對掛鉤模型的深度思考

王 銀 楊天才

(1.安徽省壽縣一中 2.重慶市大學城第一中學校)

為了形象、簡捷地處理物理問題,人們經常把復雜的實際情況轉化成一定的容易接受的簡單的物理情境,從而形成一定的經驗性的規律,即建立物理模型.高考試題體現了考試作為教育的重要手段和必要環節,對中學教學有一定的導向作用.本文以2017年高考天津卷第8題為切入口,歸納總結掛鉤模型的特點,并通過對同類模型的進階拓展,深度解析其物理本質,提升學生的物理學科核心素養.

2 思維鏈條

2.1 模型呈現

例1(2017年天津卷)如圖1所示,輕質不可伸長的晾衣繩兩端分別固定在豎直桿M、N上的a、b兩點,懸掛衣服的衣架鉤是光滑的,掛于繩上處于靜止狀態.如果只人為改變一個條件,當衣架靜止時,下列說法正確的是( ).

圖1

A.繩的右端上移到b′,繩子拉力不變

B.將桿N向右移一些,繩子拉力變大

C.繩的兩端高度差越小,繩子拉力越小

D.若換掛質量更大的衣服,則衣服架懸掛點右移

解析對衣架鉤受力分析如圖2所示,設繩與水平方向的夾角為θ,由平衡條件知2FTsinθ＝mg,則.設繩子總長為L,衣架兩側繩長為L1、L2,兩桿間距離為d,根據幾何關系有L1cosθ＋L2cosθ＝d,得cosθ＝.繩的右端上移到b′,L、d、衣服及掛鉤的重力mg都不變,則繩子張力FT也不變,選項A 正確;桿N向右移動一些,d變大,FT變大,選項B正確;繩的兩端高度差無論如何變化,不影響d和L,所以FT不變,選項C 錯誤;衣服質量增加,繩子上的拉力增加,由于θ不變,則衣服懸掛點不變(不會右移),選項D 錯誤.

圖2

通過對例題的分析,總結出光滑掛鉤模型的特點:1)成立的條件:不計一切摩擦且系統處于平衡狀態;2)由,兩繩與水平方向的夾角(相同)僅與兩桿間距、繩總長有關,與懸掛物重力、繩中張力、懸掛點(確定)位置無關;3)由知,繩中張力大小處處相等且僅與懸掛物重力、兩桿間距、繩總長有關,與繩子左右結點的高度差無關,當繩兩端點水平距離增加(或減小)時,由于繩長不變,故繩與豎直方向的夾角增大(或減小);4)懸掛點的位置僅與兩桿間距、繩總長、繩端固定點有關,與懸掛物重力、繩中張力無關;5)光滑掛鉤其作用相當于輕動滑輪,還可等效為光滑釘子、輕圓柱體等.

2.2 模型應用

根據掛鉤模型的特點,可以設置與模型相關的比較大小、臨界條件、動態變化等基本問題.

例2如圖3所示,一光滑輕繩左端固定在豎直桿頂端,其右端系于一光滑圓環上,圓環套在光滑的矩形支架ABCD上.現將一物體用輕質光滑掛鉤懸掛于輕繩之上,若使光滑圓環沿著ABCD方向在支架上緩慢地順時針移動,圓環在A、B、C、D四點時,繩上的張力分別 為Fa、Fb、Fc、Fd,則( ).

圖3

A.Fa＜FbB.Fb＞Fc

C.Fc＞FdD.Fd＞Fa

解析根據前文結論,圓環沿AB方向和CD方向移動時,張力均不變,即Fa＝Fb,Fc＝Fd,選項A、C錯誤;沿BC方向移動時,作用點間距增大,張力增大,即Fb＜Fc,Fd＞Fa,選項D 正確.

點評本題與模型結論十分吻合,解決此類問題時,首先要通過受力分析,掌握其受力特點,建立正確的物理模型,再根據相關結論求解.

例3如圖4所示,將一根輕而柔軟的細繩一端拴在天花板上的A點,另一端拴在墻壁的B點,A和B到O點的距離相等,繩的長度是OA的兩倍,在一質量可忽略的動滑輪K的下方懸掛一質量為m的重物,摩擦力可忽略.現將動滑輪、重物一起掛到細繩上,在達到新的平衡時,繩中拉力為多大?B點沿墻壁向O點緩慢移動過程中,繩中拉力最小值為多大?

