基于自適應干擾觀測器的永磁球形電機連續非奇異終端滑模控制

王群京， 劉中陽， 李國麗， 文彥

(1. 安徽大學 電氣工程與自動化學院，安徽 合肥 230601；2. 安徽大學 高節能電機及其控制技術國家地方聯合實驗室，安徽 合肥 230601；3. 安徽大學 工業節電與用電安全安徽省重點實驗室，安徽 合肥 230601；4.安徽大學 工業節電與電能質量控制安徽省級協同創新中心，安徽 合肥 230601； 5.安徽大學 互聯網學院，安徽 合肥 230601)

0 引 言

傳統的多自由度伺服運動裝置通常由多臺單自由度電機和各種齒輪傳動機構組成，這會導致這類多自由度運動系統結構復雜、體積龐大。而永磁球形電機是一種能夠在單臺電機上實現多自由度運動的特種電機。它具有體積小、響應速度快等優點，在機器人、航空航天等領域具有廣闊的應用前景[1]。

為了能夠實現永磁球形電機的工業應用，其軌跡跟蹤控制問題逐漸成為了研究熱點。永磁球形電機作為一個多變量、強耦合的非線性系統，不僅存在建模的誤差，還受摩擦、外部擾動等影響[2]。這些未知不利因素使永磁球形電機的高精度軌跡跟蹤控制變得十分困難。文獻[3-4]把經典的PD控制算法運用到了永磁球形電機軌跡跟蹤控制中。雖然PD控制器結構簡單且容易設計，但是其動態響應和穩態精度易受未知干擾的影響。為了提高永磁球形電機的跟蹤精度，文獻[5]提出了一種針對永磁球形電機的計算力矩控制策略。然而，計算力矩控制策略的性能依賴于永磁球形電機名義動力學模型的精確程度。為了降低對永磁球形電機名義動力學模型的依賴，智能算法被逐漸用于永磁球形電機的軌跡跟蹤控制中。文獻[6]提出了一種永磁球形電機的單神經元自適應控制器和基于粒子群算法的神經網絡辨識器。文獻[7]在永磁球形電機動態解耦控制中增加了模糊控制器和神經網絡辨識器。然而，神經網絡雖然提高了永磁球形電機的軌跡跟蹤性能，但卻需要大量的樣本訓練時間，不利于永磁球形電機的實時控制。而模糊控制雖然具有較強的魯棒性，但控制信息的模糊化會降低永磁球形電機的跟蹤精度。

近年來，滑模控制器由于結構簡單、易物理實現、對系統參數變化和外部擾動的低靈敏性，可以較好地保證了系統魯棒性[8]，被逐漸用于永磁球形電機的高精度軌跡跟蹤控制中。文獻[9]將基于干擾觀測器的永磁球形電機魯棒滑模控制與模糊控制器相結合，采用模糊邏輯逼近干擾觀測器的觀測誤差和不可觀測部分。文獻[10]將魯棒自適應滑模控制與反演控制相結合，并將其運用到永磁球形電機的軌跡跟蹤中，提高了永磁球形電機的跟蹤性能。文獻[11]提出了一種永磁球形電機的魯棒滑模自適應動態面控制策略，避免了反演控制中的微分爆炸現象。文獻[12]在永磁球形電機魯棒自適應滑模控制的基礎上引入了延時補償。然而，上述這些用于永磁球形電機的滑模控制均采用傳統的線性滑模面，這使得系統狀態到達滑模面后沿著滑模面是漸近收斂的。近年來，終端滑模控制因具有較高的穩態精度和較強的魯棒性，被廣泛應用于各種高精度的非線性控制系統中[13-15]。終端滑模控制利用非線性滑模面使得系統狀態到達滑模面后沿著滑模面是有限時間收斂的[16-18]。本文則針對永磁球形電機提出了一種連續非奇異終端滑模控制，在保證控制率連續非奇異的情況下，實現了永磁球形電機的高精度軌跡跟蹤。

在滑模控制中，為了抑制未知復合干擾對控制系統的影響，往往假設復合干擾具有未知的上界并采用保守的切換增益來確保控制系統的穩定性。這會使得控制器的切換增益過大，導致初始控制量過高，增加硬件系統負擔，并影響系統的性能[19-20]。為了處理這樣的問題，本文首先提出一種改進的自適應干擾觀測器來估計永磁球形電機的復合干擾。然后，將復合干擾觀測值在連續非奇異終端滑模控制器的前端進行補償，有效地降低連續非奇異終端滑模控制器的保守性，避免永磁球形電機飽和輸出，提高永磁球形電機軌跡跟蹤的性能。

