一類具變指數的非線性橢圓方程在加權Sobolev空間中熵解的存在性

代麗麗

（通化師范學院 數學學院, 吉林 通化 134002）

一類具變指數的非線性橢圓方程在加權Sobolev空間中熵解的存在性

代麗麗

（通化師范學院 數學學院, 吉林 通化 134002）

運用截斷函數方法以及變指數在加權Sobolev空間中的嵌入關系，通過選取適當的檢驗函數，證明了一類非線性橢圓方程熵解的存在性。

非線性橢圓方程；截斷函數；加權Sobolev空間；權函數

0 引言

在加權Sobolev空間中，考慮一般情形的非線性橢圓方程

（H1）為Carathéodory的向量值函數，對幾乎處處的，所有的，滿足

（H2）→R為Carathéodory函數，且對幾乎處處的和任意的，所有的，滿足

AHAROUCH等［1］研究了在常指數情形下，當，且時，式（1）在Orlicz空間解的存在性結果。在變指數情形下，AZROUL等［2］研究了橢圓方程

并得到熵解的存在性結果。ZHANG等［3］在，，，且的情形下，證明了重整化解和熵解的存在性。BOCCARDO等［4］運用截斷方法，證明了當為常函數，，時，式（1）在Sobolev空間中重整化解的存在性和正則性。此后，BOCCARDO等［5］繼續研究帶有非線性導數項的非線性橢圓方程，并證明了其存在解。

以上研究均在不加權的Sobolev空間進行。本文將在文獻［2-3］等的基礎上，引入權函數，擴展為加權變指數的Sobolev空間，并在此框架下，研究式（1）解的存在性。首先，帶變指數的偏微分方程模型相較常指數優勢顯著，其可更精確地描述擴散過程，當不是常函數時，研究相關加權的文獻較少，需特別關注空間的性質及嵌入。其次，權函數的引入增加了研究的難度，尤為困難的是空間的嵌入。最后，函數無增加任何條件，即使作為一個分布，此項在方程中也可能無意義，且右端項可積性不高。因無法得到式（1）的弱能量解，所以考慮其熵解。本文主要借助截斷函數方法對逼近方程做估計，運用加權變指數在Sobolev空間中的嵌入關系，選取合適的檢驗函數，令強收斂，并通過取極限，得到式（1）的熵解。

1 相關知識

給出加權變指數在Sobolev空間的相關知識［6］。

賦予范數

（iii）常用關系。如果記

那么

（v）加權變指數在Sobolev空間中的連續嵌入定理。設滿足-連續性條件，若且，則有連續嵌入

圖1 Tk（s）Fig.1 Tk（s）

引理1設和是2個非負實數，

引理2對任意的和，有

引理3假設和（）成立，設在中弱收斂于且滿足

2 熵解的存在性

定義1若，且對任意的，均有

定理1若成立，，則式（1）至少存在1個熵解。

證明 分5步完成證明過程［9-11］。

第1步 逼近問題及先驗估計。

建立關于式（1）的逼近方程

由文獻［12-13］的偽單調算子理論，可知式（10）至少存在1個弱解，即對任意的有

具體來看，一方面要在保證產品安全有效、質量可控的前提下，改革審評審批機制，簡化特殊食品變更注冊和延續注冊程序；另一方面，監管部門要嚴格執行特殊食品生產經營許可相關規定，督促企業按照良好生產規范要求，建立生產質量管理體系。

由式（3）、式（5）、式（19）及Young不等式，式（12）可整理為

即

由加權變指數在Sobolev空間的嵌入定理，有

其中，

第2步在上幾乎處處收斂。即證明是一個依測度收斂的柯西序列。

即

第3步在中強收斂。

于是可將式（18）整理為

方便起見，寫為

類似地，有

于是，

聯合式（14）和式（22），有

綜上，由式（23）和式（27），可將式（19）左端整理為

由引理1，取a=1，b=，結合式（28）～式（30），且當時，對式（19）取極限，有

事實上，對于右端第1項，應用Lebesgue控制收斂定理便可得到結果。

對于右端第2項，不妨設

用證明式（19）類似的方法，可得

由式（3）、式（5）及Young不等式，有

即

由引理3，有

第4步 非線性項在中強收斂。

由符號條件式（5），可知

用證明式（19）類似的方法，可得

由式（3）和Young不等式，可得

移項后去掉非負項，可得

于是，有

由式（35）和式（37），可知當m充分大時，至少存在1個，使得當時，有

第5步 取極限。

由Fatou引理，有

且

于是有

定理1得證。

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The existence of entropy solutions for the nonlinear elliptic problems with variable exponents in weighted Sobolev space

DAI Lili

（Institute of Mathematics，Tonghua Normal University，Tonghua134002，Jilin Province，China）

In this paper, we utilize truncation method and some embedding of weighted Sobolev space with variable exponent to investigate the existence of entropy solutions for the nonlinear elliptic problems.

the nonlinear elliptic equation; truncation function; weighted Sobolev space; weighted functions

O 175.2

A

1008?9497（2022）05?540?09

2020?12?02.

吉林省教育廳科學研究項目（JJKH20210537KJ）.

代麗麗（1982—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0002-6376-6949，女，博士，副教授，主要從事偏微分方程及其應用研究，E-mail：drx820115@126.com.

10.3785/j.issn.1008-9497.2022.05.004