蓋爾同心圓盤的分離

魏國祥，沈玲文

(1.四川職業技術學院 教師教育學院,四川 遂寧 629000；2.南充市高坪第五小學，四川 南充 637600)

1 引言

矩陣特征值分布是矩陣分析理論中一個極其重要的熱點問題，在諸多領域有著廣泛的應用[1-2].蓋爾圓盤定理(Gerschgorin定理)[3]則是矩陣特征值估計中最重要的基本定理之一，許多特征值分布估計都與之有密切聯系.該定理指出矩陣An×n的所有特征值包含在以對角線元素為圓心的n個圓盤的并集中.即

(1)

若某個圓盤{z||z-aii|≤Ri(A)}孤立(即與其它圓盤不相交)，則該圓盤中有且僅有一個特征值，k個圓盤構成的連通區域定含k個特征值，但不保證每個圓盤都包含一個特征值.

為得到每個特征值更準確的分布估計，許多學者對其進行了深入的研究并得到一些新的結果[4-5].其中最為常用的方法是利用可逆對角矩陣D=diag(d1,d2,…,dn)進行相似變換D-1AD，縮小部分圓盤半徑，使連通的圓盤相互分離.文獻[6]給出了對角相似變換能分離兩個連通圓盤的一個充分條件.文獻[7]糾正了文獻[6]的一些問題，并對如何選擇對角陣進行了一些討論.文獻[7]對正規陣給出了更小的獨立圓盤半徑.然而利用對角矩陣進行相似變換，僅能使各圓盤半徑發生伸縮，對于同心圓盤卻始終無法分離.比如考慮下例：

本文主要研究如何使同心圓盤分離，從而給出特征值更精確的分布估計，顯然對角相似變化無法達到這一目的.經分析發現，一種常見的簡單相似變換可將同心圓盤的兩個圓心進行反向平移，使原本重疊的兩個圓心分離，盡可能達到分離圓盤之目的.文中Cn×n表示所有n階復方陣組成的集合.

2 主要方法

首先我們給出一種使兩個重疊圓心分離的簡單方法.

定理1 設A∈Cn×n且aii=ajj,(i≠j)為一對相等對角元，作相似變換B=PAP-1，則原重疊圓心aii=ajj,(i≠j)變換后的距離為2|paij|，其中P表示第i行的p倍(p≠0)加到第j行的初等變換矩陣，即

證明顯然，P為可逆矩陣.令B=PAP-1，簡單計算可知，變換后矩陣B的第i,j個對角元素分別為：bii=aii-paij和bjj=ajj+paij，|bii-bjj|=2|paij|，證畢.

下面對具體變換時的情況進行一些討論.

(1)不難看出，若aij≠0，則變換前重疊的兩個圓心aii=ajj,(i≠j)被反向平移了，對應新的兩個圓盤圓心分別為bii=aii-paij和bjj=ajj+paij.但若aii=0，則上述方法失效，此時若aij≠0，則可考慮對AT進行以上變換.

(3)兩個圓心被反向平移的距離為|bii-bjj|=2|paij|，與參數p相關，取值過大容易平移太多而與其它圓盤相交，取值過小又會平移不夠而影響分離效果.合理的取值對分離效果有積極作用，變換時應結合矩陣自身特點進行選取.如考慮如下矩陣

從而得到矩陣的特征值包含在如下四個圓盤的并集中：G1={z:|z-1.9|≤0.1}，G2={z:|z-2.1|≤0.2}，G3={z:|z-1|≤0.2}，G4={z:|z|≤0.3}.圓盤G1與G2圓心已經分離，但兩個圓盤尚未分離.圓盤G3和G4獨立，各含一個特征值.此時可考慮適當增大p的取值，如p=2，則得到

下面，我們給出使重疊圓盤分離的一個充分條件：

證明計算矩陣B=PAP-1的第i行和第j行的元素即得.

注2 如需得到更精確的分布區域，還可將多種方法得到的分布區域取交集，由此能進一步縮小特征值分布范圍.

3 數值算例

最后給出幾個數值算例說明上述方法的有效性.