1 永磁球形電機的動力學模型和轉矩模型

永磁球形電機的CAD模型如圖1所示。圖2展示了永磁球形電機的實驗樣機。由圖1和圖2可知，永磁球形電機主要由定子線圈、定子殼、永磁體、轉子體和輸出軸構成。轉子體是一個半徑為65 mm的不導磁球體，并有40個永磁體鑲嵌其中。這40個永磁體在轉子體上分為4層，且相鄰永磁體遵循N、S磁極交替排列。定子線圈與轉子體之間具有1 mm的空氣氣隙。此外，定子殼上共有24個1 200匝的定子線圈，分為兩層，關于赤道面對稱排列。轉子輸出軸用來進行力矩傳遞，根據不同的通電策略可以實現永磁球形電機的橫滾、偏航和俯仰3個自由度的運動。

圖1 永磁球形電機的整體結構Fig.1 Overall structure of the PMSA

圖2 永磁球形電機的樣機Fig.2 Prototype of the PMSA

1.1 永磁球形電機的動力學模型

圖3展示了定轉子坐標變換示意圖。利用圖3所示的定子坐標系到轉子坐標系的旋轉變換方式，可以得到描述轉子相對定子位置的歐拉角q=[α,β,γ]T。進而，旋轉變換矩陣為

圖3 旋轉變換Fig.3 Coordinate transformation

(1)

其中：s表示sin(*)；c表示cos(*)。

因此，可得轉子角速度w=[w1,w2,w3]T與歐拉角速度具有轉換關系為

(2)

考慮永磁球形電機的外界干擾，摩擦力矩和模型誤差等未知的復合干擾，通過式(2)和拉格朗日第二方程可以獲得永磁球形電機動力學方程為

(3)

M0(q)的形式為

(4)

(5)

其中：

(6)

其中：J1=J2=J12=0.015 48 kg·m2和J3=0.015 71 kg·m2是永磁球形電機轉子的名義轉動慣量，其名義值可由仿真軟件得到。

1.2 永磁球形電機的轉矩模型

在本節中，由于上述永磁球形電機的轉子體采用非導磁材料，以及定子線圈無鐵心的設計，使得整個永磁球形電機的轉矩模型可以通過單對永磁體線圈的最小轉矩模型表示。

首先，在永磁球形電機上，建立單對永磁體線圈的軸線夾角和其轉矩的函數關系。通過擬合有限元仿真數據獲得單對永磁體線圈的矩角函數關系。然后，根據線性疊加原理，在此函數關系基礎上，建立第i定子線圈和第j永磁體的最小轉矩模型為

(7)

其中：Ii表示第i定子線圈的電流大小；xsi和xrj∈R3分別表示第i定子線圈和第j永磁體的位置向量；f(Γij)表示第i定子線圈(Ii=1 A)和第j永磁體之間的矩角函數關系，如圖4所示；τij表示第i定子線圈和第j永磁體之間產生的轉矩。

圖4 單對永磁體線圈的矩角函數Fig.4 Function of torque and angle between a PM pole and a coil

最后，根據最小轉矩模型(7)，便可以得到永磁球形電機的轉矩模型為

(8)

將式(8)寫成矩陣形式可得

(9)

其中：I∈R24表示24個定子線圈的電流；G∈R3×24表示轉矩貢獻矩陣，它隨著轉子位置的變化而變化；τ∈R3表示施加在永磁球形電機轉子上的轉矩。

由永磁球形電機的轉矩模型可知，在控制策略給出控制轉矩τ后，依據傳感器所提供的轉子位置信息[21]，便可以確定40個轉子永磁體與24個定子線圈的相對位置關系。進而，確定力矩貢獻矩陣G。則24個定子線圈的電流I便可由下式確定：

I=GT(GGT)-1τ。

(10)

考慮到永磁球形電機復雜的電磁關系和轉矩建模過程中存在的不確定性。在永磁球形電機的復合干擾中引入一個轉矩建模誤差τT。

綜上所述，復合干擾可以被定義為

(11)

則式(3)中的永磁球形電機的動力學方程可以轉化為系統狀態方程，即

(12)

