“項目學習：體育運動與心率”教學設計

王 浩，王 可，胡少臣

（華中科技大學附屬中學）

一、教學內容解析

以跨學科實踐活動為載體，通過項目化學習的方式，從數學的角度探究體育運動與心率問題，建立相關函數模型，并根據模型對科學運動提出合理建議.

本項目教學預計分為4個階段完成.課前，學生查閱體育運動與心率的相關文獻完成任務清單，為選題和開題做準備；第1課時，教師引導學生從不同角度提出子課題，并設計研究方案，完成選題和開題；課后，學生通過實驗收集數據，并借助計算機軟件整理、分析數據，從而建立函數模型得到相關結論，完成做題；第2課時，各小組展示作品，交流評價，完成結題.

人教版《義務教育教科書·數學》（以下統稱“教材”）八年級下冊給出了函數的定義，以及函數圖象的作法，并在此基礎上研究了一次函數的圖象及性質，在教材九年級上冊研究了二次函數的圖象及性質.本次項目教學通過建立函數模型研究體育運動與心率的實際問題，本質是這兩個具體函數在實際生活中的應用.

函數模型的建立過程，正是數學思維形成和發展的過程，是函數教學的最終目的和落腳點，也是發展學生的模型思想、運算能力、抽象能力等素養的重要載體.學生在“體育運動與心率”的課題研究中，學會用數學的眼光觀察體育運動，用數學的思維思考體育運動，用數學的語言表達體育運動，同時積累大量的數學探究活動經驗，為以后的研究拉開序幕.

基于上述分析，確定本項目教學的重點為：體育運動與心率實際問題中函數模型的建立、優化與應用.

二、教學目標設置

本節課的教學目標設置如下.

（1）經歷“體育運動與心率”課題研究的全部流程，體驗建立函數模型解決實際問題的一般方法.達成該目標的標志為，學生能夠利用收集的數據建立模型、求解模型、檢驗模型、優化模型，最終達到解決實際問題的目的.

（2）在課題研究的選題和結題活動中，加深對函數概念和性質等知識的理解，體會函數的應用價值.達成該目標的標志為，學生能夠根據函數的概念，在諸多影響心率的因素中確定合適的自變量來建立函數模型，并且求解出函數模型后，能夠利用函數的性質判斷心率隨時間變化的趨勢.

（3）通過本次跨學科實踐活動積累相關活動經驗，發展抽象能力、數據分析觀念、模型思想等數學素養.達成該目標的標志為，學生能夠用數學的語言描述實際問題，用數學的思維分析并解決問題，能通過數據分析窺見實際問題背后的數學邏輯及發展趨勢.

三、學生學情分析

本次探究活動的授課對象為九年級學生.從知識上看，學生已經學習了函數的定義與函數圖象的作法，以及一次函數、二次函數等基本初等函數，并且對這些函數的圖象與性質都有深入的了解，能通過圖象大致判斷函數類型.從能力上看，九年級的學生已經能夠進行一些簡單的數據收集與整理工作，也能將一些簡單的實際問題抽象為數學問題，并通過簡單的數學建模解決實際問題.

然而，本次課題探究所涉及的實際問題較為復雜，體育運動的形式多、范圍廣，對心率的影響因素多，且影響程度不同，學生難以選擇合適的子課題，且設計具體、可行的研究方案也有難度.另外，學生雖然能夠根據圖象猜測函數類型，但他們所學的知識有限，數學建模方法單一，且此前沒有接觸過利用計算機軟件進行數據分析與曲線擬合，不了解模型優化的原理，所以在具體的建模活動中會遇到很多困難，需要教師適時引導.

基于上述分析，確定本項目教學的難點為：確定研究對象，以及進行數據分析.

四、教學策略分析

1.依據數學建模活動的內容和要求組織教學材料

通過精心設計的問題，引導學生根據函數的定義確定“體育運動與心率”課題中便于研究的具體對象，并選擇具體的變化過程，從而幫助學生完成選題.

