彈簧基非線性能量阱的剛度誤差許可范圍研究

杜錦龍，唐明君

(1.天津理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院天津市先進(jìn)機(jī)電系統(tǒng)設(shè)計(jì)與智能控制實(shí)驗(yàn)室，天津 300384；2.天津理工大學(xué)機(jī)電工程國(guó)家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心，天津 300384)

0 引言

振動(dòng)現(xiàn)象在工程的各個(gè)領(lǐng)域普遍存在，高效地降低機(jī)器的振動(dòng)對(duì)提高產(chǎn)品的加工質(zhì)量，增長(zhǎng)機(jī)器的有效使用時(shí)間和機(jī)器的安全性尤為重要[1-2]。非線性能量阱擁有較小的質(zhì)量以及較寬的減振頻帶等優(yōu)點(diǎn)，在現(xiàn)代工程中有良好的應(yīng)用前景[3-5]。楊豪[6]等人研究了混合阻尼對(duì)非線性能量阱吸振效果的影響。熊懷[7]等人基于傳遞和耗散能量的方向，提出一個(gè)擁有較好吸振作用的立方非線性能量阱。

張也弛[8]研究了一種由兩自由度非線性能量阱和單自由度吸振器構(gòu)成的減振裝置，該裝置有較好的振動(dòng)抑制效果。王國(guó)旭[9]等人研究了含有兩個(gè)彈簧的非線性能量阱在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的優(yōu)化問題。楊一帆[10]研究了一種兩自由度非線性能量阱。該系統(tǒng)相對(duì)于單自由度NES能夠高效抑制主結(jié)構(gòu)的振動(dòng)。Gourc[11]等人研究了在車削過程中出現(xiàn)不穩(wěn)定的顫振時(shí)，非線性能量阱的被動(dòng)控制問題。劉艮[12]等人研究了非線性能量阱對(duì)懸臂矩形板振動(dòng)的抑制。Wang[13]等人提出了一種新的軌道雙穩(wěn)態(tài)非線性能量阱，目的是解決傳統(tǒng)軌道結(jié)構(gòu)對(duì)能量的依賴問題。

陳建恩[14]等人提出了一種剛度遞減的非光滑吸振器，該吸振器能夠消除穩(wěn)定的高分支響應(yīng)。Li[15]等人提出了一種分段線性非線性能量阱，用于同時(shí)抑制振動(dòng)和收集能量。陳建恩[16]等人對(duì)比了并聯(lián)吸振器和單自由度吸振器的吸振效能，發(fā)現(xiàn)前者吸振能力優(yōu)于后者。孫敏[17]等人研究了串聯(lián)和并聯(lián)非線性能量阱的擇選以及對(duì)此兩種能量阱提高吸振效率的研究。

具有純立方剛度的非線性能量阱因具有寬頻吸振能力而受到廣泛關(guān)注，然而，在實(shí)際工程中實(shí)現(xiàn)并長(zhǎng)時(shí)間保持NES的純非線性剛度特性具有一定的困難。鑒于此，本文研究了純立方剛度彈性元件在實(shí)現(xiàn)過程中存在較小偏差時(shí)，非線性能量阱的失效情況。例如，當(dāng)實(shí)現(xiàn)純立方剛度的橫置線性彈簧元件在使用中受到壓縮時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生較小的負(fù)線性剛度，進(jìn)而會(huì)對(duì)吸振器吸振效能產(chǎn)生影響。

彭獻(xiàn)[18]等人對(duì)負(fù)剛度彈簧系統(tǒng)進(jìn)行了研究，并且對(duì)此系統(tǒng)的能量進(jìn)行分析。研究表明具有負(fù)剛度彈簧的振動(dòng)系統(tǒng)擁有較低的固有頻率、較大的承載能力、較好的隔振效果等優(yōu)點(diǎn)。王維銳[19]等人研究了一種利用負(fù)剛度來控制車懸架的方法。蘇智偉[20]等人研究了一種含負(fù)剛度混合隔振系統(tǒng)，該系統(tǒng)能夠在較大載荷下依然保持較好的吸振效能。

目前大部分非線性能量阱的研究都沒有完全考慮到實(shí)際安裝情況，缺少由于安裝誤差或長(zhǎng)期服役導(dǎo)致的較小正或負(fù)剛度對(duì)非線性能量阱吸振效能的影響的研究。本文研究了單自由度吸振器和串聯(lián)兩自由度吸振器在這些情況下的剛度誤差許可范圍，進(jìn)而推進(jìn)非線性能量阱在工程中的應(yīng)用。

