“三教”改革背景下極限的計(jì)算方法教學(xué)探索

程 婧

（西安城市建設(shè)職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)課部 陜西 西安 710114）

“三教”改革事關(guān)職業(yè)教育的“誰來教”“教什么”和“怎么教”，直接影響教育教學(xué)質(zhì)量，是新時(shí)代職業(yè)教育改革發(fā)展的關(guān)鍵。

高等數(shù)學(xué)作為高職高專院校數(shù)學(xué)教育最重要的一門公共基礎(chǔ)課程，如何通過有效的教學(xué)方式幫助學(xué)生通過高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，養(yǎng)成一定的數(shù)學(xué)思維并能夠?qū)⑵浣Y(jié)合專業(yè)相關(guān)問題運(yùn)用到實(shí)際生活中，是值得高校教師關(guān)注和思索的問題。

極限的概念是高等數(shù)學(xué)中微積分的理論基礎(chǔ)，微積分的一些重要概念都是建立在極限概念的基礎(chǔ)上。針對(duì)不同類型函數(shù)，求解極限的計(jì)算方法也不同。本文教師在教法上進(jìn)行探索，利用探究式、啟發(fā)式、討論式等教學(xué)方式，給出函數(shù)極限的幾種計(jì)算方法，并總結(jié)出當(dāng)有多種計(jì)算方法時(shí)，如何有清晰思路對(duì)計(jì)算方法進(jìn)行正確合適的選擇，使得極限計(jì)算更簡便。

1 直接代入法求極限

對(duì)于有理函數(shù)（多項(xiàng)式）或有理分式函數(shù)，求函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限可以將=直接代入計(jì)算函數(shù)在該點(diǎn)處的函數(shù)值。

引導(dǎo)學(xué)生討論：極限計(jì)算中出現(xiàn)的0，是否表示函數(shù)恒為0？（在講解知識(shí)時(shí)通過不斷提問可使學(xué)生思維得到鍛煉）

結(jié)論：函數(shù)在自變量變化過程中極限為0，表示的是函數(shù)在變化過程中的變化趨勢(shì)無限接近于0，不是函數(shù)恒為0。并且引出方法二。

2 利用無窮小與無窮大的關(guān)系求型極限

2.1 知識(shí)儲(chǔ)備

2.2 結(jié)論

3 用因式分解方法求型極限

4 用等價(jià)無窮小代換求函數(shù)極限

即當(dāng)函數(shù)求極限時(shí)，出現(xiàn)可以進(jìn)行等價(jià)無窮小代換的量，可以優(yōu)先進(jìn)行等價(jià)代換后，約分，再直接代入求出極限。

注意：等價(jià)無窮小代換求極限可以簡化極限的運(yùn)算，但是在使用時(shí)有條件限制：

①被代換的函數(shù)必須是無窮小，即極限為0。

5 用洛必達(dá)法則求解未定式極限

（2）在點(diǎn)的某去心領(lǐng)域內(nèi)，和都存在且≠0；

6 利用無窮大的倒數(shù)是無窮小求型極限

7 利用重要極限求極限

8 利用無窮小的性質(zhì)求極限

定理 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小。

9 含有變上限積分函數(shù)的極限計(jì)算方法

含有變上限積分函數(shù)的極限計(jì)算方法為：第一步，利用洛必達(dá)法則對(duì)分子分母分別求導(dǎo)，對(duì)分子求導(dǎo)時(shí)利用定理一代二導(dǎo)，其中一代表示將積分上限代入被積函數(shù)，二導(dǎo)是積分上限的導(dǎo)數(shù)；第二步，根據(jù)極限類型，對(duì)應(yīng)選取最適合的方法計(jì)算極限。

10 總結(jié)

本文在“三教”改革背景下，以提高高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量為目標(biāo)，積極探索不同類型函數(shù)在求極限時(shí)的計(jì)算方法，始終帶領(lǐng)學(xué)生沿著發(fā)現(xiàn)問題→思考問題→解決問題的主線，旨在通過邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亩鄻邮浇虒W(xué)方法，由淺入深地帶領(lǐng)學(xué)生去思考、探索、實(shí)踐，在過程中以學(xué)生為中心培養(yǎng)一定的數(shù)學(xué)思維能力，以及發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力，達(dá)到立德樹人的根本目標(biāo)。在以上幾種計(jì)算極限的方法中，我們發(fā)現(xiàn)，選擇合適的計(jì)算方法可以簡化計(jì)算獲得事半功倍的效果，現(xiàn)將如何選擇適當(dāng)?shù)臉O限計(jì)算方法思路總結(jié)如下：

（1）當(dāng)函數(shù)中出現(xiàn)符合等價(jià)無窮小代換的量時(shí)，優(yōu)先進(jìn)行等價(jià)無窮小代換（要注意等價(jià)無窮小代換的前提條件：（方法四）；（2）當(dāng)極限中出現(xiàn)變上限積分時(shí)，用洛必達(dá)法則對(duì)分子分母同時(shí)求導(dǎo)，變上限積分求導(dǎo)時(shí)分兩步（一代二導(dǎo)）（方法九）；（3）直接代入后，根據(jù)極限不同類型對(duì)應(yīng)選擇不同的計(jì)算方法（見表1）。

表1