“赤道式日晷法”繪制太陽周日視運動軌跡圖

李小東

（浙江省寧波市效實中學, 浙江 寧波 315012）

日晷是利用太陽投射的影子來測定時刻的一種計時裝置，由晷針和晷面組成，置于基座或地面上。日晷種類很多，按晷面的擺放角度，可分為地平式、垂直式、赤道式等，其中赤道式日晷（晷面與地球赤道平行）最重要、最經典也最常見。筆者所在學校建有赤道式日晷，筆者帶領學生對其開展研習，在探究了日晷如何計時、為什么能計時的原理，驚嘆古人的高超智慧之余，“反觀”日晷的工作過程，追根溯源，繪制太陽周日視運動軌跡圖，簡稱為“赤道式日晷法”。此法有助于提升核心素養，突破地球運動的難點知識——太陽升落方位、正午太陽高度和晝夜長短變化規律。本文所述日晷均指赤道式日晷。

一、識日晷 析原理 悟真諦

1.觀測日晷構成（見表1）

表1 日晷的構成

2.探究日晷原理

下圖為日晷工作原理示意圖，據圖完成下列探究活動（見圖1、圖2、圖3）。

圖1 北半球日晷

圖2 二分二至日日晷日照圖

圖3 南半球日晷

(1)根據圖1歸納日晷的特點（見圖4）

圖4 日晷特點梳理

(2)日晷為什么能比較準確地測定時刻（見圖5）

圖5 日晷準確測定時間原理梳理

(3)晷面刻度有何異同，何時使用朝北面、何時使用朝南面測定時刻

直線箭頭分別表示二分二至日太陽光線（見圖2）。由于太陽直射點在南北回歸線之間運動，二分日，太陽直射赤道，太陽光線與晷面平行，理論上該日晷面南北兩面均可使用；春分—夏至—秋分，太陽直射點在赤道和23.5°N之間，太陽平行光從晷面北側照射，晷針日影落在晷面的朝北面上，以此計時；秋分—冬至—春分，太陽直射點在赤道和23.5°S之間，太陽平行光從晷面南側照射，晷針日影落在晷面的朝南面上，以此計時。

(4)日晷在南半球能用嗎

晷針的傾角等于當地緯度，晷針一端指地另一端指向正南天空（見圖3）。由此類推，日晷在赤道，晷針與地平面經線平行，一端指向正北，另一端指向正南，晷面垂直于地平面；日晷在極點，晷針垂直于地平面，晷面平行于地平面。

3.感悟日晷真諦

(1)日晷的工作原理得益于“兩個平行”

晷針與地軸平行——將由于地球自轉而產生的太陽周日視運動，轉變為晷針日影的轉動：在晷面的朝北面上順時針轉動，朝南面上逆時針轉動；北極點上順時針轉動，南極點上逆時針轉動。

晷面與赤道平行——兼顧了太陽直射點的南北回歸運動，保證日晷全球可用，全年可用（春分—夏至—秋分，在晷面的朝北面上計時；秋分—冬至—春分，在晷面的朝南面上計時）。顧名思義，赤道式日晷的“核心奧秘”是晷面與赤道平行。

(2)日晷的安裝擺放得益于“兩個垂直”

實際安放日晷時赤道和地軸看不見摸不到。當地和地心的連線與當地地平面垂直、晷針與晷面垂直，故安放日晷時，讓晷針傾角等于當地緯度，北半球晷針指向正北天空，南半球晷針指向正南天空，赤道上晷針一端指向正北一端指向正南，極點上晷針垂直地平面，如此即可實現上述“兩個平行”。

(3)辯證思維——日晷的“缺憾”

①夜晚不能使用，陰雨天不能使用。

②所測的地方時不便于各地區統一使用，特別是在經度相差大的地區間。

(4)抽象思維——“簡化的地球縮影”

晷針即“地軸”，晷面即“赤道”，晷針與晷面的交點即“地心”，從而巧妙地應用地球運動的相關知識，使其發揮“計時器”的作用。事實上，若在以地球為球心、以無限遠為半徑的“天球”背景下來看，地球的地軸與日晷的晷針，地球的赤道與日晷的晷面已然“融為一體”。

二、借日晷 拓思維 畫軌跡

1.用日晷，定方位

如前所述，晷針指示南北方向（極點上晷針垂直地平面指向天頂）。由于晷針與晷面垂直，過晷面圓心沿晷面的水平延長線則指示東西方向，即晷面刻度“6”指向正西，刻度“18”指向正東（見圖6）。

