一道高考題的解法探究和問題深化

257051 山東省東營市勝利第二中學(xué) 王建敏 劉吉存

解析幾何中的定值問題歷來是高考的熱點、難點，它能有效考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).如2021年全國新高考Ⅰ卷第21題就是一道背景新穎、內(nèi)涵豐富的試題.筆者對這道題進(jìn)行多角度探究.

1 試題呈現(xiàn)

(1)求C的方程；

分析：本題以雙曲線為背景，考查定值問題.小問(1)是求有限制條件的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程問題，比較基礎(chǔ).小問(2)是在線段等積式條件下，求兩直線的斜率之和，是求隱含斜率和為定值的問題.幾何背景是圓錐曲線的四點共圓，結(jié)論是所成四邊形的對邊(不平行時)或兩對角線所在直線的傾斜角互補，當(dāng)斜率均存在時，所在直線的斜率互為相反數(shù)，是直線與雙曲線的綜合題.本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)及方程思想，還考查了計算能力及轉(zhuǎn)化思想、推理論證能力，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).

2 解法探究

以下解法略去小問(1)，只研究小問(2).

注：這是一種常規(guī)解法，利用弦長公式，借助韋達(dá)定理將線段問題轉(zhuǎn)化為直線斜率問題.求定值問題的常見方法有以下兩種.

(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān).

(2)直接推理、計算，并在計算、推理的過程中消去變量，從而得到定值.

這里的二次項系數(shù)一定不為0，否則直線與雙曲線的漸近線平行，不可能與雙曲線有兩個交點.關(guān)于t的二次方程的判別式大于0?直線AB和直線PQ與雙曲線各有兩個交點?直線AB和直線PQ的斜率之和為0.

注：對于分點弦問題，基本的解題策略是利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，理解|TA|，|TB|與t1，t2的關(guān)系，利用參數(shù)的幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化并轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值進(jìn)行計算，解答過程簡潔.

注：利用曲線系和四點共圓，再根據(jù)圓的方程的特征更快捷地得到結(jié)論.

3 問題深化

本試題源于人教版高中數(shù)學(xué)教材選修4-4第38頁例4：“AB，CD是中心為點O的橢圓的兩條相交弦，交點為P，兩弦AB，CD與橢圓長軸的夾角分別為∠1、∠2，且∠1=∠2.求證|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.”此題所考查的實質(zhì)就是圓錐曲線的四點共圓問題，是圓冪定理的逆定理的應(yīng)用.

3.1 四點共圓的判定

圖1圖2

3.2 m范圍的探討

綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)點T的縱坐標(biāo)m∈(-2,2)時，A，B，P，Q四點均存在，此時直線AB與直線PQ斜率之和為0.

3.3 一般化

3.3.1 問題拓展

綜上所述，直線AB與直線PQ的斜率之和為0.反之，當(dāng)直線AB與直線PQ的斜率之和為0時，借助同樣的思路可以證明|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|.其中m，n只需滿足Δ=(32ncosα-2msinα)2-4(16cos2α-sin2α)(16n2-m2-16)>0即可，即m2-2mntanα+(n2-1)tan2α+16>0.

3.3.2 圓錐曲線上四點共圓的一般性結(jié)論與統(tǒng)一證明

定理若兩條直線y=kix+bi(i=1,2)與圓錐曲線ax2+by2+cx+dy+e=0(a≠b)有四個交點，則四個交點共圓的充要條件是k1+k2=0.

證明：兩條直線組成的曲線方程為(k1x+b1-y)·(k2x+b2-y)=0，則過四個交點的曲線方程可以設(shè)為(k1x+b1-y)·(k2x+b2-y)+λ(ax2+by2+cx+dy+e)=0 ①.

必要性若四點共圓，則方程①表示圓，則①式左邊展開式中xy項的系數(shù)為0，即k1+k2=0.

方程②的幾何意義是如下三種情形之一：表示一個圓、表示一個點、無軌跡.由題設(shè)知四個交點在方程②所表示的曲線上，故方程②表示圓.

注：(1)方程ax2+by2+cx+dy+e=0(a≠b)是對稱軸平行于坐標(biāo)軸的圓錐曲線(圓除外)的統(tǒng)一形式，統(tǒng)一的證明必須有統(tǒng)一的表現(xiàn)形

式.從統(tǒng)一的思想高度來思考問題，必須求大同存小異，考慮共性的特征，否則，會陷入細(xì)枝末節(jié)中而不能自拔.本證法是數(shù)學(xué)形式化與數(shù)學(xué)本質(zhì)的完美結(jié)合，證法簡潔、大氣，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的形式美、簡潔美與和諧統(tǒng)一之美.

(2)k1+k2=0是四點共圓的充要條件，λ是一個與k1，k2相伴隨的待定常數(shù)，只要存在這樣的常數(shù)使方程①表示圓即可.

上述定理用文字表述即為：斜率均存在的兩條直線與圓錐曲線有四個交點，則四個交點共圓的充要條件是兩直線的斜率互為相反數(shù).這是一個非常簡潔的充要條件，運用這個定理可簡潔解決圓錐曲線上四點共圓的高考難題和數(shù)學(xué)問題.