2.依據學情組織教學活動

根據學生的思維特點和認知基礎，對重、難點內容——函數模型的建立、檢驗與優化，采用小組合作、展示交流、質疑追問、互評反思等師生活動來強化重點、突破難點，使學生在嘗試和探索中體驗數學建模活動中蘊含的數學思想和一般方法.

3.突出數學思想方法的提煉和滲透

通過將抽象的知識具體化、有序化、開放化，在引導學生主動建構數學知識的同時，保持積極、有效的思維活動，培養學生的批判性思維，開闊視野，提升學生分析問題和解決問題的能力、交流合作能力、數學語言表達能力，發展學生的模型思想、數據分析觀念、運算能力等素養.

4.運用信息技術提高效率

學生借助計算機軟件建模，體會利用信息技術解決程序化問題的優越性，在嘗試和探索中掌握方法、體會思想、形成技能；教師借助信息技術工具，為不同基礎的學生提供適當的幫助，及時反饋學生在學習過程中出現的問題，提高教學效率.

五、教學過程設計

本次數學建模活動分為選題、開題、做題、結題4個部分，其中選題與開題使用1個課時，結題使用1個課時，做題則由學生課下完成.具體流程如圖1所示.

圖1 活動流程圖

1.課前引導，啟動項目

引導語：生命在于運動.隨著“雙減”政策落地，我們參加體育運動的時間比以往更加充裕.但不論何種形式的運動，都需要有一個合適的心率才能達到較好的運動效果，保持最佳運動心率對于運動效果和運動安全都很重要.那么，運動心率達到多少較為合適？運動中的哪些因素會對心率造成影響？能否運用數學知識來研究這種影響？請大家自主查閱相關文獻后完成以下3個任務.

任務1：了解運動中合適的心率范圍.

任務2：分析運動過程中影響心率的主要因素.

任務3：你能聯想到用哪些數學知識來研究這些因素對心率的影響？并說明理由.

【設計意圖】課前拋出3個任務，既揭示本次課題研究的主題，又鼓勵學生打開思路，引發學生積極思考.學生通過在課外查閱文獻，完成教師布置的3個任務，培養學生自主學習能力的同時，也為第1課時的選題和開題工作做準備.

2.第1課時——“體育運動與心率”課題研究的選題與開題

環節1：學生展示課前預備單完成情況.

師生活動：學生根據課前查閱的相關文獻，梳理體育運動中影響心率的諸多因素，明確運用統計和函數的知識來研究這些因素對心率的影響，并在教師的引導下，選出可量化、好測量的因素作為建立函數模型的自變量.

預設影響因素有：運動時長、運動類型、運動強度、性別、體型、有氧或無氧運動等.

學生可能面對的困難：在諸多影響因素中難以準確找出建立函數模型需要的變量.

教師引導：從函數的定義出發，引導學生發現函數研究的變量應具有可量化的特點，并且盡量選擇在實際操作中容易測量和收集的影響因素作為自變量，最終將兩個變量聚焦為心率與運動時間.

【設計意圖】厘清體育運動與心率研究的主要對象，揭示本次課題研究的本質內涵是函數的應用，并為后續選題工作做鋪墊.

環節2：提出具體可操作的子課題.

師生活動1：根據函數定義，明確心率與運動時間的函數關系應該放到一個具體的變化過程中去研究，從而引發學生思考“選擇在何種變化過程中進行研究”，并在此基礎上分小組討論，擬定本小組想要研究的具體子課題，將“體育運動與心率”的課題研究進一步聚焦.學生小組討論后，在黑板上寫出本小組的子課題，并簡單說明理由.

學生可能面對的困難：想研究的子課題過于理想化，實際操作時難度太大.

師生活動2：邀請生物和體育學科的兩位教師從各自專業出發，闡述這些子課題的理論依據和研究價值，并共同挑選出其中的3個進入后續研究，學生也合并為3個小組，并分別確定1位指導教師.最后由數學教師從函數角度點評這3個子課題研究的數學本質.

【設計意圖】由學生自主討論并提出本小組感興趣的子課題，既將研究課題進一步聚焦，又能激發學生的研究興趣.生物與體育兩位教師現身數學課堂，對這些子課題從專業角度進行點評，進一步肯定學生所選子課題的研究價值，為學生的后續研究提供動力.邀請的生物與體育兩位教師各擔任1個小組的指導教師，幫助學生完成后續研究，加強學科融合.