圖6 用日晷定方位

2.“追太陽”，畫軌跡

連接太陽與晷面圓心，根據晷針的日影反方向“追太陽”，在天空中“畫”出太陽運動軌跡（見圖4）。

3.歸納太陽視運動與日晷的關系

（2）因為晷面與地球赤道平行，由圖2可知，太陽光線與晷面的夾角“一日不變”等于太陽直射點的緯度太陽視運動軌跡與晷面平行。

4.“赤道式日晷法”繪制太陽周日視運動軌跡圖

根據當地緯度“創建”一個“赤道式日晷”，結合太陽直射點緯度，便可繪制某地某日太陽周日視運動軌跡圖。具體步驟如下。

第一步，繪制當地天穹（即當地地平面之上的半球形天空）（見圖7）。

圖7 當地天穹

第二步，根據緯度，“創建”當地“赤道式日晷”（見圖8、圖9）。若該地位于北半球，在圓弧AN上找一點Z，連接OZ，使∠NOZ=當地緯度φ，OZ即“晷針”；過O點作OZ的垂線OF與圓弧AS交于F點；連接半圓弧EFW，半圓面EFWO即“晷面”（半個），半圓弧EFW即二分日該地太陽周日視運動軌跡，此日太陽從E（正東）升起，從W（正西）落下。同理繪制南半球“赤道式日晷”（見圖9）。若該地位于赤道，則NOS為“晷針”，半圓面EAWO為“晷面”（半個）。若該地位于極點，則AO為“晷針”，地平面為“晷面”。

圖8 北半球“赤道式日晷”

圖9 南半球“赤道式日晷”

第三步，根據太陽直射點的緯度，繪制該日太陽周日視運動軌跡圖（見圖10、圖11）。當太陽直射點在赤道和23.5°N之間，在圓弧NF上找到點M，連接OM，使∠MOF=太陽直射點緯度δ（見圖10）；當太陽直射點在赤道和23.5°S之間，在圓弧SF上找到點M'，連接OM'，使∠M'OF=太陽直射點緯度δ（見圖11）。過M、M'做與半圓面EFWO平行的平面，此平面與天穹的交線即太陽直射北緯δ度、南緯δ度時太陽周日視運動軌跡。若該日未極晝，太陽周日視運動軌跡與地平面相交，交點即日出日落點。若該日極晝，太陽周日視運動軌跡為地平面上方的圓圈，日出日落點重合于圓弧NAS上。若該日極夜，太陽視運動軌跡位于地平面之下。

圖10 北半球太陽周日視運動軌跡

圖11 南半球太陽周日視運動軌跡

5.學以致用——繪制下列地區二分二至日太陽周日視運動軌跡圖（見圖12至圖24）

圖12 10°N地區二分二至日太陽周日視運動軌跡圖

圖13 23.5°N地區二分二至日太陽周日視運動軌跡圖

圖14 40°N地區二分二至日太陽周日視運動軌跡圖

圖15 10°S地區二分二至日太陽周日視運動軌跡圖

圖16 23.5°S地區二分二至日太陽周日視運動軌跡圖

圖17 40°S地區二分二至日太陽周日視運動軌跡圖

圖18 66.5°N地區二分二至日太陽周日視運動軌跡圖

圖19 75°N地區二分二至日太陽周日視運動軌跡圖

圖20 北極點二分二至日太陽周日視運動軌跡圖

圖21 66.5°S地區二分二至日太陽周日視運動軌跡圖

圖22 75°S地區二分二至日太陽周日視運動軌跡圖

圖23 南極點二分二至日太陽周日視運動軌跡圖

圖24 赤道地區二分二至日太陽周日視運動軌跡圖

三、用軌跡 破難點 提素養

運用“赤道式日晷法”繪制太陽周日視運動軌跡圖對突破太陽視運動軌跡教學難點具有重要意義。

1.有助于突破地球運動的難點知識

由圖10、圖11可知，太陽周日視運動軌跡是“平行”于“晷面”（EFWO）的一系列圓弧（或圓圈）。“晷針”（OZ）垂直于這些圓弧并通過他們所在圓的圓心。隨著緯度φ（“晷針”傾角）的變化以及太陽直射點的緯度δ（即∠MOF和∠M'OF）變化，M和M'在圓弧NAS上移動致使正午太陽高度相應變化；C、L、C'、L'分別在E與N、W與N、E與S、W與S之間移動致使太陽升落方位相應變化；圓弧CML和圓弧C'M'L'的弧度（而非弧長）變化致使晝長變化。北半球（見圖10），若C、L重合于N或NZ之間，圓弧CML變為圓圈，形成極晝，太陽最低點位于正北地平面（N）或正北天空（NZ之間），若M'與S重合或位于S之下，形成極夜，太陽最高點位于正南地平面（S）或S之下。南半球（見圖11）反之。具體規律如下。

