分形凹角蜂窩結構聲子晶體振動帶隙特性

陳新華,張 晨,陳 猛,郭振坤,郝天琪

(1.北京建筑大學機電與車輛工程學院，城市軌道交通車輛服役性能保障北京市重點實驗室,北京 100044； 2.中國科學院力學研究所微重力重點實驗室，北京 100190)

0 引 言

聲子晶體是一種具有彈性波禁帶的周期性結構功能材料，周期性的布拉格散射或局域共振作用可以形成能帶帶隙。其所具有的能帶特性，可以禁止一定頻率范圍內的彈性波在聲子晶體中傳播[1]。聲子晶體的帶隙特征對減振降噪具有重要意義，國內外在聲子晶體帶隙方面的研究越來越多[2-8]：我國學者多以結構的設計及其幾何和拓撲優化研究為主，國外學者則更側重于對帶隙產生機理的分析和奇異特性的探索。但是因為局域共振的本征屬性，只能在共振頻率處實現對聲波的控制，這就導致產生的頻帶較窄，在寬頻聲波控制的應用中帶來了困難。

蜂窩結構作為一種典型的復合結構，由于比強度高、抗沖擊性好、減振等優點，被廣泛應用于航空航天、鐵路車輛和建筑等工程領域[9-11]。Gibson等[12]在傳統蜂窩結構的基礎上設計了內凹六邊形蜂窩結構。蜂窩結構中凹角和旋轉機構的存在導致負泊松比特性，在一些工程中的應用具有重要意義[13-15]。對于內凹蜂窩結構，學者們也進行了深入的研究：楊振宇等[16]將內凹六邊形蜂窩結構與星型結構結合，與星型結構和內凹六邊形結構對比發現該結構吸能效果更好；Hu等[17]和Hou等[18]分別對負泊松比蜂窩結構的結構參數(胞壁角度、胞壁長度比)分析，負泊松比效應隨胞壁夾角的增大和胞壁長度比的減小而增強；Tan等[19]提出了兩種用正六邊形子結構和等邊三角形子結構代替凹入蜂窩的胞壁構建的凹入分層蜂窩，結果表明設計的蜂窩結構具有更高的吸收能力。這些國內外學者對負泊松比蜂窩結構的力學性能以及吸能性能進行了深入的研究，但是對于蜂窩結構的帶隙特性研究有所不足。

“分形”的概念提出后，學者們設計出很多具有優異力學和吸能特性的結構。分形結構具有多尺度特性，對聲學超材料而言，多尺度結構能夠拓寬工作頻率，產生多條帶隙；分形結構具有自相似性，不同階的單胞形狀相似，設計簡單。本文針對上述聲子晶體中存在的問題，引入了分形的內凹蜂窩結構來拓寬帶隙的頻帶以及降低帶隙的頻帶位置。通過對分形內凹蜂窩結構的優化設計，使得優化后的結構在小尺寸的情況下仍具備優秀的帶隙特性，提高結構低頻、寬頻聲學特性，使其在減振隔振領域具有潛在的應用前景。

1 聲子晶體結構模型的建立

1.1 幾何模型及材料參數

以普通的六邊形內凹結構為初始幾何設計，設計不同層次順序的凹角蜂窩結構如圖1所示。由周期性填充不同階數的單元格構成的結構如圖1(a)、(c)、(e)所示。圖1(b)所示定義一階內凹蜂窩結構單胞，一階凹角蜂窩結構尺寸L1=12 cm，L2=8 cm，L1/L2=1.5，內凹角度θ=63°，單胞壁厚b=0.1 cm。將凹角六邊形(見圖1(a))的6個頂點替換為較小的凹角六邊形，其高寬比與圖1(a)相同(高和寬均為上一階的五分之一)，構成了二階層次晶格單元凹角單胞(見圖1(d))。三階凹角結構晶格單元采用相同的堆疊概念，用二階晶格單元代替更小的晶格單元的頂點(見圖1(f))。通過保證不同的結構具有相同的質量，使得不同層次的凹角結構保持整體密度不變，便于進行性質比較。結構的散射體材料為空氣，結構的基體材料參數如表1所示。

表1 基體材料參數Table 1 Parameters of basis material

1.2 理論方法計算

周期晶格的單元格和布里淵區如圖2所示。在單位中，ei(i=1,2)為基本格向量，可以用正交笛卡爾基本向量和晶格常數表示為：

e1=3Li

(1)

e2=2Li

(2)

一般來說，倒格子的基矢定義如下：

(3)

