基于雙階段互信息準則的多目標檢測波形設計

肖 宇, 鄧正宏, 張 展

(1. 西北工業(yè)大學自動化學院, 陜西 西安 710072; 2. 空軍工程大學防空反導學院, 陜西 西安 710051)

0 引 言

認知雷達根據(jù)目標-環(huán)境相互作用信息,調(diào)整雷達發(fā)射波形或接收處理,將有限資源優(yōu)化分配,從而提高復雜環(huán)境下的雷達系統(tǒng)性能[1]。自Haykin等[2]提出認知雷達系統(tǒng)架構(gòu)起,結(jié)合序貫假設檢驗方法,已成為目標檢測問題的首選框架,與經(jīng)典假設檢驗方法相比,序貫假設檢驗可根據(jù)先前的觀察調(diào)整發(fā)射波形,以減少所需的發(fā)射脈沖次數(shù),這允許在更短的檢測時間,達到設定檢測概率,而不會影響雷達檢測性能。

在針對多目標檢測的雷達波形設計研究中,常用的波形優(yōu)化準則包括互信息(mutual information, MI)[3-5]、信噪比(signal-to-noise ratio, SNR)[6]、KL散度(Kullback-Leibler divergence, KLD)[7]、模糊函數(shù)[8]等。將序貫檢測和波形設計相結(jié)合,設計序貫檢測波形對多目標場景進行探測,使雷達系統(tǒng)達到參數(shù)估計最優(yōu),從而大大降低做出目標判決所需的脈沖數(shù)量,文獻[9]提出了基于序貫假設檢驗框架的自適應波形設計方法,雷達利用優(yōu)化波形更新目標假設的概率,通過閉環(huán)反饋進行波形迭代設計。Romero等[10]基于SNR和MI準則設計了兩種匹配于目標的發(fā)射波形,并用于多元假設檢驗的目標分類,由于波形設計側(cè)重于驗證與目標的匹配性能,所以沒有進行閉環(huán)反饋迭代。文獻[11]從信號頻域特性驗證了基于最優(yōu)波形的序貫假設檢驗算法能顯著減少發(fā)射脈沖次數(shù),并在信雜噪比和檢測概率上進行均衡處理,取得較好的性能。在假設檢驗過程中,KLD準則常用于減小序貫多輸入多輸出(multiple input multiple output, MIMO)雷達的檢測次數(shù)。文獻[12]分別使用基于MI和KLD準則優(yōu)化的波形來更新目標假設概率,通過每個假設的最佳波形與概率的加權(quán)和進行多目標識別,有效減少了用于多目標識別的發(fā)射波形次數(shù)。上述文獻通過波形優(yōu)化提升了多目標檢測、識別性能,但在實際雷達檢測環(huán)境中,隨著目標運動關系的變化,SNR會隨發(fā)射脈沖而改變,不同SNR下檢測性能會受到一定的限制,要確保高性能檢測,必須以SNR為約束,調(diào)整優(yōu)化發(fā)射波形。文獻[13]從頻域角度研究了信雜噪比約束下基于MI的波形設計,結(jié)果顯示信雜噪比約束下的優(yōu)化波形能更充分利用發(fā)射能量,在有目標且雜波弱的頻率點提取目標信號。

在多元假設檢驗環(huán)節(jié),除了降低發(fā)射脈沖數(shù)量以外,假設判決過程的參數(shù)估計是影響多目標檢測性能的另一個重要環(huán)節(jié),文獻[14]將多目標檢測問題建模為多元假設檢驗問題,通過最大似然估計準則確定目標參數(shù),采用最大化KLD準則設計波形來擴大多元假設之間的距離,進而縮減假設判決的時間,但參數(shù)估計是假設判決的基礎,基于KLD優(yōu)化的波形無法在發(fā)射脈沖數(shù)量、參數(shù)估計之間進行均衡,會降低多目標檢測性能。考慮到在針對參數(shù)估計的波形設計準則[15-18]中,基于MI準則設計的波形具有提升參數(shù)估計性能的特性,同時如果令多元假設之間的MI最小化,也可使得多元假設之間進行有效分離。基于這一思想及上述分析,本文針對多目標檢測問題,分析假設判決與目標參數(shù)之間的約束關系,考慮SNR的影響,基于兩階段MI準則優(yōu)化發(fā)射波形,提升多目標檢測性能。