環節3：完成并展示開題報告.

師生活動：3位不同學科（數學、體育、生物）的教師指導學生完成開題報告，小組討論具體的研究方案，包括如何獲取運動時間和心率的數據，如何整理與分析數據等，最后上臺展示開題報告，由教師給予適當點評.

【設計意圖】學生通過初步了解數學探究活動的本質，掌握必要的研究方法，學會發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的一般探究思路，在過程中提升合作意識.

3.課外實踐，自主探究

（1）收集數據.

學生可能面對的困難1：運動過程中難以準確測量瞬時心率.

教師引導：利用智能手環的監測心率功能，或者手動搭脈記10秒的脈搏跳動次數，再乘以6就可以得到心率數值.

學生可能面對的困難2：數據測量存在誤差.

教師引導：可以取小組內多位學生多次測量的數值的平均值，且每次測量前保證學生足夠的休息時間，以回到運動前的狀態與心率.

（2）分析數據.

學生可能面對的困難1：取得數據后不知道先描繪和觀察散點圖.

教師引導：提醒學生將數據可視化，選定合適的橫、縱坐標繪制散點圖.

學生可能面對的困難2：繪出散點圖后無法將散點圖反映出來的規律抽象為數學語言.

教師引導：鼓勵學生先用自然語言描述規律，再將自然語言轉化為相應的數學語言.

（3）初步建立函數模型并進行分析.

學生可能面對的困難1：數據擬合后不知道選取哪種函數模型.

教師引導：注意圖形與數據的匹配程度，并聯系實際情況.

學生可能面對的困難2：不知道如何判斷所建立模型的合理性.

教師引導：匹配程度好是預測值與實際值差距較小，可以比較每組數據的預測值與實際值的差距，進而說明問題.

4.第2課時——“體育運動與心率”課題研究的作品展示與交流

環節1：分組展示研究成果.

師生活動：小組項目負責人展示研究成果，其他小組成員做好記錄，可在展示結束后提出疑問，由展示小組負責解答.小組互評和教師評價相結合.

環節2：項目總結.

師生活動：學生談談對數學探究活動的體會，以及在活動中的收獲.

六、項目成果展示

項目作品：慢跑和跳繩運動中心率隨時間變化的對比研究.

研究目的：不同的運動項目中，心率隨運動時間的變化趨勢不同，選取慢跑和跳繩兩種生活中常見的運動項目，建立函數模型研究這兩種運動中心率隨時間的變化趨勢.通過對比，可以直觀地了解這兩項運動各自的優勢，從而幫助我們達到最佳的運動效果.

實驗方法與步驟如下：

（1）查找與慢跑和跳繩有關的資料，了解這兩種運動適當的運動強度.

（2）結合查閱的文獻及自身感受，保證實驗過程中這兩種運動的強度相當.為了避免個體的差異性，兩種運動都選擇同一人進行，且不同運動之間保持足夠的休息以恢復到平靜狀態.為了減小實驗誤差，排除性別因素，使實驗結果更有說服力，計劃安排5位男生同時進行實驗，并記錄每位學生的心率數據，如表1、表2所示.

表1 慢跑心率的實驗數據

表2 跳繩心率的實驗數據

（3）將記錄的數據整理后輸入電子表格，繪制出散點圖觀察兩種運動的區別，再結合實際，選擇合適的曲線進行擬合，并得到函數解析式，最后通過函數的性質進一步分析兩種運動中心率變化的區別，并對長時間運動后的心率情況進行預測.

如圖2，先取生A的慢跑與跳繩心率繪制函數圖象，可以看出其跳繩心率基本高于慢跑心率，但只取一位學生的數據可能受到實驗誤差的影響較大，所以采用5位學生的平均心率，再次繪制如圖3所示的慢跑心率與跳繩心率隨時間變化的函數圖象.