倒格子中晶格點的坐標位置可以用倒格子矢量G表示，它是倒格子基向量的線性組合：

G=n1e1+n2e2

(4)

式中：n1和n2是整數。

倒格子晶格向量可以表示為：

(5)

(6)

在二維空間中，通過沿基本單元格向量(e1,e2)移動單元格，可以構造周期結構，也可以得到基本晶格的布里淵區，如圖2所示，其中Γ→X→M→Γ為不可約布里淵區。

根據Bloch定理，與空間位置r相關的本征波場體積的部分u(r)可以用空間平面波的形式表示：

u(r)=e-ik·rUk(r)

(7)

式中：r是位置向量，k是第一個布里淵區的波向量，i是虛單位，Uk(r)是本征波振幅。

周期結構的邊界位移可以通過Bloch邊界條件來控制，因此存在:

u(r+R)=e-ik·ru(r)

(8)

式中：R為晶格的基向量。

將單胞劃分網格，設置邊界條件后，根據一般有限元程序確定形式函數，并建立單元內的剛度和質量矩陣，得到單元的廣義特征式，特征值方程可表示為：

(K-ω2M)u(v)=F

(9)

式中：K和M分別為單元剛度和質量矩陣；u(v)為廣義節點位移；F為力的向量。

利用公式(9)進行整個計算，可以將結構簡化為一系列單元。在COMSOL軟件中，選擇x方向和y方向上的兩條邊作為源邊界，為目標邊界選擇的兩條邊對應于源邊界的兩條邊。周期性單元相應邊界處的周期性條件表示為：

udestination=e-ik(rdestination-rsource)usource

(10)

式中：u為因變量的向量；向量k表示激勵的空間周期性。

根據圖2所示的第一個布里淵區，波矢量k沿路徑Γ→X→M→Γ進行參數掃掠。利用方程(9)和(10)，可以得到給定k的結構特征頻率，根據方程(9)可以得到結構的本征頻率。因此，最終以波矢量k為水平坐標、本征頻率為縱坐標繪制色散曲線得到能帶圖，色散曲線之間的禁帶為能帶結構，色散分支上的本征頻率都對應該結構的模態形狀。

2 結果與討論

2.1 不同階數的泊松比分析

由于蜂窩結構具有負泊松比的特性，本文引入了分形結構，探究不同階的凹角蜂窩結構是否同樣產生負泊松比特性以及數值上的變化。泊松比定義為橫向拉伸的應變與縱向應變的比值:

(11)

式中：ν為泊松比；εx為橫向拉伸應變；εy為縱向收縮應變。

向內凹蜂窩結構施加水平方向的拉力，其縱向桿會同時向外移動，其原因是斜桿在受到拉力時，結構內凹角展開，同時斜桿發生旋轉，導致整體結構膨脹產生負泊松比效應。大多數內凹結構在受拉時不可避免地會發生斜桿的面內旋轉，這是內凹系統具有負泊松比特性的主要原因[20]。

采用有限元軟件COMSOL的固體力學模塊對分形結構進行泊松比的仿真計算。結構采用三維實體建模，選擇ABS材料，其屬性如表1所示。

泊松比仿真參照單軸拉伸實驗，對模型進行網格劃分，并對結構進行網格收斂性分析。結構左端固支，右端施加指定位移。通過有限元仿真結果顯示，分形結構單元在拉伸之后，單元的縱向位移變大，產生明顯的拉脹效應，如圖3所示。

各階凹角結構的泊松比與高度比h(整體凹角結構高度與頂點分形凹角結構高度比)的關系如圖4所示，默認一階結構時高度比為1。一階凹角蜂窩結構的泊松比為-1.131，二階和三階結構隨著高度比從3到4的變大過程中，泊松比明顯下降，二階結構最小泊松比為-1.602，三階結構最小為-1.846，分別比一階凹角結構的泊松比降低了41.64%和63.22%。分形結構的泊松比數值在高度比等于4之后又有所增加，但增長幅度不大，基本保持在-1.5上下。由此可知，當結構高度比為4時可以得到最小的泊松比，且泊松比為負值，凹角蜂窩的分形結構也具有負泊松比的特性。

2.2 分形階數對蜂窩結構聲子晶體帶隙的影響

設計的內凹蜂窩結構不僅具有以上特性，還可以多尺度拓展頻率，實現寬頻帶隙。通過對分形凹角蜂窩結構的聲子晶體建模并利用COMSOL進行仿真，計算了其能帶結構，研究了分形蜂窩結構的色散關系。