1 多元假設檢驗模型

1.1 雷達信號模型

考慮一個緊湊型MIMO雷達系統(tǒng),其收發(fā)陣列為均勻線陣,陣元間距為d。定義第k次脈沖的傳輸波形矩陣為Sk,波形矩陣的第l列向量代表第l次采樣的數(shù)據(jù),波形矩陣的行向量對應于NT個發(fā)射單元傳輸?shù)男盘?即Sk∈CNT×L。發(fā)射信號通過NT個線陣單元向外輻射,經(jīng)目標和環(huán)境反射后,通過NR個線陣單元接收。當發(fā)射第k次脈沖信號時,接收信號Xk∈CNR×L可表示為

Xk=H(Φk)Sk+Nk

(1)

式中:Nk∈CNR×L為加性高斯白噪聲,即矩陣每一個元素都是均值為0,方差為σ2的高斯隨機變量;H(Φk)∈CNR×NT表示目標響應矩陣,是目標參數(shù)Φk的非線性函數(shù),該雷達信號模型沿用了文獻[16-17]表示的模型,具有一定的普適性。為使接收信號模型更具通用性,當環(huán)境中存在Q個目標時,可將目標響應矩陣表示為

(2)

式中:[αk]q表示為第q個目標的衰減幅度;aT([θk]q)∈CNT×1和aR([θk]q)∈CNR×1分別表示發(fā)射陣列和接收陣列的轉(zhuǎn)向矢量;[θk]q表示第q個目標的方向角度。

1.2 多元假設檢驗模型

目標檢測是從雷達視場環(huán)境中快速、準確地發(fā)掘目標,而多目標檢測則要求能夠確定目標數(shù)量,并估計目標位置[14]。MIMO雷達在對目標進行觀測時,當每個脈沖期間每個目標的方向角度θk和衰減幅度αk不同時,能夠有效對多目標進行分類。隨著認知雷達和波形設計技術的發(fā)展,波形設計結(jié)合序貫假設檢驗的方法能夠有效提升多目標檢測性能[9]。因此,根據(jù)目標響應矩陣情況,可將多目標檢測描述為一個多元假設檢驗模型,即：

(3)

(4)

2 檢驗判決與估計參數(shù)的約束關系

在多元假設檢驗過程中,對假設的確定通常以概率做出判決,序貫概率比檢驗是常用的方法,本節(jié)采用序貫概率比檢驗給出判決條件。經(jīng)過k次脈沖信號照射后,假設Hi與假設Hj之間的概率比表示為

(5)

εij=Pd{d=j|Hi},i≠j

(6)

根據(jù)序貫概率比檢驗[9]模型,給出假設判決條件為

(7)

當假設判決條件滿足式(7)時,判定正確假設為Hi;否則,需要不斷觀測新的接收數(shù)據(jù),做出再次判決。由于序貫概率比檢驗是基于貝葉斯方法,因此獲得錯誤概率εij需要準確了解目標的先驗概率。對于判決條件式(7)而言,錯誤概率εij通常是一個給定值,若εij能夠進行自適應調(diào)整,也能有效提升目標檢測性能,但關于εij的設計不在討論范圍。

(8)

(9)

考慮到序貫概率比是概率密度函數(shù)的比值,本節(jié)對目標參數(shù)的估計采用粒子濾波的方式進行估計。對于粒子濾波而言,任意概率分布P(Φk|Xk-1,Sk-1)可采用離散粒子集進行蒙特卡羅近似,即：

(10)

P(Φk|Xk,Sk,Xk-1,Sk-1)=
P(Xk|Φk,Sk)P(Φk|Xk-1,Sk-1)

(11)

所以,目標參數(shù)估計值表示為

(12)

(13)

3 提升目標檢測性能的波形設計

根據(jù)第2節(jié)分析,多元假設檢驗的關鍵因素是參數(shù)估計和波形設計,而通過波形設計又能提升參數(shù)估計性能,因此本節(jié)將根據(jù)多元假設檢驗判決與估計參數(shù)的約束關系,進行自適應波形設計。目前,針對參數(shù)估計的波形設計準則有最小均方誤差(minimum mean square error,MMSE)[15]、MI[3-5]、RM界(Reuven-Messer bound,RMB)[17]等,本節(jié)以MI作為準則對波形進行設計,根據(jù)MIMO雷達信號模型,可得接收信號Xk與目標響應H(Φk)之間的MI表示[4]為

(14)