2 自適應干擾觀測器的設計

假設2：永磁球形電機的復合干擾和其一階導數，二階導數是有界的。

基于永磁球形電機的系統狀態方程(12)，對狀態變量x2進行如下狀態估計：

(13)

本文采用飽和函數替代符號函數，改進文獻[22]的自適應干擾觀測器，得到改進后的自適應干擾觀測器如下：

(14)

(15)

其中εi>0表示邊界層，根據式(12)和式(13)，可以得到

(16)

定義如下的線性滑模函數：

(17)

則由式(14)、式(16)和式(17)可得

(18)

由假設2知，存在一個正常數Li滿足

(19)

定義一個Lyapunov函數為

(20)

對時間t求導，可得

(21)

將式(14)和式(18)代入式(21)，根據飽和函數的定義，可得,對于?|ei|≥εi，

(22)

對時間t積分可得，對于?|ei|≥εi，

(23)

根據式(19)和式(23)可得，對于?|ei|≥εi，

Wi(t)≤Wi(0)-gi(0)ei(0)+Li|ei(0)|。

(24)

則,對于?|ei|≥εi，

|si|≤pi=

(25)

解下面的微分不等式：

(26)

可得，對于?|ei|≥εi，

(27)

因此，

(28)

當t→∞時，

|ei|≤δi。

(29)

根據不等式(26)，有

(30)

可得

(31)

因此，當t→∞時，

(32)

3 基于自適應干擾觀測器的非奇異終端滑模控制器的設計

本節提出一種基于自適應干擾觀測器的連續非奇異終端滑模控制策略，將自適應干擾觀測器對復合干擾的觀測值在終端滑模控制器的前端進行補償，圖5為本文提出控制算法的系統框圖。

圖5 控制系統框圖Fig.5 Block diagram of the control system

(33)

其中x0表示達到滑模面s=0時的初始狀態[22]。

針對永磁球形電機，設計如下的終端滑模函數：

(34)

(35)

永磁球形電機的連續非奇異終端滑模控制律設計如下：

(36)

(37)

(38)

(39)

證明：定義一個Lyapunov函數

(40)

對Lyapunov函數求導，得到

(41)

并將式(12)代入，可得

(42)

將控制律(36)代入上式，可得

(43)

從而可以得到：

(44)

(45)

|si|≤Δ1i=(pi+aiδi)/k1i。

(46)

|si|≤Δ2i=((pi+aiδi)/k2i)1/ρi。

(47)

綜上所述，滑模函數si漸近收斂到如下有界鄰域內：

|si|≤Δi=min{Δ1i,Δ2i}。

(48)

(49)

那么，

(50)

(51)

進而根據式(49)，永磁球形電機的歐拉角位置誤差將在有限的時間內收斂到下面的有界鄰域內：

(52)

證畢。

4 仿真結果與分析

影響永磁球形電機軌跡跟蹤性能的主要因素有外部擾動、摩擦力矩和模型誤差。因此，本節從這3個方面進行仿真比較。

設置外部擾動如下形式：

τd1=r1[sint,cost,1]T。

(53)

其中r1表示外部擾動系數。

永磁球形電機的動力學模型誤差被設置為

(54)

其中r2表示模型誤差系數。

永磁球形電機的轉矩模型誤差設置為

τT=[0.002,0.002,0.002]T。

(55)

永磁球形電機的3個軸向摩擦力矩，采用庫倫+粘滯摩擦力矩模型，形式如下：

(56)

其中：τC表示庫倫摩擦力矩；τV表示粘滯摩擦力矩系數。

給定的期望軌跡為

(57)

表1 仿真參數Table 1 Simulation parameters

圖6為r1=0.1,r2=0.2時，線性滑模控制算法和本文所提出的控制算法的軌跡跟蹤誤差曲線。從圖6可以看出，當系統達到穩態后，用本文所提出的控制算法在跟蹤期望歐拉角α、β、γ過程中的穩態誤差更小。圖7為r1=0.1,r2=0.2時，連續非奇異終端滑模控制算法和本文所提出的控制算法的軌跡跟蹤誤差曲線。從圖7可以看出，本文所提出的控制算法依然保持更小的穩態誤差。表2為3種控制算法下，軌跡跟蹤誤差的均方根值。從表2可以直觀地看出，所提出的控制算法具有更小軌跡跟蹤誤差的均方根值。

