淺析等時圓模型

于彩娟

(山東省榮成市第二中學)

備戰高考的過程離不開物理模型的建構與應用.高中階段的物理模型主要有連接體模型、斜面模型、輕繩桿模型、碰撞模型、人船模型、彈簧振子模型、等時圓模型等.很多學生對物理模型不熟悉,對原理理解不透徹,必然影響模型的應用.下面我們簡單分析一下等時圓模型如何建構和應用.

1 明確模型原理,提升科學思維

下面我們通過證明其等時性來明確模型原理,即證明tAB＝tAC＝tAD.

圖1

要解決質點沿豎直面內的AB、AC、AD三條光滑弦由靜止下滑的時間問題,我們必須弄清質點的運動特征,先對兩圖進行分析,找出共同特征,從而找出解決方案,這也是證明的關鍵.

運動特征1)質點沿光滑弦下滑的本質就是質點沿光滑斜面下滑(構建斜面模型);2)質點的運動性質是初速度為零的勻變速直線運動;3)明確其運動性質之后可用動力學的解題思路來分析,即用牛頓第二定律求出加速度,再用運動學公式求出時間;4)找位移時要充分利用所有的弦都在同一個圓中,且圓的半徑是個定值這一條件.

證明作兩條輔助線(如圖2中虛線所示)構建斜面模型,設斜面AB傾角為θ,則∠ADB＝θ,設AB弦長為xAB,圓的半徑為R.由牛頓第二定律得

圖2

由幾何關系得

由運動學公式得

我們對質點沿這些不同軌道的下滑運動進行對比分析,歸納出共性的運動特征,在此過程中,學生的歸納、類比、推理等思維方法得到了提升,學生的科學思維得到培養.

2 充分認識模型特征,培養物理觀念

模型特征1)圓在豎直面內;2)弦是光滑的;3)質點自弦上端由靜止滑到弦底端;4)弦的一端一定是圓周的最低點或最高點;5)時間相等(如圖3所示,其中圖3-丙是圖3-甲等時圓和圖3-乙等時圓的一個組合).

圖3

【思考】如圖4所示,三個質點分別沿光滑豎直面內的軌道OA、OB、OC由靜止下滑,討論其時間關系時,是否可用等時圓模型直接得出tOA＝tOB＝tOC?

圖4

分析有部分學生想當然地認為是等時圓模型,三段時間都相等,這是不對的.我們在應用等時圓模型之前一定要將問題與等時圓模型特征逐一對照,對照后會發現與前文提到的模型特征4)不符合,所以不是等時圓模型,所以三段時間不相等.那這三段時間究竟是什么關系呢? 我們將在后面的例3中詳細分析并解答.

在高中物理的學習過程中經常要用到一些物理概念和物理規律,這些概念和規律會不斷在頭腦中被提煉和升華.實際上,認識等時圓模型特征和規律能很好地培養學生的物理觀念.

3 典型分析

例1如圖5所示,在豎直平面內有AM、BM、CM三條光滑固定軌道,其中A、C兩點處于同一個圓的圓周上,C是圓周上任意一點,A、M分別為此圓與x、y軸的切點.現將三個小球(可視為質點)分別從A、B、C點同時由靜止釋放,它們將沿三條軌道運動到M點,所用時間分別為tA、tB、tC,則( ).

圖5

A.tA＜tC＜tB

B.tA＝tC＜tB

C.tA＝tC＝tB

D.由于C點的位置不確定,無法比較時間大小關系

解析對照等時圓模型特征可知AM段和CM段是等時圓模型,所以,而B點在圓周以外,所以tA＝tC＜tB,選項B正確.

例2如圖6 所示,在半徑為R的圓弧AB上放置一光滑木板DB,一質量為m的小物體(可視為質點)在DB板的D端由靜止下滑,然后沖向水平面BC,在BC上滑行距離L后停下.不計小物體在B點的能量損失,已知小物體與水平面BC間的動摩擦因數為μ.求:小物體沿DB下滑過程中,重力做功的平均功率.

圖6

解析由動能定理得小物體從D到C過程中重力做的功,即WG－μmgL＝0,得WG＝μmgL.

本題的解題關鍵在于通過識別等時圓模型來求時間,光滑板DB的傾角未知,其位移和加速度無法求出,導致時間無法直接求出,但弦DB符合等時圓的特征,由等時圓特征可知小物體從D到B的時間等于物體從A點沿弦AB運動到B點(如圖7)的時間,即為,所以小物體沿DB下滑過程中,重力做功的平均功率

圖7

例3如圖8所示,O、A、B、C、D位于同一圓周上,C點為圓周最低點,OB、CD是圓的直徑,將三個質點從O點無初速度釋放,分別沿著豎直面三個光滑斜面OA、OB、OC下滑,求它們的時間關系.

圖8

解析本題不是等時圓模型,而求解的又是時間問題,我們可以試著構建等時圓.由于三個質點都從O點出發,所以可以讓O點成為等時圓的最高點,讓等時圓過B點,交OA于E點,交OC延長線于F點,顯然O點到B、E、F、G的時間是相等的,所以tOA＞tOB＞tOC.

在高中物理學習中,我們要想更好地建構物理模型并應用物理模型,首先應明確每個模型的基本原理,明確其中包含的基本概念和基本規律.實踐出真知,模型方法的精髓體現在建立模型的探索與發現之中,只有親身經歷其中的困惑和發現,才可能將模型方法內化,提升認知水平,從而領悟應用模型方法的要領與關鍵.所以建構模型的能力不是一蹴而就的,需要教師有目的地進行引導,也需要學生用心積累.積累的過程中,學生的物理觀念得到了加強,其科學探究能力也得到了培養.

圖9

(完)