在多假設檢驗中,每個假設都有對應的MI(Xk;H(Φk)|Sk),都可以通過最大化MI為準則設計優(yōu)化波形,然而很難通過某一個假設設計的波形Sk使得所有假設的MI最大,同時,由于每次接收觀測信號的不同,使得每個假設的概率均會發(fā)生變化。設計波形的最終目標是使得假設檢驗聚焦于真實假設,并使真實假設的概率最大。若以每個假設的后驗概率作為權(quán)重,結(jié)合以MI最大化為準則優(yōu)化波形,以所有假設的權(quán)重與波形乘積和設計多假設檢驗發(fā)射波形,從理論上而言是一種提升參數(shù)估計和目標檢測性能的方法。

另外,在多元假設檢驗中,當以任意兩個假設之間的MI最小化設計波形時,此時假設之間能夠進行快速分離,縮短假設檢驗時間,減少發(fā)射脈沖數(shù)量,進而提升目標檢測性能。若以每個假設最大化MI為準則設計波形為庫,根據(jù)任意兩個假設之間的MI最小化為準則選擇波形,以假設的權(quán)重與波形乘積和設計多假設檢驗發(fā)射波形,是另一種提升多目標檢測性能的方法。

基于以上思路,考慮SNR對參數(shù)估計性能的影響,本文以SNR作為約束條件,設計兩階段的多目標檢測波形。

3.1 基于單假設MI最大化的波形設計

假設雷達的最大發(fā)射能量為P0,SNR閾值為SNR0,在SNR和能量約束下,任一假設接收信號與目標響應之間MI最大化的波形設計目標函數(shù)可表示為

(15)

(16)

同理,對SNR約束和能量約束進行化簡,可表示為

(17)

(18)

因此,波形設計目標函數(shù)式(15)可轉(zhuǎn)換為

(19)

(20)

(21)

(22)

因而,波形優(yōu)化的目標函數(shù)式(19)可進一步轉(zhuǎn)化為

(23)

該目標函數(shù)的優(yōu)化變量為σs k,注意到,此時目標函數(shù)是一個凸函數(shù),約束條件與σs k線性相關,因此該優(yōu)化問題為凸優(yōu)化問題,可通過拉格朗日乘子法進行求解,即:

(24)

式中:λ1≥0和λ2≥0分別對應SNR約束和能量約束的拉格朗日乘子。對L(σs k,λ1,λ2)關于σs k求導數(shù),并令導數(shù)為0,可得σs k的方程式解表示為

(25)

(26)

在無SNR約束的情況下,該優(yōu)化波形表示為

(27)

(28)

(29)

(30)

3.2 基于雙假設MI最小化的波形設計

基于雙假設MI最小化的波形設計分為兩步:第一步,以基于單假設最大化MI為準則設計波形,并建立波形庫;第二步,根據(jù)兩個假設之間的MI最小化為準則從波形庫中選擇優(yōu)化波形。根據(jù)MI定義,假設Hi與假設Hj輸出信號Xik與Xjk之間的MI可表示為

(31)

結(jié)合雷達信號模型及熵計算公式,可得

MI(Xik,Xjk)=-Nln[det(IN-D2)]

(32)

式中:IN表示單位矩陣;D矩陣表示協(xié)方差矩陣RHi,Hj奇異值分解后的對角矩陣。協(xié)方差矩陣RHi,Hj[18]可表示為

(33)

式中：Xik、Xjk分別表示假設Hi與假設Hj時輸出信號;RXik、RXjk、RXik,Xjk分別表示為

(34)

(35)

(36)

此時,波形優(yōu)化準則可表示為

(37)

(38)

4 仿真及結(jié)果分析

本節(jié)主要以多元假設檢驗中參數(shù)估計精度、發(fā)射脈沖數(shù)量、檢測概率等為檢驗指標,對基于雙階段MI準則設計的波形進行驗證。對基于單假設MI最大化設計(簡寫為maxMI)、基于雙假設MI最小化設計(簡寫為minMI)的波形進行仿真,考慮到文獻[4]設計的波形為無SNR約束的估計波形(簡寫為maxMI-NoSNR波形),可作為本文參數(shù)估計階段的對比方案,可與maxMI波形進行對比。當以文獻[4]設計的波形為波形庫,結(jié)合基于雙假設MI最小化設計的波形為雙階段設計波形(簡寫為minMI-NoSNR波形),可與minMI波形進行對比,同時加入正交波形這一基準對比方案,對本文設計波形提升檢測性能的情況進行驗證。