圖4

解析由前文結論知.如果此時將B點沿墻壁向O點緩慢移動,F不變,拉力最小值為

點評本題要求定量計算繩中張力的大小和張力的極值,是模型的具體應用.

例4如圖5所示,以水平直桿AB的中點O為轉軸,一輕繩跨過輕質滑輪,兩端分別固定在A、B兩點,滑輪通過另一根輕繩連接一重物,不計滑輪與輕繩之間的摩擦.現讓直桿AB繞O逆時針緩慢轉過角度θ(θ＜90°),輕繩的張力( ).

圖5

A.逐漸減小 B.逐漸增大

C.先增大后減小 D.先減小后增大

解析直桿AB繞O逆時針緩慢轉過角θ(θ＜90°)的過程中可認為重物處于平衡狀態,因間距減小,輕繩的張力逐漸減小,選項A 正確.

點評本題在原有模型基礎上,增加了靜力學的動態平衡背景,因兩個分力的大小和方向都在改變,這里不能用求解動態平衡問題的矢量三角形法和相似三角形法判斷,要求學生在解題時整合必備知識,以此提升關鍵能力.

2.3 模型拓展

掛鉤模型的成立條件是不計一切摩擦且系統處于平衡狀態,如果晾衣繩粗糙、“活結”變“死結”、有外力作用、系統處于加速狀態等,其結論有何不同呢?

例5如圖6所示,輕質不可伸長的晾衣繩兩端分別固定在豎直桿M、N上的a、b兩點,a點比b點低,晾衣繩粗糙,懸掛衣服的衣架鉤在晾衣繩中點和在桿M、N中間位置時都不滑動.衣架靜止,下列說法正確的是( ).

圖6

A.衣架鉤在晾衣繩中點時,左右兩邊繩子拉力大小相等

B.衣架鉤在晾衣繩中點時,右邊繩子拉力小于左邊繩子拉力

C.衣架鉤在桿M、N中間位置時,左右兩邊繩子拉力大小相等

D.衣架鉤在桿M、N中間位置時,右邊繩子拉力大于左邊繩子拉力

解析設a到節點的高度為h1,b到節點的高度為h2,節點到M的水平距離為x1,節點到N的水平距離為x2,a端繩子和水平方向的夾角為α,b端繩子和水平方向的夾角為θ,對繩子節點進行受力分析,如圖7所示.當衣架鉤在晾衣繩中點時,設a、b到節點繩子長度為L,根據幾何關系有

圖7

因為h1＜h2,可 得α＜θ,根據平衡條件有Facosα＝Fbcosθ,可得,選項A、B錯誤;衣架鉤在桿M、N中間位置時,根據幾何關系有

因為h1＜h2,可得α＜θ,根據平衡條件有Facosα＝Fbcosθ,可得,Fa＜Fb,選項C錯誤,選項D 正確.

點評本題涉及繩受摩擦力問題,是模型的進階拓展.原有模型(“活結”)的結論要重新進行修正(“死結”),不能直接套用結論.對懸掛物進行正確的受力分析、正交分解,最后利用力的平衡條件列方程求解是關鍵.如果把重物(衣服)換成其他質點(如雜技演員),只要是在摩擦力作用下系統處于靜止狀態,新結論依然成立.

例6如圖8 所示,輕質不可伸長的晾衣繩兩端分別固定在兩根豎直桿上,A端高于B端,繩上掛有一件衣服,為防止滑動,將懸掛衣服的衣架鉤固定在繩上,當固定在適當位置O處時,繩子兩端對兩桿的拉力大小相等.則( ).