根據上述的材料屬性和幾何參數，將波矢k在布里淵區邊界上取值(Γ、X和M)為掃頻區域的3個頂點，得到的帶隙如圖5所示，其中灰色陰影區域為計算頻率范圍內的帶隙。

一階內凹蜂窩結構的帶隙如圖5(a)所示。從圖中可以看出，在0～10 000 Hz的范圍內，總共產生了2個完整的帶隙，在低頻處產生了726～861 Hz的帶隙。對于單胞超材料，表明內凹蜂窩結構在低頻區具有一定的彈性波衰減特性；第2條帶隙產生在6 637～7 100 Hz。當分形為二階結構時，產生的通帶明顯增多，帶隙變寬，這體現了分形結構的多尺度調節頻帶。在二階內凹結構中產生了8條通帶，說明該結構具有良好的彈性波衰減性能。繼續分形為三階凹角結構時，通帶所占比例為整個比例的43.7%，帶隙產生的頻率范圍降低。在Γ→X方向上產生了三條較寬的方向帶隙，其所占比例為整個比例的18.7%，這表明在Γ→X方向可以更好地實現寬頻隔聲。隨著分形階數的增加，可以看出二階分形結構產生的帶隙效果最好，在3 000～9 000 Hz的頻率內幾乎具有較好的全帶隙特性。凹角結構在Γ→X方向還具有較好的方向帶隙特性，隨著分形階數的增加其方向帶隙所占比例也在逐漸增加。

為進一步分析禁帶產生的機理，對分形結構不同階數第一帶隙高對稱點進行分析，其振動模態如圖6所示。圖6(a)、(b)為一階結構第一帶隙的模態，內凹結構的模態主要由結構的振動引起，振動產生一階振動模態。由布拉格反射條件可知，當波長λ=2a/n時，所對應頻率的波反射最強，彈性波不能傳播，進而產生帶隙。基體大致保持靜止，波的大部分能量還在晶體結構中，因此低頻帶隙得以打開；二階結構由于左右兩側的梁變短，梁發生二階振動模態，出現了彎曲和扭轉變形，產生帶隙，彎扭耦合振動的帶隙比單純的彎曲振動帶隙頻率范圍更寬，帶隙內衰減更大，如圖6(c)、(d)所示。局域振動同時被激發，周期局域共振結構的軸扭轉振動可以產生低頻局域共振帶隙，此時的梁內部自身的局域共振模態會使波的能量消耗，抑制波的傳播。在圖6(e)、(f)中，三階結構如二階結構一樣，左右兩側的梁由于分形結構的增加進一步縮短，振動與行波發生耦合，相鄰單胞的振動方向不同，使得結構基本保持靜止，聲波被局域在結構中，帶隙得以打開，使得波的能量消耗而無法通過，波傳播時振動分別被局限在結構中。由圖中發現帶隙起始點的模態幾乎都是由于梁的彎曲變形引起，而且在帶隙產生的上下又會有許多相近的能帶，這是由于這些頻率附近模態表現為結構內部梁的振動，在分形內凹結構內存在許多分形的梁，不同的梁之間相互組合產生了更多階模態。

2.3 結構幾何參數對帶隙的影響

由于帶隙的產生取決于結構自身的振動特性以及結構中波的相互作用，而決定上述的特性關鍵在于結構自身的幾何參數，為了探究結構參數對帶隙產生的影響，采用控制變量法來研究各個參數對帶隙的影響。

2.3.1 結構壁厚對帶隙的影響

選取二階以及三階的凹角蜂窩結構進行研究，考慮到實際應用的要求，壁厚也不應過小。在其他條件保持不變的情況下設置壁厚b分別為0.05 cm、0.1 cm、0.15 cm和0.2 cm。通過COMSOL軟件仿真得到帶隙的變化如圖7所示。

由圖7可以看出，結構壁厚對完全帶隙的影響較為明顯。隨著壁厚的增加，產生的帶隙數量基本不變，均勻分布在整個頻域里，帶隙出現的范圍逐漸向高頻區域轉移，帶隙的起始頻率和終止頻率都出現一定程度的上升。在圖7(a)中，不同壁厚的凹角結構都產生了6條帶隙，壁厚為0.05 cm時，第一條帶隙產生于905～1 036 Hz，全部帶隙所占比例大約為整個頻率范圍的46.2%。圖中也可以發現不同厚度的薄壁在6 500～8 000 Hz的范圍內都產生了較寬的帶隙。在壁厚為0.1 cm時，二階和三階結構產生的第六帶隙相對降低。因此，改變壁厚對于帶隙整體的分布影響明顯，中心頻率有偏向高頻范圍的趨勢，這是由于結構彎曲剛度增大促使帶隙寬度逐漸變寬。