圖2 生A的慢跑與跳繩運動中心率隨時間變化的函數圖象

圖3 5位學生的慢跑與跳繩運動中平均心率隨時間變化的函數圖象

這樣得出第一個結論：相同運動時間內，跳繩時的心率普遍高于慢跑時的心率.為了更好地比較何種運動下，心率隨時間增加得更快，于是采用一次函數的圖象對以上兩個圖象進行擬合（如圖4），比較一次函數的斜率.由此，得出第二個結論：跳繩運動中，心率隨時間上升的速度更快.但從圖4中可以直觀看出，一次函數擬合效果并不算好，所以重新使用二次函數模型對數據點進行擬合（如圖5），二次函數擬合效果明顯好于一次函數.

圖4 5位學生的慢跑與跳繩運動中平均心率隨時間變化的函數與一次函數的擬合圖象

圖5 5位學生的慢跑與跳繩運動中的平均心率隨時間變化的函數與二次函數的擬合圖象

曲線擬合的一個重要功能是預測，然而心率不會隨時間增加而不斷增加，也不會出現明顯下降，所以一次函數和二次函數模型都不能很好地預測長時間運動后的心率的情況.因此，在提前預習的情況下，決定采用反比例函數模型進行擬合，反比例函數，當x＞0時，y隨x的增大而增大，且逐漸趨于穩定，滿足心率隨運動時間變化的基本情況，只需要將反比例函數的圖象經過適當平移即可找到適用的如下函數模型，再借助Mathematica軟件，計算出相關系數，從而得到慢跑和跳繩運動中心率隨時間變化的函數擬合圖象（如圖6、圖7）.由函數解析式可以得到，隨著運動時間增加，慢跑運動時心率逐漸穩定在180左右，而跳繩運動中心率會不斷趨近于211左右.

圖6 慢跑運動中心率隨時間變化的函數擬合圖象

圖7 跳繩運動中心率隨時間變化的函數擬合圖象

然而，為了運動健康著想，運動中心率不宜長時間超過190次/分，由跳繩運動的擬合函數解析式可知，當y=190時，x≈297，也就是運動4分鐘到5分鐘后心率會達到190次/分.結合以上分析，得出最后一條研究結論：跳繩運動5分鐘左右就應該休息一下.

七、教學反思

本項目化學習的教學設計建立在“人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展”的教育理念下，力求讓學生感受運用函數概念建立函數模型的過程與方法.若在課題學習中采用情境教學，使學生覺得數學有用又好玩，這樣就可以激發學生的學習興趣和積極性.因此，本節課從生活中體育運動的真實情境出發，讓學生在函數定義的引導下選出自己感興趣的子課題，并在教師的協助下完成開題報告、課外實驗及結題展示，最后通過學生的展示，結合學生互評和教師評價實現本節課的教學目標，整個過程體現了學生在本次課題研究中的主體地位.教師與學生共同經歷了數學建模的實踐活動后，對于本次項目化教學的開展有以下兩點思考.

1.數學建模活動應該得到更大的重視

本次數學建模活動中，學生表現出來的積極性遠遠超出教師的想象.特別是開題后的實驗階段，學生積極思考更完善的實驗方案，且頻繁、主動地向指導教師匯報自己小組的想法和最新進展，并積極尋求教師的幫助，這種研究熱情在平時的教學過程中并不多見.在函數擬合過程中，學生對兩個具體函數（一次函數和二次函數）性質的理解更加深刻.更難能可貴的是，學生能主動尋找新的函數模型對心率與時間的函數關系進行刻畫，學生在整個建模過程中得到的顯性或隱性的收獲或已遠超傳統課堂，所以數學建模活動在初中階段應得到足夠的重視.

2.教師在函數建模活動中給予的指導應該適度

項目化的課題研究對初中生來說是全新的，雖然學生懷有極大的熱情，但也會遇到各種困難.學生在這里遇到的困難，往往沒有“標準答案”，教師不能將這些問題大包大攬，更不能完全不管，應該以一個學習者的身份，與學生共同探討解決方案，引導學生積極思考，共同解決問題.特別是在運用函數知識分析數據的過程中，應該讓學生大膽嘗試、勇于試錯，這樣得出的結論才能讓學生收獲成功的喜悅.