大落角機動目標逆軌攔截最優滑模制導律設計

周夢平, 孟秀云, 劉俊輝

(北京理工大學宇航學院, 北京 100081)

0 引 言

在戰場上，為了獲得更好的對陣地打擊效果,往往會要求火箭彈與制導炮彈具有較大落角，對陣地進行攻擊,同時火箭彈與制導炮彈在彈道末端通常具有較大的速度。這種在彈道末端具備大落角與較高速度的目標,是陣地防空中的一大難題。為提高攔截概率,攔截彈可以采用逆軌攔截的方式進行迎面攔截。逆軌攔截時,導彈速度與彈目視線重合,導彈的法向過載與彈目視線垂直,能使導彈在制導末段具有較充裕的機動能力。

逆軌攔截問題可以看成是終端攻擊角約束問題,在具有終端角度約束的末端制導律設計中,應用最多的為變結構控制和最優控制思想。

文獻[7]最先將滑模變結構控制應用于空-空導彈的目標攔截問題,設計了以比例導引為基礎的滑模面。文獻[8]將目標的加速度認為是不確定項,采用變結構方法進行制導律設計。文獻[9]推導了一種帶落角約束的無奇點快速終端滑模制導律,并設計了非線性擾動觀測器，對擾動進行動態補償。文獻[10]提出了一種時變全局滑模控制方法,通過線性擴張狀態觀測器估計目標的加速度,推導了針對具有加速度機動目標的攻擊角約束制導律。文獻[11]將目標加速度信息作為擾動進行觀測補償,提出了一種考慮加速度飽和的落角約束制導律。考慮導彈自動駕駛儀的動態特性,文獻[12]基于滑模控制設計了角度約束制導律,文獻[13]提出了一種用于三維目標攔截的輸出反饋連續終端滑模制導律。針對非解耦的三維攔截問題,文獻[14]基于時基發生器函數提出了一種時變的滑模制導律,在滿足終端角度約束的同時實現視線角的有限時間收斂。

最優控制理論在制導律的設計中能夠綜合考慮各種約束,得到了廣泛應用。文獻[18]基于碰撞幾何提出了一種適用于順/逆軌攔截的最優制導律。文獻[19]對具有加速或減速的目標給出了統一的最優制導律。文獻[20]將與剩余飛行時間相關的函數作為性能指標,基于最優控制理論推導了帶落角約束的最優制導律。文獻[21]利用最優控制和微分對策理論,對任意階線性導彈動力學模型推導了具有角度約束的制導律。文獻[22]考慮導彈速度時變的情況,基于間接高斯偽譜法設計了帶有攻擊角度約束的最優中制導律。文獻[23]考慮導彈自動駕駛儀二階動態特性,采用高斯偽譜法設計了多約束條件下的三維最優中制導律。文獻[24]基于最優控制理論提出了一種同時具有攻擊角約束和攻擊時間約束的制導律,并解決了歧義性問題。文獻[25]提出了一種考慮攻擊角度約束和終端加速度約束的最優制導律,并且對導彈自動駕駛儀動態的不確定性具有一定魯棒性。

結合最優控制方法和變結構控制方法,文獻[26]基于視線角速度提出了最優滑模制導律,能夠對目標機動有較強的魯棒性。文獻[27]考慮目標機動和導彈自動駕駛儀特性,基于非奇異終端滑模面,利用狀態依賴黎卡提方程提出了最優滑模制導律。文獻[28]設計了一種帶落角約束的再入機動彈頭的復合導引律,該導引律在最優導引律的基礎上引入滑模變結構控制,增強導引律的魯棒性,并采用神經網絡自適應調節增益。文獻[29]考慮高度誤差,選取誤差作為切換函數,設計了帶有攻擊角約束的最優滑模制導律。文獻[30]提出了一種具有自適應滑模項的最優滑模制導律,提高了控制精度,解決了目標追蹤中的滯后問題。

但這些最優滑模制導律多數是基于零化導彈與目標的視線角速度來設計的,并且沒有基于李雅普諾夫穩定性理論對參數的設計進行分析。本文提出的逆軌攔截最優滑模制導律基于目標預測彈道,采用擴張狀態觀測器對目標彈道傾角進行估計,基于李雅普諾夫穩定性理論設計了參數的變化函數。最后，通過仿真分析對本文提出的制導律的性能進行驗證。

