得樂于與同伴一起分享自己的學習體驗.

學生的學習，往往伴隨著想法的深入或者學習過程中其他因素的融入和改變，而出現不確定的學習進程.學生會對自己的學習進行重新的規劃和重心轉移，擬定一系列假設和猜想性的推斷，再次呈現自己在學習中所要表達的內容或者挑戰自己認為難度很不一般的事情.教師要及時觀察到學生學習中的動態，適時給予鼓勵，用一種支持性的語言和動作，幫助學生勇敢嘗試，驗證自己的新假設和新猜想.把教學中的資源，變成激發和支持學生學習意圖的材料，在學生自主探究的過程中，豐富學生學習的情境.學生通過與周圍人、事、物的交互作用，獲得有關的知識、經驗并形成自身的觀念，呈現出對世界不同的認識和解讀.學生通過主動的探究，找到了一種愿意與周圍人和環境分享自己的動力.

思維總是由問題開始的，而經典問題的探究常常是排疑解難的過程中被激發出來的.思起于疑問，問能解惑，問能知新，問能生成精彩的解答方法.在課堂教學中，教師不僅要善于設問，更應滿腔熱情地引導學生敢問、會問、愛問、善問，不斷促進問題解決意識的高效、持續地發展.

問題設a,b∈R+，a+b=1，求 證≥4.

此題是《普通高中課程標準實驗教科書·選修4-5》（人教社A 版第35頁例題3）課本上用柯西不等式證明此題.此題已知條件和要證的結論都是對稱的，是一道簡明的不等式證明題，可以從多途徑、多角度去思考證明方法.由于此題證法較多，故在教學中可前置性處理此題，即在學習柯西不等式前要求同學們證明此題，把此題放在測試卷中，或者要求學生對此題進行一題多證.前置性學習是一種重要的學習方式.前置性學習過程中學生有更多自主學習的空間，它是學生自己摸索、理解的自主學習過程.

德國教育家第斯多惠指出：教學的藝術不在傳授本領，而在于喚醒、鼓舞和激勵.學生只有親身體驗學習的過程，知識才容易內化、遷移、發散.實踐證明最有效的教學是教師以學生為教學的主體，引導他們主動學習，激發學習熱情.因此，教師要充分利用好教材，要善于創設情境，將可以前置學習的內容前置，有效地指導學生從熟悉的學習情境遷移知識和技能，提高探究、評價和創造能力.有效的前置內容能夠激發學生的求知欲，使學生的求知心態由潛伏狀態轉入活躍狀態，充分發揮學生學習新知識的積極性和主動性.有效的前置內容能促使學生主動學習，積極思考，勇于探索，享受學習過程的樂趣，體驗成功的喜悅.

1 多角度審視，全面探究證法

1.1 比較法

分析1：要證明a≥b，最基本的方法就是證明a-b≥0，即把不等式兩邊相減，轉化為比較差與0的大小.問題中有a+b=1 這個條件，對于這個條件不同的利用，就可以得到不同的證法，由a＞0,b＞0,a+b=1 可得b=1-a(0 ＜a＜1)，采用消元法；另一方面，由a+b=1 可得1=(a+b)2，采用整體代換法.

1.2 綜合法

分析2：在不等式的證明中，我們經常從已知條件、不等式的性質和基本不等式等出發，通過邏輯推理，推導出所要證明的結論.

用綜合法證明也有多種途徑，主要由于對已知條件的使用和對要證的結論變形不一樣所致.

1.3 三角代換法

1.4 分析法

分析4：在思考數學命題時，執果索因和由因導果總是不斷交替地出現在思維過程中，有些問題可以用綜合法證明，也可以從要證的結論入手，去逐步地推求使之成立所需的條件，所以可用分析法證明.

1.5 反證法

1.6 等差數列法

1.7 配方法

1.8 判別式法

1.9 向量法

1.10 導數法

分析10：導數是求函數最值和證明不等式的有力工具.

1.11 柯西不等式法

分析11：柯西不等式在證明不等式中有廣泛用途.用柯西不等式時，既要注意它的數學意義，又要注意它的外在形式，當一個式子與柯西不等式的左邊或右邊具有一致的形式時，就可以考慮利用柯西不等式對這個式子進行放大或縮小.

2 實施變式教學，培養學生能力

在數學教學中，恰當合理的變式能營造一種生動活潑、寬松自由的氛圍，能開拓學生的視野，激發學生的思維，有助于培養學生的探索精神與創新意.同時，學生可以多層次、廣視角、全方位地認識數學問題，使學生的提出問題能力、思維能力、分析問題能力和解決問題的能力充分的提高.

3 教后思考

怎樣的例習題教學才是學生所需要的？怎樣組織例習題課教學可使教學效果更佳？結合平時例習題教學中的探討以及對新課標理念的理解，筆者認為在進行例習題教學中以下幾點值得注意.

3.1 例習題的選題應由“多而雜”向“少而精”轉化.教師所選題目多且雜，學生往往不容易抓住解題要點，學習過程中注意力容易分散，如果能選擇適合多數學生又難易適中的典型題目，既可激發學生的興趣又便于老師對題目進行深入淺出的講解和拓展.

3.2 例習題教學方式可以由“單向輸出式”的灌輸法轉變為“師生交流”的教學相長法.傳統的例習題課，老師枯燥無味的獨角戲，學生聽著聽著就失去興趣.如果只介紹用柯西不等式證明上面例題，這樣處理該題顯然不符合教材的要求，沒有把握好教材，對教材鉆研不深，教學效率也是低下的.十六種證法全由老師講授，學生除了對老師個人表示崇拜以外，就缺少那種運用知識解決問題時所取得的成就感和在辨析中澄清錯誤明白道理的過程體驗.老師也失去了師生共同交流，實現教學相長的收獲.因此習題教學中不妨多一些交流，讓師生智慧的星火照亮各個學生心田.

3.3 教學態度應由站立挑錯式轉變為下蹲欣賞式.“好學生是表揚出來的”，此話的意義在例習題教學中尤為突出，當學生靈活運用知識解決了“難題”后，老師恰如其分的一句表揚會讓他們如沫春風，干勁十足；哪怕是閃過的一點思想火花得到教師及時的肯定，亦會讓他們津津樂道，樂此不疲.

3.4 教學過程由單一講題到“講—議—變—練—歸納“相結合.老師講例題時可以充分挖掘例題中的條件，盡可能地一題多解、一題多變、舉一反三，將知識串聯起來，使學生融會貫通，比如在上面例題講解時，引導學生從多角度尋找方法對問題進行變式，再對變式進行解決.

3.5 教學結束由草草收兵到“畫龍點睛”般升華.在例習題課教學中，由于上數量，趕進度，老師最后收尾時間較緊，往往草草收兵.如果教師在設計教學時，能預留時間引導學生回頭看看，進一步理清思路，對提高學生的分析綜合能力、歸納總結能力會很有幫助，整堂課的教學效果也將如同“畫龍點睛”般得到升華.

3.6 課本是學生建立知識體系的根基，課本中的例題、習題是學生務必掌握的.因考慮到教學的階段性要求，課本中的例題一般體現某個定理（公式）的應用，或體現某種解題（思想）方法，具有基礎性和示范性，有利于學生模仿、操練.筆者認為，適時、適度地對課本例題（習題）進行拓展，值得提倡.通過拓展，建立聯系，整合知識，提煉思想方法，有利于學生開闊視野，學會借鑒，學會欣賞，促使其思維發散.