2022年高考湖北卷物理壓軸題探析和拓展研究

黃尚鵬

(湖北省監利市實驗高級中學)

1 對原題的分析與解答

例(2022年高考湖北卷第16題)打樁機是基建常用工具.某種簡易打樁機模型如圖1 所示,重物A、B和C通過不可伸長的輕質長繩跨過兩個光滑的等高小定滑輪連接,C與滑輪等高(圖中實線位置)時,C到兩定滑輪的距離均為L.重物A和B的質量均為m,系統可以在如圖1 虛線位置保持靜止,此時連接C的繩與水平方向的夾角為60°.某次打樁時,用外力將C拉到圖中實線位置,然后由靜止釋放.設C的下落速度為時,與正下方質量為2m的靜止樁D正碰,碰撞時間極短,碰撞后C的速度為零,D豎直向下運動距離后靜止(不考慮C、D再次相碰).A、B、C、D均可視為質點.

圖1

(1)求C的質量;

(2)若D在運動過程中受到的阻力F可視為恒力,求F的大小;

(3)撤掉樁D,將C再次拉到圖中實線位置,然后由靜止釋放,求A、B、C的總動能最大時C的動能.

解析(1)設C的質量為M,系統在如圖1 虛線位置保持靜止時,對C物體受力分析如圖2所示,由平行四邊形定則和平衡條件得Mg＝2mgsin60°,解得

圖2

(2)設C的下落速度為v0＝時,與正下方質量為2m的靜止樁D正碰后,樁D獲得的速度為v,選向下為正方向,由動量守恒定律得Mv0＝2mv,解得v＝

(3)如圖3所示,將C由靜止釋放后,設連接C的繩與水平方向的夾角為θ時,下落的高度為h,由機械能守恒定律可知,當系統的總動能最大時,系統的總勢能最小,系統勢能減少最多,下面我們用三種方法尋找系統總動能最大時的位置.

圖3

方法1選θ為自變量,系統的總動能

方法2選h為自變量,系統的總動能

要使系統的總動能最大,對Ek總求導,并令導數為零,得

方法3根據重力做功與重力勢能變化的關系WG＝－ΔEp可知,當系統的重力做正功時,系統的重力勢能減少,當系統的重力做負功時,系統的重力勢能增加,故當系統的重力總功率為零時,系統勢能取極值,或者對系統應用動能定理,當系統的合外力做功最多時,系統的總動能增加最多,故當系統的重力總功率為零時,系統的總動能最大,設此時A物體的速度為vA,C物體的速度為vC,則2mgvA＝MgvC,即

如圖4所示,根據繩連接體關聯速度的特征可知,A、C兩物體在沿繩方向的分速度相等,即

圖4

由式①②同樣得到θ＝60°,說明系統在靜止時的平衡位置總動能最大.

當θ＝60°時,由方法1可知

小結1)本題以打樁機為情境,通過繩連接體模型,綜合考查動量守恒定律、機械能守恒定律和動能定理等主干知識,是一道典型的考查動量與能量的綜合題.本題第(1)問考查三力平衡模型,第(2)問借助碰撞模型考查動量守恒定律,借助木樁的減速運動過程考查動能定理的應用(當然也可運用運動學公式和牛頓第二定律聯立求解),這兩問都很基礎,不偏不怪.第(3)問難度較大,第一步需要尋找系統總動能最大時的位置,常規思路是根據機械能守恒定律得出系統總動能的表達式,然后利用數學工具求極值,考查利用數學知識解決物理問題的能力.方法1和方法2都利用了導數工具,根據一階導數為零求出極值出現的位置.方法1選θ為自變量,根據三角函數的導數公式求解;方法2選h為自變量,根據復合函數的導數公式求解;方法3是純物理解法,根據“系統的重力總功率為零時系統的總動能最大”這一條件巧解,屬于特殊快捷解法,要求考生具備敏銳的洞察力,一般考生難以想到.第(3)問第二步要求學生利用繩連接體關聯速度知識求解,即根據“兩物體在沿繩方向的分速度相等”這一特征求解.由于左右兩邊都有繩拉著C物體,學生容易錯誤地認為A、B兩物體速度矢量合成即為C物體的速度,這就要求教師在平時的教學中講清楚繩連接體關聯速度分解的原理,否則學生容易死記結論并且想當然地犯下錯誤.

2)在第(3)問第一步中,我們已經得出系統在靜止時的平衡位置總動能最大,這是一種巧合還是必然呢? 其實理論力學中根據分析力學原理可得出這樣一個基本結論——保守力學體系在系統的平衡位置勢能取極值.本題就是根據這一結論改編而成的,即系統在靜止時的平衡位置勢能最小,總動能最大,這是一種必然的結果.為進一步理解這一思想,我們再看一個典型例子.如圖5 所示,一半徑為R的光滑大圓環固定在水平面上,其最高點為A,另一質量為m的中心有孔的光滑小球套在大圓環上.一原長為l0(l0＜2R)、勁度系數為k的輕質彈簧一端固定于A點,另一端系在小球上.求小球靜止時,彈簧與豎直方向的夾角θ.