圖6 跟蹤誤差Fig.6 Tracking error

圖7 跟蹤誤差Fig.7 Tracking error

表2 跟蹤誤差的均方根值(r1=0.1,r2=0.2)Table 2 Root mean square value of tracking error(r1=0.1,r2=0.2)

圖8比較了永磁球形電機在線性滑模控制算法和本文所提出的控制算法下的控制轉矩。圖9比較了永磁球形電機無自適應干擾觀測器的連續非奇異終端滑模控制算法和本文所提出的控制算法的控制轉矩。從圖8和圖9可以看出，本文所提出的控制算法與采用邊界層的線性滑模控制算法、連續非奇異終端滑模控制算法一樣具有連續的控制轉矩。但是，所提出的控制算法采用了自適應干擾觀測器，使得永磁球形電機在保持高精度軌跡跟蹤的性能下，在起動時具有更小的初始控制轉矩。

圖8 控制轉矩Fig.8 Control torque

圖9 控制轉矩Fig.9 Control torque

為了驗證所提出控制算法的低靈敏性和強魯棒性，將外部擾動提高10倍，即r1=1，將永磁球形電機的動力學模型誤差從20%提高到50%，即r2=0.5，進行了3種控制算法的仿真比較。表3為3種控制算法的軌跡跟蹤誤差均方根值。對比表2和表3，可以看出，所提出的控制算法對系統參數和復合擾動變化具有更低的靈敏性和更強的魯棒性。

表3 跟蹤誤差的均方根值(r1=1,r2=0.5)Table 3 Root mean square value of tracking error(r1=1,r2=0.5)

為了驗證干擾觀測器中自適應率對永磁球形電機軌跡跟蹤控制性能的影響，本文進行了有無自適應估計的干擾觀測器仿真比較。圖10為r1=0.1,r2=0.2時，在無自適應估計的干擾觀測器和本文所提出的自適應干擾觀測器兩種情況下，永磁球形電機在跟蹤期望軌跡時所產生的軌跡跟蹤誤差曲線。從圖10可以看出，在相同的連續非奇異終端滑模控制下，運用本文所提出的自適應干擾觀測器能夠明顯降低永磁球形電機軌跡跟蹤時歐拉角α、β、γ的跟蹤誤差。進一步分析可知，相比運用無自適應估計的干擾觀測器，本文所提出的控制算法可以使歐拉角α、β、γ的最大軌跡跟蹤誤差降低30%左右。

圖11為自適應干擾觀測器在改進前和改進后對永磁球形電機的3個軸向復合干擾的估計。從圖中可以看出，改進后的自適應干擾觀測器對永磁球形電機的復合干擾具有更好的觀測效果。改進前的自適應干擾觀測器，在觀測永磁球形電機復合干擾時，觀測值會產生嚴重的高頻抖振。因此，當改進前的干擾觀測值在控制器前端進行補償時，會使得控制轉矩產生同樣的振動現象，這會激發永磁球形電機未建模的高頻動態，影響永磁球形電機控制系統的穩定性和軌跡跟蹤控制的效果，且容易導致永磁球形電機飽和輸出，甚至危害控制器和驅動器的壽命。

圖11 復合干擾及其觀測值Fig.11 Lumped disturbance and its observed value

5 實驗結果與分析

在本節中，為了驗證所提出的控制算法有效性，搭建了永磁球形電機閉環控制系統的實驗平臺。圖12給出了永磁球形電機的滑模控制系統框圖。從圖12中可以看出，首先，利用滑模控制算法獲得理想的控制轉矩信號。然后，再根據逆轉矩模型，獲得永磁球形電機24個定子線圈的電流，從而驅動永磁球形電機按期望軌跡運動。

圖12 永磁球形電機滑模控制的系統框圖Fig.12 System block diagram of sliding-mode control for PMSA

實驗平臺如圖13所示，主要由5個部分組成，分別是作為上位機的計算機、直流電源、電壓-電流變換裝置、永磁球形電機樣機和位置檢測傳感器MPU6050。圖14為永磁球形電機閉環控制系統的實驗框圖，其中上位機主要進行控制算法的實現，轉矩模型的解算,接收永磁球形電機姿態信息以及發送24個定子線圈電流信息給電壓-電流變換裝置。直流電源主要給電流-電壓變換裝置供電。電壓-電流變換裝置主要是根據上位機提供的電流信息來給永磁球形電機的24個線圈提供驅動電流。MPU6050包含了三軸陀螺儀和三軸加速度計，主要檢測永磁球形電機轉子的位置和速度。

