等差數列與等比數列的幾類凹凸性不等式

山東省濱州市北鎮中學 宋志敏 256600

山東省濱州學院理學院 尹 櫪 256603

文獻[1]證明了等差數列與等比數列的前n項和的一個統一性質，其主要結果可以敘述如下：定理A 若正項等差數列或等比數列的前n項和為Sn，則當m+n=2p,m,n,p∈N 時，SnSm≤成立.之后文獻[2]中筆者類似的研究了等差數列與等比數列通項an的凸性問題.最近，宋志敏、尹櫪在文獻[3]中提出了一個更廣泛的問題，即研究等差數列與等比數列的廣義凹凸性問題.即考慮如下類型的不等式問題：bM(m,n)≥(≤)N(bn,bm)? 其中M(m,n),N(m,n)為任意的兩個平均.本文主要研究反調和平均、Helon 平均與平方根平均.其中反調和平均為：λ(a,b)=;Helon 平均為：h(a,b)=；平方根平均為：討論之前，我們先對等差數列與等比數列的定義延拓一下，假設{an} 為等差數列,且首項為a1,公差為d，在此基礎上規定n可以取到任意實數，其通項公式以及前n項和公式類似可以寫出對應形式，等比數列的延拓類似.

本文主要結果如下：

定理1:設{an} 為等差數列,且首項為a1,公差為d，則有（1）當a1≥d,d≥0 時aλ(m,n)≥λ(am,an)；（2）當a1≤d,d≤0 時aλ(m,n)≤λ(am,an).