1 彈目相對運動方程

為了進行制導律設計,首先建立彈目相對運動方程。通常情況下,彈目相對運動關系可以解耦成俯仰和偏航兩個平面上的運動,本文將在縱向平面內建立彈目相對運動方程,并進行制導律的設計。

彈目相對運動關系如圖1所示。

圖1 彈目相對運動關系Fig.1 Relative motion relationship between missile and target

圖1中，與分別為導彈與目標的速度,與分別為導彈與目標的彈道傾角,0為初始時刻目標彈道傾角,與分別為導彈和目標的法向加速度,Δ為導彈到目標預測彈道的距離。由圖1可以推導出:

(1)

式中:與分別為導彈與目標的速度大小。

對式(1)進行求導:

(2)

(3)

(4)

式中:與分別為導彈和目標的加速度大小。

將導彈與目標的速度大小視為常值,式(2)化簡為

(5)

(6)

2 攻擊角約束最優滑模制導律設計

2.1 攻擊角約束最優制導律設計

將逆軌攔截的需求轉化成對導彈攻擊角的約束,基于最優理論進行帶攻擊角約束的最優制導律設計。

選擇脫靶量、攻擊角和控制能量作為最優性能指標,設計性能指標函數:

(7)

式中:,為脫靶量與攻擊角的權重系數;為角度終端約束,當目標無加速度機動時=0,表示終端時刻。根據上述性能函數,得到其哈密頓函數:

(8)

協態方程與橫截條件:

(9)

由式(9)推導可得

(10)

根據極小值原理可以得到控制方程:

(11)

式中:1,3為終端項;記=-,為剩余飛行時間。根據線性系統理論,線性時變系統非齊次狀態方程的解為

(12)

若不考慮目標做加速度機動,可以忽略式(12)右端第3項。根據式(12)可以得到終端項1,3的表達式:

(13)

式中:(,)為狀態轉移矩陣,滿足如下微分方程:

(14)

根據級數近似法

(15)

將式(13)右端第2項展開:

(16)

為了計算控制方程式(11)中的終端量1,3,定義新的變量:零控脫靶量(zero effort miss, ZEM)和零控角誤差(zero effort angle error, ZEAE)。

(17)

將式(16)與式(17)代入式(13)中，整理得到

(18)

其中

根據式(17)可以得到:

(19)

由式(18)與式(19)即可解得終端量1,3,將其代入式(11)，即可得到制導律表達式。

2.2 攻擊角約束最優滑模制導律設計

最優制導律具有較好的動態性能,但是對于系統參數攝動和外界干擾的魯棒性較差,而滑模制導律具有較強的抗干擾能力,因此將二者結合,設計一種對目標機動具有較強魯棒性、同時具有較好動態特性的新型制導律。

221 滑模制導律設計

為了滿足導彈對脫靶量與攻擊角約束的要求,將彈目距離、攻擊角作為控制目標,即=0,=,因此設計如下滑模面:

=+(-)

(20)

對式(20)進行求導:

(21)

選取冪次趨近律:

(22)

(23)

其中

(24)

結合式(6)、式(21)和式(22),經整理，可以得到控制律的表達式:

(25)

(26)

式中:=(+1)2=(+)2。那么在≠0時,滿足()>0,式(26)可變形為

(27)

對式(27)從飛行過程中時刻到系統穩定時刻積分:

(28)

式中:表示時刻系統的狀態量。由式(28)可知系統是在有限時間內收斂的。式(28)中，-可以用預估剩余飛行時間代替。則可將取為

(29)

(30)

從式(30)可以看出系數能隨系統的狀態變化而變化,增加了制導律的魯棒性。

222 最優滑模復合制導律設計

將第21節中式(11)給出的最優制導律記作,式(25)給出的滑模制導律記為。選取最優趨近律

(31)

式中:為需要設計的參數,滿足∈[0,1]。將式(21)與式(31)聯立可得

=+(1-)

(32)