圖13 實驗平臺Fig.13 Experimental platform

圖14 永磁球形電機閉環控制系統的實驗框圖Fig.14 Experimental block diagram of closed loop control system for PMSA

5.1 傾斜運動實驗

為了驗證本文算法的有效性，進行了本文所提出的控制算法和線性滑模控制算法的實驗比較。設給定的期望軌跡為qd=[20°,20°,0]T，即永磁球形電機的輸出軸傾斜到指定點位置。

圖15和圖16分別為2種控制算法的跟蹤軌跡。從圖15可以看出，在線性滑模控制下，α和β到達穩態的時間大約為1.76 s和2.05 s。此外，在永磁球形電機到達穩態后，α、β、γ的最大穩態誤差分別為2.13°、1.65°和1.70°。而從圖16可以看出，在本文所提出的控制算法下，永磁球形電機能夠更快地到達穩態,α和β到達穩態的時間大約為0.72 s和1.06 s。且穩態誤差更小，α、β、γ的最大穩態誤差僅約為0.28°、0.42°和0.21°。

圖15 線性滑模控制算法下的軌跡跟蹤Fig.15 Trajectory tracking under linear sliding-mode control algorithm

圖16 所提出的控制算法下的軌跡跟蹤Fig.16 Trajectory tracking under the proposed control algorithm

5.2 自旋運動實驗

為了進一步驗證本文算法的精確性，本節將期望軌跡設置為qd=[0,0,(36t)°]T，即永磁球形電機的輸出軸以恒定角速度做自旋運動。

圖17和圖18分別展示了線性滑模控制算法和本文所提出的控制算法在進行自旋運動時歐拉角γ的跟蹤軌跡。對比圖17和圖18可以看出，所提出的控制算法更接近給定的期望軌跡。此外，在整個軌跡跟蹤過程中，使用線性滑模控制算法的最大跟蹤誤差為5.84°，而使用所提出的控制算法，其最大跟蹤誤差僅為2.17°。

圖17 線性滑模控制算法下的軌跡跟蹤Fig.17 Trajectory tracking under linear sliding-mode control algorithm

圖18 所提出的控制算法下的軌跡跟蹤Fig.18 Trajectory tracking under the proposed control algorithm

上述兩個實驗的結果表明，在實際的永磁球形電機控制系統中，由于信號傳遞過程中的延時、永磁球形電機的結構并非嚴格對稱而造成的轉子振動以及MPU6050傳感器的測量精度不夠理想等一系列問題的存在，導致了永磁球形電機在本文所提出的算法下仍然具有一定的跟蹤誤差，特別是進行自旋運動時，由于傳感器在Z軸方向具有累計誤差，導致其跟蹤誤差比傾斜運動時更高。但從實驗結果不難看出，在摩擦、外部干擾、模型誤差等未知復合干擾的影響下，所提出的控制算法相比于傳統的線性滑模控制算法，減小了永磁球形電機軌跡跟蹤的誤差，提高了其軌跡跟蹤的精確度。

6 結 論

本文針對永磁球形電機提出了一種基于自適應干擾觀測器的連續非奇異終端滑模控制策略，提高了永磁球形電機的軌跡跟蹤性能。考慮到永磁球形電機的外部擾動，摩擦力矩和模型誤差等在內的復合干擾對永磁球形電機軌跡跟蹤控制的影響，提出了一種改進的自適應干擾觀測器，實時地估計永磁球形電機的復合干擾。并將復合干擾的觀測值在連續非奇異終端滑模控制器的輸入端進行補償。仿真結果表明，在復合干擾下，所提出的控制算法具有連續非奇異的控制轉矩，并且比傳統線性滑模控制和連續非奇異終端滑模控制具有更小的軌跡跟蹤誤差和初始控制轉矩。實驗結果表明，在軌跡跟蹤過程中，所提出的控制算法使得永磁球形電機更快地到達穩態，并且比線傳統性滑模控制具有更小的跟蹤誤差。綜上所述，后續可以考慮從以下兩個方向進行改進來改善永磁球形電機的軌跡跟蹤效果：

1)可以考慮利用延時觀測器來處理實際永磁球形電機控制系統的時滯現象。

2)可以考慮利用速度觀測器來實時估計永磁球形電機的角速度，從而避免傳感器信號的延遲。