1 單自由度吸振器吸振效能研究

由單自由度吸振器和單自由度線性主結(jié)構(gòu)組成的系統(tǒng)如圖1所示(當(dāng)吸振器僅具有非線性剛度時(shí)，即構(gòu)成所謂的非線性能量阱)，其動(dòng)力學(xué)方程為：

(1)

(2)

目前，實(shí)現(xiàn)純立方剛度最常用的方式是利用垂直于質(zhì)量塊運(yùn)動(dòng)方向的兩根線性彈簧，圖2[21]給出了其示意圖。

質(zhì)量塊的運(yùn)動(dòng)被限制在X軸方向上，線性彈簧的兩端分別與質(zhì)量塊和支座鉸接。其中彈簧線性剛度系數(shù)為K，原長(zhǎng)為L(zhǎng)，鉸支座與振子距離為l。

當(dāng)振子中的彈簧處于自由伸長(zhǎng)狀態(tài)時(shí)，吸振器僅具有純立方剛度；當(dāng)振子中的彈簧處于拉伸狀態(tài)(l>L)時(shí)，除具有純立方剛度外，該吸振器還存在正線性剛度；當(dāng)振子中的彈簧處于壓縮狀態(tài)(l

根據(jù)靜力學(xué)分析可得回復(fù)力函數(shù)：

(3)

將F(X)對(duì)X進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(展開前2項(xiàng))得：

(4)

令L=0.2 m，當(dāng)彈簧被壓縮時(shí)，質(zhì)量塊會(huì)偏離圖2中所示的位置，根據(jù)彈簧被壓縮量的不同，可以通過勾股定理算出質(zhì)量塊的初始位置并將其用于后續(xù)計(jì)算。

令主結(jié)構(gòu)剛度k1=100 N/m，主結(jié)構(gòu)質(zhì)量M=1 kg，吸振器中小質(zhì)量塊的質(zhì)量為0.05 kg，吸振器中的線性彈簧的剛度系數(shù)K取兩個(gè)值，分別為150 N/m和500 N/m，主結(jié)構(gòu)和吸振器的線性阻尼系數(shù)均為0.01 Ns/m，則可以得出表1。

表1 彈簧具有不同壓縮程度和K值時(shí)的k2、k3值和質(zhì)量塊初始位置

主結(jié)構(gòu)能量的計(jì)算公式為：

(5)

沖擊載荷F為半波形式：

(6)

其中，T=0.4/π。

如圖3(a)所示，當(dāng)彈簧剛度系數(shù)為500 N/m且壓縮量為0.003 m時(shí)，吸振器吸振效能曲線出現(xiàn)較大波動(dòng)；如圖3(b)，當(dāng)彈簧剛度系數(shù)為150 N/m且壓縮量為0.006 m時(shí)，吸振效能曲線才會(huì)出現(xiàn)波動(dòng)?？梢缘贸?，彈簧的線性剛度系數(shù)越小，吸振器的剛度具有較大誤差允許范圍。彈簧剛度系數(shù)為150 N/m且壓縮量為0.002 m時(shí)，吸振器在較小載荷下的吸振效能比同等壓縮量下，線性剛度系數(shù)為500 N/m時(shí)的吸振效能高。吸振器在較大載荷下，兩個(gè)吸振器吸振效能曲線趨勢(shì)大致相同，可以得出，吸振器受到較小載荷且彈簧受到相同壓縮量的情況下，線性剛度系數(shù)越大，吸振器的吸振效能越低。

彈簧剛度系數(shù)為500 N/m且壓縮量為0.001 m時(shí)的吸振效能比同等剛度下彈簧自由伸長(zhǎng)狀態(tài)時(shí)的吸振效能高，彈簧剛度為150 N/m且壓縮量為0.002 m時(shí)的吸振效能比同等剛度系數(shù)下彈簧自由伸長(zhǎng)狀態(tài)時(shí)的吸振效能高。可以得出，不論彈簧的剛度系數(shù)取值的大小，彈簧具有一個(gè)很小的壓縮量，能夠使吸振器的吸振效能大于同等條件下彈簧處于自由伸長(zhǎng)狀態(tài)時(shí)的吸振效能。