通過設計式(31)的最優趨近律,得到了形如式(32)在工程上常用的最優與滑模的加權融合的復合制導律。在后文會基于李雅普諾夫穩定性理論對該制導律進行穩定性分析,并給出參數的設計思路。

所設計的制導律用到了目標的彈道傾角,下文將基于擴張狀態觀測器對目標彈道傾角進行估計。

2.3 基于擴張狀態觀測器的目標彈道傾角估計

由式(11)與式(20)可知,最優制導律與滑模制導律均包含終端角約束,而即為終端時刻目標的彈道傾角,在實際工程中往往無法測量目標的彈道傾角信息,因此需要對目標的彈道傾角進行估計。

根據彈目運動相對關系(見圖1),考慮如下系統:

(33)

式中:為系統的輸出;Δ為彈目相對距離;為彈目視線高低角。實際中,由于未知,將其視為擾動,均由0進行代替。

設計如下擴張狀態觀測器:

(34)

其中,

(35)

(36)

3 最優滑模制導律穩定性分析

首先選取廣義能量函數=2,為表述方便,記=,是時變的。那么式(21)可以化為如下形式:

(37)

對廣義能量函數求導:

(38)

第22節已分析了式(38)右端第2項的穩定性,因此這里僅關注右端第一項,并將其記作。

最優制導律在制導初期階段,往往擁有較小的過載指令,且指令變化較為平緩;而基于冪次趨近律設計的滑模制導律在制導初期往往具有較大的過載指令,且指令變化較快。根據制導初期階段最優制導律與滑模制導律各自的特點,進行如下假設。

在初始一定時間內,獨立設計的最優制導律與滑模制導律產生的指令符號相同,均能使導彈接近目標的預測彈道,且滿足||<||。

根據式(32)與假設1,當∈[0,]時,可將最優制導律寫作,是時變的,且滿足0<≤1。經過上述處理,可得

(39)

將式(39)代入式(38)中,可得

(40)

為了得到關于參數的設計思路,再次選取廣義能量函數:

(41)

(42)

結合式(32)和=,對式(42)進行化簡:

(43)

式中:由所設計的最優制導律與滑模制導律的特性決定,記=,有∈(0,1]。對式(41)求導并結合式(40),可得

(44)

值得注意的是當滿足式(45a)與式(45b)時,系統顯然是穩定的,而根據式(45c)可以得到參數的設計思路。

對式(45a)展開:

(46)

由于∈[0,1],因此式(46)右端大于1即可。式(46)變形為

(47)

對于式(45b)有:

(48)

結合式(47)和式(48)可以得到參數,的選取原則。

而式(45c)與需要設計的時變系數和最優制導律與滑模制導律的特性有關,因此可以根據式(45c)進行參數的設計,以提高系統的穩定性。將式(45c)展開:

(49)

(50)

對式(50)等式兩端同時積分:

(51)

式中:,為可調節系數,>1,>0。參數的選擇應保證∈[0,1]和的連續性。

(52)

經過上述分析,按照式(52)給出的表達式進行參數的選取,能夠保證系統的穩定性。

4 仿真分析

4.1 仿真條件

為驗證本文設計的最優滑模制導律的性能,考慮目標有加速度機動與目標無加速度機動兩種情況,將本文設計的滑模制導律、最優制導律和最優滑模制導律進行對比仿真分析。

仿真條件1:導彈飛行速度為250 m/s,初始彈道傾角為20°,目標初始位置為(6 000 m,12 000 m),目標初始彈道傾角為-70°,目標速度為600 m/s。

仿真條件2:導彈飛行速度為250 m/s,初始彈道傾角為20°,目標初始位置為(5 000 m,12 000 m),目標初始彈道傾角為-70°,目標速度為600 m/s,目標有常值法向加速度-5 m/s。

4.2 仿真結果與分析

在仿真條件1下,對所設計的制導律進行數學仿真。圖2為3種制導律下的導彈彈道曲線,圖3為導彈彈道傾角變化曲線,圖4為導彈加速度指令曲線,圖5為函數變化曲線。

圖2 3種制導律彈道曲線Fig.2 Trajectory curves of three guidance laws

圖3 3種制導律彈道傾角曲線Fig.3 Trajectory inclination angle curves of three guidance laws

圖4 3種制導律加速度指令Fig.4 Acceleration commands of three guidance laws

圖5 μ函數變化曲線Fig.5 Curve of μ function

圖2與圖3的仿真結果表明,3種制導律均能擊中目標并達到期望的彈道傾角。表1列出了3種制導律在終端時刻的彈道傾角和脫靶量。

表1 3種制導律脫靶量與彈道傾角比較Table 1 Comparison of miss distance and trajectory inclination angle of three guidance laws