圖5

我們知道如果一個力所做的功與具體路徑無關,這種力叫作保守力.在保守力場中,保守力所做的功等于勢能的減少.保守力學體系處于平衡狀態時勢能取極值,根據系統勢函數一階導數為零,可得出系統在保守力以及約束力等作用下的平衡位置,因此此平衡問題也可用能量的觀點求解.如圖6所示,選最高點A所在的水平面為重力勢能參考面,則系統的勢函數

圖6

以θ為自變量,對勢函數求一階導數,并令導數為零,尋找平衡位置,即＝4mgRsinθcosθ－2kR(2Rcosθ－l0)sinθ＝0,解得

為驗證上述解法是否正確,不用能量的觀點求解本題.如圖7所示,對小球受力分析,由三力平衡和幾何關系得

圖7

2 對原題的拓展研究

拓展1求C物體由靜止釋放后能夠下落的最大高度.

拓展2求C物體由靜止釋放后能夠獲得的最大速度.

【分析與解答】這種情況學生容易錯誤地認為在系統靜止時的平衡位置,即θ＝60°時,C物體速度最大.產生這種錯誤認識的根本原因是學生認為當C物體的加速度為零時,C物體速度最大,此時A物體的加速度也為零,A物體也達到最大速度,即認為在運動過程中兩物體的加速度同時為零,兩物體同時達到最大速度,這是一種非常典型的錯誤認識.其實根據關聯速度方程vA＝vCsinθ可知,當C物體速度最大時,C物體的加速度為零,可認為在此時刻附近的微小時間間隔內,C物體勻速運動,但隨著θ的增大,sinθ增大,A物體會繼續加速,即物體A的加速度還沒有到零.運動過程中兩物體的加速度不是同時為零,兩物體不是同時達到最大速度,故系統靜止時的平衡位置和運動過程中三個物體的瞬時平衡位置并不重合.那么,C物體在什么位置速度最大呢?

由系統機械能守恒ΔEp減＝ΔEk總,得

圖8

為了深刻理解在運動過程中兩物體的加速度不是同時為零,下面我們從物理的角度推導出C物體速度最大時角度θ滿足的方程.

首先推導繩連接體關聯加速度方程,這是解決上述問題的關鍵.

如圖9 所示,假設A物體的加速度為aA,以向上為正方向;C物體的加速度為aC,以向下為正方向.將aC沿繩方向和垂直于繩方向正交分解,得C物體沿繩方向的加速度為

圖9

同樣將C物體的速度分解為沿繩方向的分速度v∥＝vCsinθ和垂直于繩方向的分速度v⊥＝vCcosθ,其中v∥使定滑輪右邊繩子伸長,所以v∥＝vA,而v⊥使C物體隨繩子繞定滑輪轉動.下面分析這兩個分速度變化在沿繩方向引起的加速度.

若只考慮C物體沿繩方向的運動,則C物體沿繩方向的加速度a1＝aA,方向背離定滑輪,此加速度是沿繩方向的分速度v∥的大小變化引起的;若只考慮C物體隨繩子繞定滑輪的轉動,則C物體沿繩方向的加速度,即C物體做圓周運動的向心加速度

方向指向定滑輪,此加速度是垂直于繩方向的分速度v⊥的方向變化引起的,故C物體沿繩方向的加速度

聯立式②③得繩連接體關聯加速度方程為

由式④可知,當C物體的加速度aC＝0時,C物體速度vC最大,但A物體的加速度0,此時繩子的拉力FT不等于A物體的重力mg,因此在運動過程中兩物體的加速度不是同時為零,兩物體不是同時達到最大速度.另外根據繩連接體關聯加速度方程可知,對于繩或桿在轉動的連接體,沿繩或桿方向的加速度分量并不相等,這與繩或桿連接體關聯速度的特征有本質的不同.

對A物體,由牛頓第二定律得

對C物體,由牛頓第二定律得

當C物體速度最大時,C物體的加速度

聯立式①④⑤⑥⑦,得C物體速度最大時角度θ滿足的方程為

極值點方程⑧是一個三角函數高次方程,求出C物體速度最大時的角度θ是很困難的.同樣,為了避免不必要的麻煩而直觀地得出結論,下面我們仍然利用函數圖像生成器Desmos來求解速度最大時對應的角度,即求極值點方程⑧的數值解.

利用Desmos軟件得到f(θ)-θ和g(θ)-θ的圖像如圖10所示.

圖10

由圖像可知,兩函數f(θ)和g(θ)的圖像的交點的橫坐標θ≈0.77rad≈44.1°,這與由圖像得出的結果完全相符,從而驗證了極值點方程⑧的正確性,進而也驗證了繩連接體關聯加速度方程④的正確性,說明從物理的角度推導出C物體速度最大時角度θ滿足的方程的過程是完全正確的!

(完)