結構可靠性方法及比較研究

蘇振宇

（廈門大學 航空航天學院，福建 廈門 361000）

0 引言

隨著電子、軍事、宇航、機電工業的發展，人們對產品、系統和元件的要求越來越高，逐漸提出了產品結構可靠性這一指標。可靠性指產品、系統在規定的條件下，規定的時間內，完成規定功能的能力。在生產實際中，可靠性作為產品的一個重要質量參數，綜合反映著產品的性能優劣。從上世紀四十年代開始，科學家就開始了可靠性的研究。可靠性工程的起源本質上是因為人們對自然規律的認識和把握還不夠，對確定性規律的未知，促使研究者轉而采用隨機統計規律來進行認識[1-3]。

可靠性工程綜合性較強，其貫穿于產品的規劃設計、工藝材料、生產制造、使用等各個環節，并在實際應用中改進各個環節，把相關產品的可靠性提高到一個新的水平[4-5]。在可靠性分析的助力下，工程技術人員可以及時或者提前將機構系統的薄弱環節，危險源等排除，優化以往的常規設計，將結構的合理性提升到新的高度，這樣能夠使結構更穩定，結構日常使用中的損耗大大降低，減小固定投資，工業生產的效率也能大大提升[6-8]。

可靠度的獲得可以依賴于對產品的逐個測試，通過對大量單個產品的測試，根據失效個數與總的測試樣本數的比值獲得。但這只適用于一些簡單的產品以及元器件，當面對大量的實際工程時，該方式可用性較小，會造成大量的浪費，因此逐漸發展出了可靠性的數值解析法。當前可靠性分析已經發展出很多種方法，如劉鵬[11]將拉丁超立方抽樣引入，提出了一種改進拉丁超立方重要抽樣方法；周泓等針對稀有事件提出了基于期望的重要抽樣方法；李金武[9]等人提出了一種基于區間過程模型的時變可靠性分析方法；針對非線性功能函數和不確定性變量，王林軍[10]等人提出了一種基于改進一次二階矩法的混合可靠性分析方法。這些方法雖各有優勢和側重，但按照原理進行分類，則可分為基于矩的解析方法和抽樣方法等。其中，矩方法包括一階可靠度法（FORM）、二階可靠度法（SORM）、改進一次二階矩法（AFORM）等，抽樣方法有蒙特卡羅法（MCS）、重要抽樣（IS）等。本研究選取了其中的改進一階可靠度法（FORM）、蒙特卡羅法（MCS）、重要抽樣（IS）進行比較研究，在對這三類典型方法進行簡要介紹的基礎上結合實例，比較了它們計算精度和效率等方面的優缺點，并指出結構可靠性分析的下一步研究方向。

1 概念

1.1 基本變量（basic variables）和響應量（response variables）

基本變量x= {x1，x2，…，xn}具有不確定性，決定系統響應量值。幾何外形、材料選用，載荷變化等都可以成為基本變量。響應量是基本變量的函數，用來描述系統行為特性，應變、振幅等都可被標記為響應量，記為r= {r1，r2，…，rm}，響應量和基本變量之間有其客觀規律。可靠性分析的本質就是獲得響應量的統計規律。

1.2 極限狀態函數和極限狀態方程

1.3 失效域F （failure domain）和安全域S（safe domain）

當系統失效時，稱其處于失效域F內，反之則處于安全域S內。安全域S和失效域F互為補集，當F={s|g（x）≤0}為失效域時，與之對應的S= {x|g（x）＞0}即為系統安全域。

1.4 失 效 概 率（failure probability） 和 可 靠 度（reliability）

系統失效的概率Pf，也即極限狀態函數gx≤0的概率，可表達為：

2 一次二階矩法

可靠性分析本質上是通過直接或間接的手段獲得響應量的統計規律。直接方法就是直接抽樣測試，比如蒙特卡洛采樣，間接方法以一次二階矩法為例，根據基本變量和響應量之間的函數傳遞關系，由基本變量的分布情規律，得到響應量的分布規律。基本概念原理如下：

如果功能函數為基本變量的簡單線性相加，則對基本變量的分布規律進行相應的線性處理即可得到功能函數的分布規律，進而得到失效概率。

但是當功能函數為基本變量的非線性函數時，功能函數的分布情況卻不能用基本變量分布規律的簡單相加而得到。基于這一原理，為了便于求得功能函數的分布規律，需要采用在均值點處泰勒級數展開的方式將其線性化，通過泰勒變換后得到的線性方程，以及與變量之間的函數關系，得到函數值分布情況，進而獲得失效概率。

在某些分布中，均值點和對結果影響最大的點不是同一點，也即其精度不夠，研究人員又發展出了改進一次二階矩方法（AFOSM）。改進的一次二階矩法按照對結果貢獻大小來選取線性化點，在最可能失效點和設計點處進行線性化過程。

由以上分析可知，改進一次二階矩方法（AFOSM）和傳統的均值一次二階矩方法的流程相似，唯一的區別就在于泰勒展開之前，需要求解出設計點，而不是直接使用變量的均值。設計點作為對失效概率貢獻最大的點，目前對設計點的求法主要有迭代和直接尋優。