2.3.2 結構內凹角度對帶隙的影響

在不改變結構其他因素的情況下，改變凹角蜂窩結構的內凹角度，二、三階凹角結構內凹角度對結構帶隙的影響如圖8所示。考慮到結構的壁厚以及形狀的影響，選取了θ=53°、58°、63°和68°內凹角的結構進行仿真分析。

研究表明，在10 000 Hz的范圍內，隨著內凹夾角的增大，二階凹角結構與三階凹角結構產生帶隙的頻率增加，帶隙的上邊界值和下邊界值都有所增加。在二階蜂窩結構中，內凹夾角為53°時，第一帶隙為752～792 Hz。前三帶隙都在2 000 Hz之內但寬度較小，第四、五、六帶隙隨著角度的增加寬度逐漸減小，整體上結構在4 000～8 000 Hz的范圍內覆蓋率較高，最低達到了75%。在三階蜂窩結構中，產生的帶隙條數明顯增多，夾角為53°的結構產生了12條帶隙，但隨著內凹夾角的增加帶隙條數逐漸減少；內凹夾角為53°時，第一帶隙為750～822 Hz。前二帶隙在2 000 Hz之內，之后的帶隙隨著角度的增加頻率依舊增加。當需要低頻帶隙時，可以增大結構內凹角度。通過這一結果，可以針對不同的減振需求選擇不同角度的聲子晶體。在帶隙覆蓋方面，沒有隨著角度的改變發生較大的變化，內凹角度對蜂窩聲子晶體禁帶范圍影響并不明顯。

2.4 填充介質對帶隙的影響

保證其他因素不變的情況下，在凹角蜂窩結構內部填充介質探究其對帶隙的影響。在凹角分形結構頂點處添加鋼材，如圖9所示，填充物的材料參數如表2所示。嵌入鋼材的原因是鋼材的橫波速度大，相同的結構產生的帶隙范圍更大，有利于帶隙的研究。

由圖10的對比可以發現，在分形頂點填充鋼材，二階結構填充鋼材后在2 000～5 000 Hz內的Γ→X方向產生了較寬的方向帶隙，帶隙在6 000～9 000 Hz內沒有太多變化；三階結構帶隙有較為明顯的變寬，主要集中在高頻6 000～10 000 Hz，帶隙的上邊界向高頻偏移，下邊界向低頻偏移。二階和三階結構在填充鋼材后的帶隙范圍分別達到了70.5%和68.7%。與此同時，在添加鋼材后，帶隙的條數變多。

表2 填充材料參數Table 2 Parameters of filling material

如圖11所示，二階結構在頻率為137 Hz時不處在帶隙范圍內，二階蜂窩結構發生整體結構變形；在6 000～9 000 Hz，結構處于帶隙區間時，二階結構發生左右上下梁的變形，向四周衰減，并沒有使其他結構產生振動，從而突出帶隙特性。

3 結 論

本文通過對一種分形凹角蜂窩結構進行分析，探究其在帶隙特性方面的優良表現，同時使其在實際應用上有更大的可行性。運用Bloch定理與有限元法對帶隙結構進行了數值模擬，得到如下結論：

(1)凹角蜂窩結構在進行分形后，所得到的分形結構仍然具有負泊松比的特性，并且隨著高度比的增加泊松比的數值先迅速降低然后緩慢增加，最后數值在-1.5上下浮動。

(2)通過對凹角結構進行分形設計與優化，由于分形結構的多尺度調節頻帶的原因，分形的階數增加使帶隙的條數增加。二階凹角結構產生的帶隙效果最好，帶隙在0～10 000 Hz內的覆蓋率最大，通過分形可以針對高頻寬帶進行帶隙范圍的可調節化。

(3)通過調節結構幾何參數、改變結構的壁厚以及角度發現：隨著壁厚的增加，帶隙的條數保持不變，整體分布向高頻區域轉移；隨著內凹角度的增加產生帶隙的區域頻率越來越大，內凹角度對蜂窩聲子晶體整體禁帶范圍影響并不明顯。

(4)在分形結構頂點處填充鋼材，第一帶隙均有所降低，帶隙寬度在6 000～9 000 Hz內拓寬明顯，二階結構填充鋼材后在2 000～5 000 Hz內的Γ→X方向產生了較寬的方向帶隙。