假設雷達探測目標為點目標,MIMO雷達的發(fā)射與接收陣元數(shù)量一致,且NT=NR=6,陣元間距為波長的1/2,發(fā)射能量設置為0.1 J。借鑒文獻[16]波形優(yōu)化特性,本文方法可應用于目標參數(shù)Φk隨脈沖個數(shù)k的變化而變化,但為了驗證自適應波形對參數(shù)估計性能的提升,本節(jié)仿真中設定目標參數(shù)Φk保持靜止。假設空間中有3個目標,波形信號經(jīng)目標反射后的衰減幅度一致,均為1,不同之處在于3個目標的角度不同,假設三者偏離波束中心線的角度分別為-33°、0°、30°,設定波形SNR約束閾值SNR0為-3 dB。

4.1 參數(shù)估計性能

從圖1可知,隨著發(fā)射脈沖數(shù)的增長,目標參數(shù)的MMSE在減小,minMI波形能夠獲得最好的參數(shù)估計性能,由于minMI波形是從maxMI波形庫中選擇發(fā)射波形,從理論推導上就具有參數(shù)估計的先驗優(yōu)勢,在多假設概率迭代的基礎上,能夠更快地降低目標參數(shù)的MMSE,仿真結(jié)果驗證了理論的可行性。又因為minMI波形是在maxMI波形的基礎上乘以各假設的概率權(quán)重,使得參數(shù)估計MMSE波動更為平緩。而minMI-NoSNR波形的參數(shù)估計性能,因為缺乏對SNR閾值的自適應調(diào)整,會弱于minMI波形,但時而優(yōu)于maxMI波形時而弱于maxMI波形,原因在于多假設概率權(quán)重迭代帶來的波動。同時,maxMI波形設計受到SNR約束,隨著脈沖數(shù)的增加,SNR發(fā)生變化,使得參數(shù)估計MMSE出現(xiàn)一定的波動,但參數(shù)估計性能會優(yōu)于maxMI-NoSNR波形。

4.2 目標檢測性能

同時,采用正交波形、maxMI波形、maxMI-NoSNR波形、minMI-NoSNR波形進行序貫檢測,可得正交波形獲得正確判決的脈沖數(shù)為34個,maxMI波形獲得正確判決的脈沖數(shù)為31個,maxMI-NoSNR波形獲得正確判決的脈沖數(shù)為33個,minMI-NoSNR波形獲得正確判決的脈沖數(shù)為29個,也就是說minMI波形能夠有效縮短目標檢測的時間。

在圖2中,隨著脈沖數(shù)的增加,每個假設的概率都在發(fā)生波動,這和假設中的目標響應協(xié)方差矩陣的變化有關,在每次發(fā)射波形后,估計參數(shù)都發(fā)生變化,進而引起了各假設概率的波動。相應地給出5種波形的目標檢測性能,如圖3所示。

從圖3可知,隨著脈沖數(shù)的增加,由于參數(shù)估計精度的增加,當前脈沖獲得的SNR也在增加,使得檢測概率在同步增加,minMI波形能夠獲得最好的目標檢測性能,其次是maxMI波形、minMI-NoSNR波形,之后是maxMI-NoSNR波形。在脈沖數(shù)積累到一定程度時minMI-NoSNR波形會優(yōu)于maxMI波形帶來的檢測性能。據(jù)此,給出minMI波形以及對應的角度概率密度與發(fā)射脈沖數(shù)量的關系如圖4所示。

從圖4中可知,隨著脈沖數(shù)的增加,目標在-33°、0°、30° 3個角度上的概率分布更為聚焦,當脈沖數(shù)達到25次時,獲得最大的概率分布。但在脈沖數(shù)為14次時,3個目標的角度概率分布已經(jīng)出現(xiàn)聚焦的現(xiàn)象,此時假設H7的概率已經(jīng)領先于其他假設的概率,檢測概率也接近于1,在第14個脈沖以前,目標參數(shù)MSE變化更陡峭,檢測性能也提升較快,可見,自適應波形設計總會超前于目標檢測性能和估計性能的變化。

5 結(jié) 論

為提升多目標檢測性能,本文以假設檢驗判決與估計參數(shù)的約束關系為紐帶,提出了以SNR為約束基于單假設MI最大化設計的波形,并以此為基礎提出了基于雙假設MI最小化的波形設計方法,仿真結(jié)果表明,基于雙假設MI最小化的波形能夠有效提升目標參數(shù)估計性能,進而提升多目標檢測性能。由于目標信號模型中只考慮了噪聲的影響,因此該波形設計方法對環(huán)境中出現(xiàn)干擾的情況,需要做出改進。另外,針對假設檢驗判決閾值自適應變化、設計適用于目標運動的波形為下一步研究波形設計提供了方向。