(1)太陽升落方位

二分日，太陽從正東（E）升起正西（W）落下。

春分—夏至—秋分規律：①全球無極晝極夜地區太陽從東北（C）升起西北（L）落下，太陽直射點越北，日出日落方位角（∠EOC和∠WOL）越大，即東偏北和西偏北的度數越大；緯度位置越北（北半球緯度越高，南半球緯度越低），日出日落方位角越大。②北半球緯度大于等于直射點余角度數地區（北極點除外）出現極晝，太陽從正北升起正北（N或NZ之間）落下。北極點極晝，視運動軌跡平行地平面，太陽高度角全天相同，等于太陽直射點的緯度數。③南半球緯度大于等于太陽直射點余角度數地區出現極夜，太陽視運動軌跡位于地平面之下。

秋分—冬至—春分規律，反之。

日出日落方位角的具體度數可由公式：α=arcsin(sinδ/cosφ)計算，[1]φ為當地緯度，δ為太陽直射點緯度，證明過程略。

(2)正午太陽高度和方位

對北半球而言（見圖10），在半圓弧NAS上，M越靠近A，正午太陽高度越大，與A重合時為90°，該地該日被直射；M'離A越遠，正午太陽高度越小，冬至日∠M'OF=23.5°達最大，正午太陽高度角∠M'OS最小。規律是：①23.5°N～北極點地區，正午太陽高度在冬至日最小，夏至日最大，全年無極夜時正午太陽位于正南天空（AS之間），極夜時位于正南地平面之下；②赤道～23.5°N地區，正午太陽高度在冬至日最小，被直射日最大。被直射日正午太陽位于天頂，被直射日與夏至日之間，正午太陽位于正北天空（AN之間），被直射日與冬至日之間，正午太陽位于正南天空（AS之間）。南半球（見圖11），反之。

(3)晝夜長短變化

圓弧CML的弧度在圖10中大于180°，在圖11中小于180°，圓弧C'M'L'相反。可見，太陽直射點在哪個半球，該半球晝長夜短，緯度φ越高，晝越長夜越短，緯度大于等于直射點余角度數的地區出現極晝。另一半球反之。對北半球而言，圓弧CML的弧度大于圓弧C'M'L'（見圖10），即夏半年晝長大于冬半年。赤道～66.5°N地區，夏至日晝最長（夜最短）冬至日晝最短（夜最長）；66.5°N～北極點地區，極晝時段晝最長極夜時段晝最短。南半球（見圖11）反之。

二分日全球晝夜等長，赤道上全年晝夜等長。

2.有助于厘清幾個易錯點

易錯點①“赤道地區太陽都是正東升正西落”，圖24已給出正解。

易錯點②“太陽直射日正午太陽高度最大，晝長也最大”。若過天頂A畫太陽視運動軌跡CAL，正午太陽高度雖達到最大90°，然而圓弧CAL的弧度并未最大，還是小于夏至日（見圖12）。

易錯點③“太陽位于正東方，地方時6點”或“地方時6點，太陽位于正東方”。顯然只有二分日成立。若連接AE弧線與圓弧CM相交，此交點即該日太陽在正東方天空的位置；由于圓弧CML與地平面傾斜，此交點與M之間的弧度小于90°，其地方時數值大于6（見圖10）。極點上也不成立，理論上從北極點往四周都是南，南極點往四周都是北。

3.有助于提升核心素養

通過對校園日晷的觀測分析、抽象提煉，并動手繪制相關立體圖像，有助于提升學生的地理實踐力。整個學習過程綜合運用所學地理知識和相關立體幾何知識，訓練學生的綜合思維。繪制不同緯度地區太陽周日視運動軌跡圖，并分析太陽升落方位、晝長變化規律等，有助于加深學生在全球尺度下的區域認知。日晷可以說是“順天時應地利”的杰作，通過對日晷的深入分析，師生驚嘆于古人高超的智慧，增強人地協調觀。

特別說明，本文主要探討地平面之上的太陽周日視運動軌跡。若將天底畫出，每天的太陽視運動軌跡都是圓圈。由于太陽直射點一直在移動（并非在某個緯度停留一天），太陽周日視運動軌跡實際上不完全與日晷面平行，而是類似于彈簧一樣的“螺旋線”。[2]只是“誤差”很小，暫且“忽略不計”。