基于ABAQUS下懸臂梁的靜力學分析及拓撲優化

董琴琴

(南充科技職業學院 智能制造學院，四川 南充 637200)

關鍵字：懸臂梁；靜力分析；拓撲優化

0 引言

懸臂梁是在材料力學中為了便于計算分析而得到的一個簡化模型，懸臂梁的一端是固定支座，另一端為自由端。在荷載作用下，可根據力的平衡條件求得懸臂梁的固定端的支座反力，包括水平力、豎向力以及彎矩，并可據此畫出軸力圖、剪力圖與彎矩圖[1]。

由于梁一般承受豎向的集中荷載或均布荷載的作用，故支座的水平反力為0。由于懸臂梁屬于靜定結構，因此體系的溫度變化、混凝土收縮徐變、支座移動等只會使懸臂梁出現變形，但是不會在懸臂梁中產生附加內力[2,3]。懸臂梁簡圖如圖1所示。

圖1 懸臂梁簡圖

拓撲優化能在給定的外載荷和邊界條件下，通過改變結構拓撲使其在一定約束條件下性能指標達到最優。拓撲優化以其獨特的優勢在諸多領域得到了廣泛的應用[4]。

本文通過ABAQUS仿真軟件對懸臂梁模型進行仿真分析，得出懸臂梁模型的應力云圖，并對懸臂梁模型進行拓撲優化，得到較為合理的拓撲優化后的懸臂梁結構。

1 懸臂梁的有限元分析

懸臂梁模型的有限元分析，主要是對懸臂梁進行前處理、總裝求解及后處理。其中，前處理包括定根據實際問題近似確定求解域的物理性質和幾何區域、定義單元類型、定義單元的材料屬性、定義單元的連通性、定義單元的基函數、定義邊界條件及載荷。總裝求解包括單元總裝成整個離散的總矩陣方程及聯合方程組。總裝是在相鄰單元結點進行。狀態變量及其導數的連續性建立在結點處。聯立方程組的求解可用直接法、選代法。求解結果是單元結點處狀態變量的近似值。后處理需要對所求出的解根據有關準則進行分析和評價[5,7]。

在彈性小變形范圍內，梁節點力和節點位移向量：

(1)

且kij=kji，即[k]e為對稱陣。

由梁變形公式：對于i節點：

其中：

I——慣性矩

E——彈性模量

接著，假定一系列邊界條件，結合平衡方程，即可求出平面彎曲梁單元的剛度矩陣為：

(2)

則平面梁單元的有限元分析：

(3)

綜上所述，在對懸臂梁一平施加均勻載荷時，懸臂梁端點處的節點位移公式為：

(4)

(5)

其中：

ω——節點處位移；q——載荷，Mpa；l——懸臂梁長度；h——懸臂梁高度；b——懸臂梁長度。

本文主要對懸臂梁模型進行靜力分析及其附加內力進行研究，并在進行了靜力分析后對該懸臂梁模型進行拓撲優化，以此得到懸臂梁的靜力分析結果和拓撲優化后的懸臂梁模型。

2 懸臂梁的建模仿真

2.1 懸臂梁的三維建模

用ABAQUS三維軟件繪制懸臂梁模型，并設置懸臂梁臂側面尺寸為100mm，高為10mm，設置拉伸深度為13mm，得到懸臂梁的三維模型。懸臂梁的三維模型如圖2所示。

圖2 懸臂梁的三維模型

2.2 懸臂梁的線性靜態仿真

設置懸臂梁的材料屬性。設定其彈性模量E=210000×106，泊松比v=0.3。

建立材料界面屬性，并將材料屬性賦予圖1中建立的懸臂梁模型，得到被賦予截面屬性的懸臂梁模型，此時懸臂梁模型在ABAQUS操作頁面中變為綠色，表示截面屬性賦予成功。將被賦予截面屬性的懸臂梁模型進行裝配。

建立分析步。設置初始增量步為0.1來減少初始遞增值。定義懸臂梁模型的邊界條件，并約束三個邊界自由度，將懸臂梁模型的一端固定。

定義邊界條件。將懸臂梁一端固定，其面上的X、Y、Z三個方向上的自由度均設置為0；

定義載荷。在懸臂梁模型的一面施加均勻載荷，該面與固定面呈90°，并將該面載荷設置為0.5Mpa。

劃分網格。幾何模型是網格和邊界的載體，在所生成的幾何模型上，應用特定的網格類型、網格單元和網格密度，對面或進行劃分，可以獲得網格。本文中為了達到較好的靜力分析結果和拓撲優化結果，將網格尺寸設置為1，得到圖3所示的懸臂梁模型。

圖3 網格劃分

根據所設置的彈性模量、載荷、懸臂梁尺寸等參數，可以計算得到懸臂梁背離固定面一端的節點位移為0.000162559mm。

2.3 懸臂梁的拓撲優化仿真

懸臂梁的拓撲優化是懸臂梁模型結構的最優方案，由于施加載荷的一面和施加邊界條件的一面不能進行拓撲優化，因此將這兩個位置設置為固定，并將懸臂梁的初密度設置為0.55。將懸臂梁模型拓撲優化方案定義為最小體積后，設置其拓撲優化的目的為體積小于等于45%，位移量小于等于14mm[8,9,10,]。

拓撲優化以材料分布為優化對象，通過該方法可以在均勻分布材料的設計空間中找到最佳的分布方案。由此可見，拓撲優化相對于尺寸優化和形狀優化，具有更多的設計自由度，能夠獲得更大的設計空間，是結構優化最具發展前景的一個方面[11]。

3 懸臂梁的仿真結果

3.1 懸臂梁的線性靜態分析

在對懸臂梁模型進行靜態仿真后得到懸臂梁的位移云圖，如圖4所示。

圖4 懸臂梁模型的位移云圖

仿真結果表明：從圖4中可以看出，懸臂梁上藍色區域距離定義邊界條件的一端較近，因此其變形位移較小。距離邊界條件越遠，其變形位移越大。懸臂梁上紅色區域為背離固定面的一端，其距離為0.001919mm，通過計算可以得到紅色區域上的平均位移為0.00016mm。

3.2 拓撲優化仿真結果

拓撲優化后的懸臂梁模型如圖5所示。

圖5 拓撲優化后的位移云圖

仿真結果表明：從圖5中可以看出，懸臂梁去掉了不承載載荷的部分結構，使得懸臂梁模型形成了一個最優結構形態[12]。

4 結語

(1)由懸臂梁的靜力分析仿真結果可知：懸臂梁在受到均勻載荷的作用時，會有輕微變形，通過ABAQUS中的靜力分析模塊，可以得到懸臂梁各個部位的位移變化量，可以此來判斷均勻載荷對懸臂梁變形量的作用。

(2)本文中懸臂梁靜力分析結果得到：背離固定面一端的平均變形位移為0.00016mm，根據理論計算得到懸臂梁背離固定面一端的變形位移為0.000162559mm。對比可知：ABAQUS中的平均變形位移與理論變形位移結果接近，說明ABAQUS仿真結果達到預期。

(3)由懸臂梁的拓撲優化結果可知：拓撲優化后的懸臂梁模型帶有較多的空腔和間隙，不承載均勻載荷所施加的作用力的部分結構會形成空腔。拓撲優化能夠在不改懸臂梁模型性能的同時簡化模型結構，仿真結果達到預期，并形成了結構穩定且較為簡化的懸臂梁模型。