上文研究了吸振器中的彈簧在不同壓縮狀態(tài)下的吸振效能，下面將研究彈簧在不同拉伸狀態(tài)下的情況，可以得出表2。

表2 彈簧具有不同拉伸程度和K值時(shí)的k2、k3值和質(zhì)量塊初始位置

得出彈簧具有不同K值時(shí)吸振器在不同的彈簧拉伸量下的吸振效能，如圖4。

如圖4(a)所示，吸振器在較小載荷下，彈簧剛度系數(shù)為500 N/m且拉伸量為0.001 m時(shí)吸振器的吸振效能大于相同剛度系數(shù)條件下彈簧處于自由伸長(zhǎng)狀態(tài)時(shí)的吸振效能。如圖4(b)所示，吸振器在較小載荷下彈簧拉伸量為0.002 m、0.004 m、0.006 m時(shí)的吸振效能比彈簧自由伸長(zhǎng)狀態(tài)時(shí)的吸振效能高?？梢缘贸?，吸振器在較小載荷下，彈簧具有一定伸量時(shí)的吸振效能比彈簧自由伸長(zhǎng)狀態(tài)時(shí)的吸振效能高。具有純非線性剛度的吸振器具有一定的激發(fā)閾值，只有外激勵(lì)達(dá)到該值，吸振器才能夠較好地發(fā)揮作用。

如圖4(a)所示，彈簧剛度系數(shù)為500 N/m且彈簧拉伸量大于0.003 m時(shí)，吸振器的吸振效能始終約為20%；如圖4(b)所示，當(dāng)彈簧剛度系數(shù)為150 N/m且拉伸量為0.008 m時(shí)的吸振效能仍保持在40%左右，比前者的吸振效能高。可以得出，彈簧剛度系數(shù)越小，彈簧的可拉伸范圍就會(huì)越大。而且，載荷增大到一定程度后，相同的剛度系數(shù)下，彈簧的拉伸量越大，吸振器的吸振效能越低。

如圖4所示，在彈簧的拉伸量為0.002 m時(shí)，剛度系數(shù)為150 N/m時(shí)的吸振效能比剛度為500 N/m時(shí)的吸振效能高?？梢缘贸觯趶椈傻睦炝恳欢〞r(shí)，彈簧的剛度系數(shù)越小，吸振器的吸振效能越高。在系統(tǒng)受到小載荷時(shí)，不論彈簧剛度系數(shù)取值的大小，只要彈簧處于自由伸長(zhǎng)狀態(tài)，吸振器的吸振效能均約為50%，在吸振器受到載荷約為5 N時(shí)的吸振效能達(dá)到峰值，隨著載荷不斷增加，吸振效能逐步下降，吸振效能下降的快慢取決于彈簧的剛度系數(shù)，其剛度系數(shù)越大，吸振器的吸振效能下降得越快。由圖4還可以看出，不論彈簧的剛度系數(shù)取值的大小和拉伸量數(shù)值的大小，其吸振效能曲線始終是平滑的。

2 串聯(lián)兩自由度NES吸振效能研究

本節(jié)將研究?jī)勺杂啥任衿髦袕椈稍诶旎蛘邏嚎s狀態(tài)且彈簧剛度系數(shù)均為150 N/m時(shí)的吸振效能。

由串聯(lián)兩自由度吸振器和單自由度線性主結(jié)構(gòu)組成的系統(tǒng)如圖5所示，其動(dòng)力學(xué)方程為：

(7)

(8)

(9)

吸振器中兩個(gè)小質(zhì)量塊的質(zhì)量均為0.025 kg，兩個(gè)線性阻尼系數(shù)均為0.005 Ns/m，主結(jié)構(gòu)參數(shù)保持不變，研究第一、二級(jí)吸振器中彈簧在不同拉伸或壓縮量下，吸振器的吸振效能變化。首先研究?jī)H拉伸第一級(jí)彈簧或第二級(jí)彈簧，對(duì)吸振器吸振效能的影響。如圖6所示，吸振器在較小載荷下，僅第一級(jí)吸振器具有正線性剛度時(shí)，誤差許可范圍較大。隨著載荷的增加，增大某一級(jí)吸振器正線性剛度會(huì)使吸振效能有所降低。

下面將研究第一、二級(jí)吸振器中兩個(gè)彈簧都處于拉伸狀態(tài)時(shí)的吸振效能，首先要研究第一級(jí)彈簧拉伸量固定時(shí)，第二級(jí)彈簧在不同拉伸量的影響下吸振器的吸振效能。如圖7(a)所示，隨著第二級(jí)吸振器正線性剛度的增加，吸振效能逐步下降，同樣地，如圖7(b)所示，吸振效能同樣降低，且在第二級(jí)吸振器具有較大正線性剛度時(shí)，吸振效能已不足50%。

