“一道向量題的解法”課堂教學實錄

浙江省嘉善第二高級中學 魯和平 314100

1 題目呈現：

在△ABC中，已知則角A的最大值為_______.

這是《平面向量及其應用》的單元測試卷中的一道填空題.得分情況很不理想.為此，我讓學生又重新認真做了一遍，然后專門用一節課，讓全班學生暢所欲言，盡情展示自己的解題方法.

2 解法展示

師：根據題設條件，很容易化成向量的數量積的形式，然后得出三角形三邊的關系式，這就為運用余弦定理求解作了鋪墊.請問哪些同學是按照這條思路做的？

2.1 學生1在黑板上展示自己的解答過程

點評：本解法先根據向量數量積的定義得出關系式，再用余弦定理表示角，代入所得出的關系式，進一步得出c2-b2=2a2，接著繼續用余弦定理和基本不等式求解，思維縝密，環環相扣.

2.2 學生2的解法與上面有些差異，他也展示了自己獨特的解法

點評：此種解法不落俗套.與解法1的不同之處在于它巧妙運用了向量的運算，回避了三角形邊的關系的探討.再直接回歸向量數量積的定義，順理成章的想到基本不等式解決問題，單刀直入，游刃有余.

圖1

2.3 學生3也是從運用余弦定理入手，但與前兩位同學在思路上有很大的區別

點評：解法3 的創新點是在不同的三角形內，以計算cosA作為橋梁，得出三角形邊的關系式.

師：以上三種解法本質上都是從代數角度解決問題.否向量本身就是數與形的高度統一和完美結合.請問有沒有同學是從幾何特征考慮的？

2.4 學生4 隨即在黑板上展示自己的解法

圖2

2.5 學生5也是從幾何性質入手

解法5：設△ABC中角A,B,C所對邊分別為a,b,c.如圖3延長AC至D點，使因 為所以BD⊥BC.以CD為直徑作圓O.則點B在圓上運動，當AB和圓O相切時，角A最大，則BA⊥BO,AO=2BO，故角

圖3

點評：此解法純從幾何本質入手，巧妙運用了圓的切線性質，將向量的幾何屬性暴露無遺，簡潔明快，拍案稱奇.

師：剛才兩位同學很好地領會了老師的意圖，深入挖掘了問題的幾何背景，使大家再一次感受到了向量的幾何魅力.下面是否有同學是從“角”的角度思考問題并加以解決的？

2.6 學生6 立即站起來，展示了他從“角”的角度入手的解法

點評：此法的關鍵在于對a=-2bcosC，不是從“邊”的角度進行代數恒等變形，而是巧妙運用正弦定理，純從三角恒等變形著手，深入挖掘，最后運用兩角和的正切公式，輔之以基本不等式解決.

2.7 學生7也是從“角”的角度來思考的，他也展示了自己的思路.

圖4

點評：此法的亮點在于利用三角形的射影定理介入，巧妙得出BC=2CE，再運用兩角差的正切關系求解，前面主要應用余弦函數的單調性，再運用正切函數的單調性，也使問題迎刃而解.

3 解后反思

向量小題以其綜合性強、解題入口寬、解法豐富多彩而深受命題者的青睞.同時也是學生較為畏懼的題型.作為填空題的把關題，即能考查學生對向量知識的理解深度，也能很好地管窺出學生綜合運用知識，駕馭各種解題技巧解決問題的能力.在向量問題的中，也能有效地檢測學生的數學運算、邏輯推理、直觀想象等重要的核心素養.

高一學生其智力正處于飛速發展的關鍵時期.教師只要引導得法、大膽放手，學生就會迸發出無限的創造力.互動雙贏、教學相長，正是教師所追求的教學境界.