3 蒙特卡洛方法

在多數情況下，當方程求解很難得到精確解析解時，蒙特卡洛方法是一種很好的解決方法。蒙特卡羅模擬法的實際做法就是從變量分布中抽取一組隨機變量，然后求得極限狀態函數g（x）的值，如果g（x）＞0，則將結構視為功能正常，安全可靠；如果g（x）≤0，結構失效。每一次模擬就相當于一次實驗，通過大量的模擬獲得到量的實驗數據，就可以得到總的失效概率，根據大數定理，模擬實驗的次數越多，得到的結果精度越高。其主要步驟是：

（1）已知功能函數g（x1，x2，…xn）和變量（x1，x2，…xn）分布情況；

（2）根據變量的分布規律對其進行N次抽樣，得到N個樣本點；

（3）由N個樣本點和已知的功能函數，得到相應的函數值g1，g2，…gN；

（4）計算出N個函數值中小于等于零的函數值個數為m；

（5）失效概率Pf=m/N。

抽樣次數N越大，所得失效概率結果越準確，通常抽樣次數取N＞106。但每進行一次抽樣，就得對功能函數進行一次計算，在一些工程問題上，每次抽樣甚至還需要調用一些復雜的專業軟件。可見在很多情況下，蒙特卡洛方法效率較低。如何在精度和效率之間取得平衡，是采用蒙特卡洛法時需要考慮的問題。

4 重要抽樣法

由上文可知，蒙特卡洛法雖然簡單方便，但是在處理失效概率較小的問題時，模擬次數較多，效率低下。分析表明，蒙特卡洛模擬的變異系數的平方與其模擬次數成反比，如果想提高精度，就必須大幅度提高模擬次數。為了在提高精度的同時提高效率，工程人員通過數字模擬技術進行升級改進，將方差減小，其中重要抽樣法是最有效減少方差提高精度的方法之一，相比較以往方法該方法抽樣精確，方差小，效率較高。

與蒙特卡洛法直接依據變量原始分布進行簡單抽樣相比，重要抽樣法首先產生了一個輔助分布，進而用該輔助分布進行少量的抽樣，而不是用原始分布來生成樣本。

重要抽樣的具體做法是：將抽樣密度函數fX（x）替換成重要抽樣密度函數hX（x），提高抽樣效率，加快收斂速度。通常將密度函數中心變換為設計點P，從而使得抽取的樣本點盡可能落在對失效概率貢獻大的區域。設計點由AFOSM 等方法確定。

獲得重要抽樣密度函數hX（x）之后，失效概率積分變換過程如下：

圖1 為fX（x）與hX（x）的示意圖。

圖1 fX（x）與hX（x）的示意圖

根據重要抽樣密度函數hX（x），在分布區域內隨機抽取N個樣本點，記為xi=（1，2，…，n），則可得失效概率的估計值為：

5 比較研究

為對所述各方法的精度和效率進行比較，將3 種方法應用于下列3 個算例之中，以次模擬的蒙特卡洛法得到的失效概率為基準。

5.1 算例一

某非線性極限狀態函數表達式為

圖2 重要抽樣流程圖（以抽樣次數為結束條件）

其中x1、x2均服從標準正態分布，x1～N（10，5），x2～N（9.9，5）用一次二階矩法得到其設計點坐標為x*=（3.1955，-1.2441）。計算結果見表1。

表1 算例一結果對比

5.2 算例二

某工程實際問題，一個帶有集中力的懸臂梁，設其彈性模量為，截面慣性矩為，載荷力為，且均服從正態分布，其中x1～N（2×107，5×106）（kN/m2），x2～N（1 ×10-4，1 × 10-5）（m4），x3～N（8，2.5）（kN）。考慮該懸臂梁最大變形作為極限狀態，可建立極限狀態方程如下：由一次二階矩法得其設計點坐標為x*=（8.4345 ×106，9.5926 ×10-5，10.356）。計算結果見表2。

表2 算例二結果對比

由以上分析可以看出，蒙特卡洛模擬法簡單易操作，在功能函數較為簡單時，實用性較強。但是由于蒙特卡洛法抽樣次數較多，當功能函數比較復雜時，會產生耗時過長，效率較低的問題。改進的一次二階矩法抽樣次數少，效率高，但是有時會產生不準確，偏離真實值的情況。重要抽樣效率高且精度較好，但是過于依賴設計點的選取。

6 結語

可靠性理論的產生是由于人們對于自然規律認識不夠，轉而將研究重點放在數據統計上，希望通過數理統計的結果來對工業生產的各個環節進行改進優化。隨著工業化逐漸往縱深發展，工業系統越來越趨于復雜化，要想保證產品質量良好，同時也是出于經濟性的要求，就必須將可靠性分析貫穿于生產的各個環節，依托可靠性分析結果對工程上各環節進行把控。

本文總結了可靠性理論，分析了目前常用的三種可靠性分析的基礎方法，結合兩個算例對三種方法進行了對比，指出了各個方法的優點和不足。可以看到，當前可靠性領域的研究重點在于如何在保持高精度的前提下提高效率，尤其是對于一些復雜工程問題，這種需求的呼聲更大，應成為下一步研究的重點。