圖8給出了第二級(jí)彈簧拉伸量固定時(shí)，第一級(jí)彈簧在不同拉伸量下的吸振效能。不論第二級(jí)吸振器正線性剛度數(shù)值的大小，增加第一級(jí)吸振器正線性剛度，吸振效能逐步下降。對(duì)比圖7和圖8可知，第二級(jí)吸振器對(duì)于彈性元件拉伸的許可范圍稍大于第一級(jí)吸振器。

圖9給出了第一、二級(jí)彈簧壓縮時(shí)的吸振效能。先研究?jī)H壓縮第一級(jí)彈簧和第二級(jí)彈簧時(shí)的吸振效能。

如圖9(a)所示，第一級(jí)吸振器負(fù)線性剛度的增加不會(huì)降低吸振效能，反而會(huì)使吸振效能有所增加。如圖9(b)所示，第二級(jí)吸振器具有負(fù)線性剛度且吸振器在較大載荷下，才能得到較大的吸振效能，吸振效能曲線大致和圖9(a)一致?？梢缘贸?，第一級(jí)吸振器具有負(fù)線性剛度時(shí)，誤差許可范圍較大。

對(duì)比圖6和圖9，可以得出某一級(jí)吸振器具有負(fù)線性剛度時(shí)的吸振效能比其具有正線性剛度時(shí)的吸振效能高，該結(jié)論和關(guān)于單自由度吸振器的結(jié)論定性上一致。

研究第一、二級(jí)彈簧都處于壓縮狀態(tài)時(shí)的吸振效能。首先研究當(dāng)?shù)谝患?jí)彈簧處于某個(gè)固定壓縮量下，第二級(jí)彈簧在不同壓縮量下的吸振效能，如圖10。

如圖10(a)所示，第二級(jí)吸振器負(fù)線性剛度數(shù)值的大小不會(huì)影響吸振效能。但是，當(dāng)?shù)谝患?jí)彈簧壓縮量增大后，增加第二級(jí)吸振器負(fù)線性剛度，吸振效能曲線就會(huì)出現(xiàn)較大波動(dòng)，如圖10(b)所示。但在較大載荷下，吸振效能曲線又回到相對(duì)較高位置。對(duì)比圖7和圖10，第一級(jí)吸振器具有負(fù)線性剛度時(shí)的吸振效能比其具有正線性剛度時(shí)的吸振效能高。

圖11給出了當(dāng)?shù)诙?jí)彈簧處于某個(gè)固定壓縮量時(shí)，第一級(jí)彈簧在不同壓縮量下的吸振效能。

吸振器在較大載荷下，不論第二級(jí)吸振器負(fù)線性剛度數(shù)值的大小，吸振效能都很高。但是，第一級(jí)吸振器負(fù)線性剛度越大，在較小載荷下，吸振效能曲線越容易出現(xiàn)波動(dòng)，隨著載荷的增加，吸振效能曲線又回到較高位置且趨于平穩(wěn)。對(duì)比圖10和圖11可知，第二級(jí)吸振器對(duì)于彈性元件壓縮的許可范圍稍大于第一級(jí)吸振器。對(duì)比圖8和圖11，可以得出，第二級(jí)吸振器具有負(fù)線性剛度時(shí)的吸振效能比其具有正線性剛度時(shí)的吸振效能高。

3 結(jié)論

目前，關(guān)于非線性能量阱的研究較少考慮到實(shí)際安裝情況，缺少由于安裝誤差或長(zhǎng)期服役導(dǎo)致的較小正或負(fù)線性剛度對(duì)非線性能量阱吸振效能的影響的研究。本文研究了單自由度和串聯(lián)兩自由度非線性能量阱在這些情況下的剛度誤差許可范圍，進(jìn)而推進(jìn)非線性能量阱在工程中的應(yīng)用。獲得的主要結(jié)論如下：

(1)無論單自由度吸振器還是兩自由度吸振器，相對(duì)于正線性剛度，彈性元件對(duì)于負(fù)線性剛度的誤差許可范圍較大，當(dāng)彈性元件適當(dāng)?shù)呢?fù)剛度時(shí)，甚至能夠提升吸振器的性能。

(2)對(duì)于兩自由度吸振器，第一級(jí)或第二級(jí)吸振器具有負(fù)線性剛度時(shí)的吸振效能比其具有正線性剛度時(shí)的吸振效能高。第二級(jí)吸振器對(duì)于彈性元件拉伸或壓縮的許可范圍稍大于第一級(jí)吸振器。