“誰(shuí)先到達(dá)”時(shí)間類(lèi)模型面面觀

鄭令元

(山東省濟(jì)南市章丘中等職業(yè)學(xué)校)

高中物理學(xué)習(xí)過(guò)程中,經(jīng)常會(huì)碰到一類(lèi)問(wèn)題,涉及的問(wèn)題情境為幾個(gè)物塊從不同的軌道上同時(shí)下滑,求哪個(gè)物塊先到達(dá)指定位置.為了更好地解答該類(lèi)試題,筆者對(duì)該類(lèi)試題加以概括和總結(jié),希望對(duì)讀者有所幫助.

1 等邊模型

模型背景1如圖1所示,三個(gè)相同的物塊在a、b、c三個(gè)光滑傾斜軌道頂端靜止釋放,a、b、c三個(gè)光滑傾斜軌道與水平面的夾角分別為60°、45°、30°,問(wèn)哪個(gè)物塊先到達(dá)底端?

圖1

解析設(shè)三個(gè)斜面的共同底邊長(zhǎng)度為L(zhǎng),任一斜面的長(zhǎng)為s,則,因斜面光滑,所以物塊做加速度a＝gsinθ的勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng).由公式得小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t＝.由三角函數(shù)知識(shí)得,當(dāng)θ＝45°時(shí),時(shí)間有最小值,為,即b物塊運(yùn)動(dòng)到底端時(shí)間最短.

模型背景2如圖2所示,三個(gè)相同的物塊在a、b、c三個(gè)光滑傾斜軌道頂端由靜止釋放,a、b、c三個(gè)光滑傾斜軌道與水平面的夾角分別為30°、45°、60°,問(wèn)哪個(gè)物塊先到達(dá)底端?

圖2

解析設(shè)三個(gè)斜面的共同高度為h,則任一斜面的長(zhǎng),因斜面光滑,所以小球做加速度a＝gsinθ的勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng).由,得小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

由三角函數(shù)知識(shí)得,θ越大,物塊下滑的時(shí)間越短,即c物塊運(yùn)動(dòng)到底端的時(shí)間最短.

例1(2021 年全國(guó)甲卷)如圖3所示,將光滑長(zhǎng)平板的下端置于鐵架臺(tái)水平底座上的擋板P處,上部架在橫桿上.橫桿的位置可在豎直桿上調(diào)節(jié),使得平板與底座之間的夾角θ可變.將小物塊由平板與豎直桿交點(diǎn)Q處由靜止釋放,物塊沿平板從Q點(diǎn)滑至P點(diǎn)所用的時(shí)間t與夾角θ的大小有關(guān).若角θ由30°逐漸增大至60°,物塊的下滑時(shí)間t將( ).

圖3

A.逐漸增大 B.逐漸減小

C.先增大后減小 D.先減小后增大

解析設(shè)PQ的水平距離為L(zhǎng),由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可知可得,可知θ＝45°時(shí),t有最小值,故當(dāng)θ由30°逐漸增大至60°時(shí)下滑時(shí)間t先減小后增大.答案為D.

例2如圖4所示,圓柱形的桶內(nèi)有三塊長(zhǎng)度不同的滑板AO、BO、CO,其下端都固定于底部圓心O,而上端則擱在桶側(cè)壁上,三塊滑板與水平面的夾角依次是37°、45°、53°.若有三個(gè)滑塊同時(shí)從A、B、C處開(kāi)始下滑(忽略阻力),則( ).

圖4

A.A、B處滑塊同時(shí)到O點(diǎn)

B.A處滑塊最先到O點(diǎn)

C.C處滑塊最先到O點(diǎn)

D.B處滑塊最先到O點(diǎn)

解析根據(jù)牛頓第二定律,可得滑塊在斜面上有mgsinθ＝ma,加速度a＝gsinθ.斜面的長(zhǎng)度則有

即tB＜tA＝tC,即滑塊從B下滑先到O點(diǎn),從A、C下滑同時(shí)到O點(diǎn).答案為D.

2 等時(shí)圓模型

模型背景如圖5 所示,一條光滑弦與水平方向的夾角為α,圓的直徑為d.物體沿光滑弦做初速度為零的勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng),加速度a＝gsinα,位移x＝dsinα,故運(yùn)動(dòng)時(shí)間t0＝,即沿同一起點(diǎn)或到達(dá)同一終點(diǎn)的各條光滑弦運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等,與弦的傾角、長(zhǎng)短無(wú)關(guān).

圖5

例3如圖6所示,有一半圓,其直徑水平且與另一圓的底部相切于圓心O點(diǎn),現(xiàn)有兩條光滑軌道AB、CD,兩軌道都經(jīng)過(guò)切點(diǎn)O,A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)分別位于上下兩圓周上,現(xiàn)讓一物塊先后從兩軌道頂端A、C由靜止下滑,經(jīng)O點(diǎn)至底端B、D,則物塊在兩段傾斜軌道下滑經(jīng)歷的時(shí)間關(guān)系為( ).

圖6

A.tAO＜tCOB.tAO＞tCO

C.tAB＞tCDD.tAB＝tCD

解析設(shè)AB與水平方向的夾角為θ,上邊的圓半徑為R,下面的半圓半徑為r,如圖7所示.由前文結(jié)論得tAO＝,所以tAO＝tCO.AB的長(zhǎng)度為L(zhǎng)＝2Rsinθ＋r,根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可得,解得

圖7

可見(jiàn),傾角越大,sinθ越大,滑塊下滑的時(shí)間越短,所以有tAB＞tCD,選項(xiàng)C 正確,選項(xiàng)D 錯(cuò)誤.答案為C.

3 單擺模型

模型背景在通常情況下,很多物體的運(yùn)動(dòng)模型可等效為單擺模型.等效單擺的周期公式可以廣義地表示為,式中l(wèi)′為等效擺長(zhǎng),g′為等效重力加速度.如果擺球的運(yùn)動(dòng)軌跡點(diǎn)是一小段圓弧,其軌道半徑R與等效擺長(zhǎng)l′相等,即l′＝R.

例4如圖8 所示,傾角為θ的斜面MN上的B點(diǎn)固定一光滑圓弧槽AB(對(duì)應(yīng)的圓心角小于10°),其圓心在B點(diǎn)正上方的O點(diǎn),另外,光滑斜面OC和OD的下端亦在MN上,讓可視為質(zhì)點(diǎn)的小球分別無(wú)初速度出發(fā),從A點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)的時(shí)間為tB,從O點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)的時(shí)間為tC,從O點(diǎn)到達(dá)D點(diǎn)的時(shí)間為tD.比較這三段時(shí)間,正確的是( ).

圖8

A.tB＝tC＝tDB.tD＞tC＞tB

C.tB＞tD＞tCD.tB＞tC＝tD

解析構(gòu)建等效單擺模型,由單擺運(yùn)動(dòng)的等時(shí)性可知,從A點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)的時(shí)間OD垂直于MN,由幾何知識(shí)可知OD與豎直方向夾角為傾角θ,則OD段為解得.分析可知OC與OB的夾角α小于θ,則OC段為,則tC＜tD,所以tB＞tD＞tC,故選項(xiàng)C 正確,選項(xiàng)A、B、D 錯(cuò)誤.答案為C.

總體來(lái)看,“誰(shuí)先到”時(shí)間類(lèi)題目,其實(shí)就是牛頓第二定律的應(yīng)用,要知道物體受力,再求物體的運(yùn)動(dòng).當(dāng)然,有些題目需要作適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)才能解答.

(完)