從表1可以看出,在攻擊勻速目標時,3種制導律的彈道傾角與期望傾角偏差均較小,但最優滑模制導律與滑模制導律的脫靶量要明顯小于最優制導律。

圖3的仿真結果表明,滑模制導律在初始階段具有較大的加速度指令,制導末期指令較為平穩;最優制導律初期指令較小,制導末段指令出現了較大幅度的波動。最優滑模制導律的初期指令介于最優制導律與滑模制導律之間,而在制導末期完全切換到了滑模制導律,避免了最優制導律制導末段的指令波動問題。圖4的仿真結果表明,本文所設計的函數具有較為平穩的變化過程,說明了第3節分析的正確性。

在仿真條件2下,對所設計的制導律進行數學仿真。圖6為3種制導律下的導彈彈道曲線,圖7為目標彈道傾角觀測值與真實值,圖8為導彈彈道傾角變化曲線,圖9為導彈加速度指令曲線,圖10為函數變化曲線。

圖6 針對加速度目標3種制導律攔截彈道Fig.6 Interception trajectory curves of three guidance laws against accelerated target

圖7 目標彈道傾角觀測值與真實值Fig.7 Observed and true values of target ballistic inclination angle

圖8 針對加速度目標3種制導律彈道傾角曲線Fig.8 Trajectory inclination angle curves of three guidance laws against accelerated target

圖9 針對加速度目標3種制導律加速度指令Fig.9 Acceleration commands of three guidance laws against accelerated target

圖10 針對加速度目標μ函數變化曲線Fig.10 Curve of μ function against accelerated target

由圖6～圖8的仿真結果可知,3種制導律在攔截具有法向加速度的目標時,均能夠擊中目標,并能達到期望的彈道傾角。由圖7可以看到,對目標彈道傾角的觀測值能夠迅速收斂到真實值附近,本文采用的擴張狀態觀測器能夠較為準確地估計目標的彈道傾角。表2列出了3種制導律在攻擊加速度機動目標時終端時刻的偏差角(導彈彈道傾角+目標彈道傾角)和脫靶量。

表2 針對加速度目標3種制導律脫靶量與偏差角比較Table 2 Comparison of miss distance and trajectory inclination of three guidance laws against accelerated target

由表2可以看出,在攻擊有加速度機動的目標時,最優制導律的脫靶量與偏差角均較大,制導精度有所降低。而最優滑模制導律與滑模制導律的脫靶量與偏差角均較小,制導精度較高,但最優滑模制導律的脫靶量要明顯小于滑模制導律,說明了最優滑模制導律的優越性。

圖9的仿真結果表明,滑模制導律在攻擊有加速度機動的目標時,在初始階段加速度指令過大,但其制導末期指令較為平穩;最優制導律初期指令較小,但制導末段指令出現了較大幅度的波動。最優滑模制導律初期指令較小,在制導末期避免了指令波動的問題,表現出了良好的特性。

5 結 論

本文針對大落角目標逆軌攔截問題,首先建立了彈目相對運動模型,基于最優控制理論與滑模變結構控制理論分別設計了最優制導律與滑模制導律,隨后將二者結合得到了最優滑模復合制導律,并采用擴張狀態觀測器對目標彈道傾角進行估計。之后,基于李雅普諾夫穩定性理論對最優滑模制導律進行分析,得到了參數的選取原則,并設計了過渡函數。最后,在目標有加速度機動和無加速度機動兩種場景下,對本文設計的3種制導律進行數學仿真與對比分析。仿真結果表明,所設計的最優滑模復合制導律在兩種場景下均能以期望的彈道傾角和較小的脫靶量命中目標,實現逆軌攔截,并且在制導過程中指令變化平穩,對目標的加速度機動具有較強的魯棒性。