謂詞邏輯系統MTL中公式的公理化真度

王波，惠小靜，魯星，

（延安大學 數學與計算機科學學院,陜西 延安 716000）

王波，惠小靜*，魯星，

（延安大學 數學與計算機科學學院,陜西 延安 716000）

命題邏輯及謂詞邏輯計量化是邏輯系統的研究熱點之一。在左連續三角模的謂詞邏輯系統MTL中，利用公理化方法提出了MTL公式的真度，證明了該真度的MP規則、HS規則及交推理規則；同時在謂詞邏輯系統MTL的一階閉邏輯公式集中引入了相似度和偽距離，證明了關于相似度的一些良好性質，并討論了邏輯運算關于偽距離的連續性問題。

謂詞邏輯系統MTL；公理化真度；相似度；偽距離

0 引言

模糊邏輯作為非經典數理邏輯的一個重要分支，是邏輯系統的重要研究方向之一。HáJEK［1］受連續三角模結構定理的啟發，提出了基本邏輯（BL）的形式系統，將系統BL弱化就形成了系統MTL，系統MTL由ESTEVA等［2］提出，在此基礎上又得到了一些研究成果［3-4］。

命題邏輯計量化從基本概念的程度化入手，引入命題邏輯公式的真度概念，并基于語義方法建立。但在謂詞邏輯中，謂詞邏輯的語義理論遠比命題邏輯復雜，因此，通過語義的方法建立真度的概念難度很大。王國俊［11］用公理化方法建立了一類一階邏輯公式的真度理論。本文在此基礎上，首先給出謂詞邏輯系統MTL的公理化真度，證明該真度的MP規則、HS規則及交推理規則，其次給出相似度的概念，最后在一階閉邏輯公式集上引入了偽距離，討論邏輯運算關于偽距離的連續性問題。

1 預備知識

定義1［3］謂詞邏輯系統MTL的公理由MTL的10條公理及帶有量詞的公理組成。

（1）命題邏輯系統MTL的公理：

（2）帶有量詞的公理：

（i）MP規則［3］，由推出；

（ii）推廣規則［3］，由推出；

（iii）HS規則［2］，可得。

定理1［3］在MTL中，有：

定義2［3］。

定義3［11］若

（K6）在計算公式的真度時，原子公式中的變元可相互替換；

定義4［12］若與均為邏輯有效公式，則稱與邏輯等價，記作。

2 謂詞邏輯系統MTL中公式的公理化真度

定義5若

（G6）在計算公式的真度時，原子公式中的變元可相互替換；

命題1設，，有

由定義5，易證明命題1成立。

定理2設，，，，，有

（3）由于交推理規則的證明需用到一個引理，而此引理需借助相似度的概念，因此將在第3節中給出（3）的證明。

推論1設，，，

3 謂詞邏輯系統MTL中公式的公理化相似度

定義6設，，令，稱為與之間的相似度。

命題2設，，，有

由定義6和命題1，易證明命題2成立。

定理3。

由命題2（1），知

得證。

推論2。

定理4。

由命題2（1），知

得證

推論3。

例1計算的值，其中在中不自由出現。

例2計算的值，其中在和中不自由出現。

解 由命題2（1），知

由例1及（G1），知

由定理4，知

由例2的結果，可知下列引理成立。

引理1設，，則。

證明 由引理1，知

由命題1（5），知

所以

由MTL4及G2，知

由命題1（4），知

所以

再由引理1，得

得證。

4 謂詞邏輯系統MTL中公式的公理化偽距離

定義7設，，令，稱為與之間的偽距離。

命題3設，，，則。

由命題2（3），易證命題3成立。

引理2若是定理，是定理，則是定理。

證明①（定理1（4））；

引理3若是定理，是定理，則是定理。

定理5在謂詞邏輯系統MTL中，

由定理1（1）和定義4，易證得上式成立。

第2步，證明

第3步，證明

第3步的證明類似于文獻［12］中的證明，在此不再重復。

由命題3，知

由（G2）及命題1（4），有

第2步的證明類似于第1步。

由命題3，知

定理6在謂詞邏輯系統MTL中，中的運算關于偽距離不連續。

所以由（G2），知

5 結束語

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WANG G J. Introduction to Mathematical Logical and Resolution Principle［M］. 2nd ed. Beijing：Science Press， 2006.

Axiomatic truth degrees of formula in MTLpredicate logic system

WANG Bo, HUI Xiaojing, LU Xing

（Mathematics and Computer Science College，Yanapos;an University，Yanapos;an716000，Shaanxi Province，China）

The quantification of propositional logic and predicate logic is a research hotspot. Based on left continuous triangle norm,the concept of truth degree of formulas in MTLis introduced by the axiomatic method .The MP rule,HS rule and meet inference rules of this truth degree are proved. Meantime,the concept of similarity degree and pseudo-distances of first order closed logic formulas in MTLpredicate logic system are introduced,some good properties about similarity degree are proved. Furthermore, the continuity problem of logical operators about this pesudo distance is discussed.

predicate logic system MTL; axiomatic truth degree; similarity degree; pseudo-distances

O 141.1

A

1008?9497（2022）05?521?06

10.3785/j.issn.1008-9497.2022.05.001

2022?02?14.

國家自然科學基金資助項目（11471007，61763045）.

王波（1997—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0001-9438-2094，男，碩士研究生，主要從事數理邏輯與不確定性推理研究.

通信作者，ORCID：https：//orcid.org/ 0000-0001-6778-2631，E-mail：xhmxiaojing@163.com.