圖8

A.繩子OA段與豎直桿夾角比OB段與豎直桿夾角大

B.O點位置與衣服重力有關,衣服重力越大,O點離B端越近

C.若衣架鉤固定在繩子上中點處,則繩子兩端對桿的拉力大小仍然相等

D.若衣架鉤固定在繩子上中點處,則繩子A端對桿的拉力大于B端對桿的拉力

解析設左、右兩段繩的拉力大小分別為F1、F2,左、右兩段繩與豎直方向的夾角分別為α、β,根據水平方向受力平衡可得F1sinα＝F2sinβ,由于F1＝F2,故α＝β,選項A 錯誤;根據上面的方程可知,O點的位置取決于繩長和兩桿間的距離,與衣服重力無關,選項B錯誤;若衣架鉤固定在繩子的中點處,由于桿A高于桿B,即α＞β,結合F1cosα＝F2cosβ,可得F1＞F2,選項C錯誤,選項D 正確.

點評本題因懸掛點固定,相當于“死結”模型,結論與例5相似,例5和例6學生易與不打結的繩混淆而認為繩上的拉力始終相等,要求學生對具體問題要具體分析.

例7如圖9 所示,一根不可伸長的長為L的輕繩兩端分別固定在間距為d的兩豎直桿的P點和Q點上,晾衣架上掛著濕衣服,衣架上的鉤掛在輕繩上可來回自由滑動.若忽略衣架掛鉤與輕繩間的摩擦,則下列說法正確的是( ).

圖9

A.在濕衣服上的水滴下落過程中,輕繩中的張力不斷減小

B.衣服不滴水時,將P點稍向上移動,則輕繩中的張力增大

C.衣服不滴水時,將左側豎直桿稍向左移動,則輕繩中的張力減小

D.衣服不滴水時,刮起了向左的風,若風力大小恒定,再將P點稍向上移動,輕繩中的張力將增大

解析由前文結論,濕衣服上的水滴下落過程中,衣服重力mg減小,則輕繩中的張力不斷減小,選項A 正確;衣服不滴水時,將P點稍向上移動,輕繩中的張力不變,選項B錯誤;衣服不滴水時,將左側豎直桿稍向左移動,輕繩中的張力增大,選項C 錯誤;衣服不滴水時,刮起了向左的風,若風力大小恒定,此時兩段輕繩的拉力的合力方向偏向右上方,如圖10所示,由于重力和向左的風力的合力大于衣服的重力,所以此時細繩拉力增大;再將P點稍向上移動,相當于增大了兩根桿之間的距離,即距離由d′變為d″,則輕繩中的張力增大,選項D 正確.

圖10

點評本題在原模型基礎上,繼續改變條件創設新情境,使懸掛物受到水平恒力(外力)的作用,需要學生根據原有相關的解題方法來解決新問題.

2.4 模型升華

物理問題源自“原汁原味”的自然現象和實際生活,前面的例題都是原模型及其拓展的理論推導.那這一模型可以用實驗檢驗嗎?

例8為了研究人們用繩索跨越山谷過程中繩索拉力的變化規律,同學們設計了如圖11所示的實驗裝置.他們將不可伸長輕繩的兩端通過測力計(不計質量及長度)固定在相距為D的兩立柱上,固定點分別為P和Q,P低于Q,繩長為L(L＞PQ).他們首先在繩上距離P點10cm處(標記為C)系上質量為m的重物(不滑動),由測力計讀出PC、QC的拉力大小FTP、FTQ.隨后,改變重物懸掛點C的位置,每次將P到C的距離增加10cm,并讀出測力計的示數,最后得到FTP、FTQ與繩長PC的關系曲線,如圖12所示.由實驗可知,曲線Ⅰ、Ⅱ相交處,可讀出繩的拉力為FT0＝________N,它與L、D、m和重力加速度g的關系為FT0＝________.

圖11

圖12

解析兩曲線的交點表示左右的繩拉力大小相等,讀出縱坐標為FTP＝FTQ＝4.30 N.設CQ繩與立柱的夾角為θ,延長CQ線交另一立柱上,構成直角三角形,則,由力的平衡可知2FT0cosθ＝mg,則.

點評本實驗題是對模型一次升華,讓學生回歸實際生活,讓學生明白我們所做的習題不是抽象的、虛無縹緲的,而是實際的、具體的問題.

掛鉤模型是相互作用章節中一類重要的物理問題,是力的平衡問題的典型代表,也是學生學習的重點、難點、痛點.本模型還是現實生活中客觀存在的物理現象,讓不同層次的學生參與課堂習題解決,促進他們基于真實情境探究問題,發展其問題解決能力和物理學科核心素養.

(完)