應(yīng)用斯特溫面積法證明兩線段相等

江蘇省泰州市海陵區(qū)森南新村15棟103室 于志洪 225300

1973 年，美國中學(xué)老師斯特溫（Steuen）應(yīng)用面積方法對著名的“蝴蝶定理”進(jìn)行了簡捷明了的證明，后來人們就將這種證明方法稱之為“斯特溫面積法”.下面就介紹如何運(yùn)用“斯特溫面積法”來證明兩線段的相等.

例1 已知過圓的弦AB的中點M，任意引兩弦CD和EF，連接DE與CF，分別交AB于P、Q.求證：MP=MQ.（蝴蝶定理）（第24屆美國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽題）

圖1

例2 過正方形ABCD的頂點D作DF//AC，且CF=AC,CF與AD的延長線交于M.求證：AM=AF.（2010 年沙市高中數(shù)學(xué)競賽題）

圖2

例3 設(shè)P、Q為線段BC上兩定點，且BP=CQ.A為BC外的一點，當(dāng)點A運(yùn)動到使∠BAP=∠CAQ時，求證：△ABC是等腰三角形.（1986年全國初中數(shù)學(xué)競賽題）

圖3

圖4

綜上所述，應(yīng)用斯特溫面積法證明兩線段相等，首先觀察圖形，根據(jù)題設(shè)，建立斯特溫面積等式；然后利用三角形的邊角與面積之間的關(guān)系，結(jié)合“等高的三角形面積的比等于底邊的比”和“等底的三角形面積的比等于高的比”的性質(zhì)，將有關(guān)關(guān)系式代入斯特溫面積等式，通過化簡運(yùn)算進(jìn)行證明即可.用斯特溫面積法證幾何題，不添加任何輔助線，現(xiàn)將這種思維方法歸納如下：

依據(jù)題中結(jié)論與條件的關(guān)系，確定幾個相關(guān)的三角形，其面積依次為S1、S2、S3…、Sn，組成比積式.再把需要的面積公式代入計算或化簡，從而使問題獲得解決.此法富有規(guī)律，方法明晰，符合新課程改革的理念要求，利于學(xué)生融會貫通所學(xué)幾何和代數(shù)知識，對予培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、提高教學(xué)質(zhì)量均頗有益處.加強(qiáng)這一專題內(nèi)容的研究，很有必要.