意蘊悠長 自然流暢
——對“一元二次方程的根與系數的關系”一課的品賞與評析

鄭 瑄

（浙江省寧波市江北區教育局教研室）

張曉鵬老師（以下統稱“執教教師”）在“第十二屆初中青年數學教師課例展示活動”（以下簡稱“展示活動”）中，為全國同仁們呈現了“一元二次方程的根與系數的關系”一課的教學及陳述分享，令筆者印象深刻，并且由此生發了有關教育教學的諸多思考.本文表達的正是筆者對這一教學展示課的欣賞與品析、感悟與感動，期盼得到思想的碰撞與謬誤的指正.

一、教學理解

1.教材解讀

“一元二次方程的根與系數的關系”是人教版《義務教育教科書·數學》（以下統稱“人教版教材”）九年級上冊第21章第2.4節的內容.該內容作為選學內容，不作為考試要求.各個版本初中數學教材對此內容的呈現方式略有不同，如表1所示.

表1 各版本教材中一元二次方程的根與系數的關系編排對比分析表

續表

對于“一元二次方程的根與系數的關系”一課，以上版本教材中的相同之處為：大多安排在“一元二次方程”一章的章末；證明方法基本上采用求根公式法.

不同之處為：導入的方式各有千秋；例題及習題的編排位置等大同小異.

特別關注：人教版《〈義務教育教科書·數學〉教師教學用書》教材教師教學用書中有如下建議，雖然“21.2.4一元二次方程的根與系數的關系”是選學內容，但從一元二次方程理論的完整性、初高中知識銜接等角度考慮，本節內容都是需要學生學習的.因此，教師應當認真地完成本節內容的教學.

2.課程標準分析

早年，一元二次方程的根與系數的關系作為必學內容在教材中呈現.后來，《義務教育數學課程標準（2011年版）》將這部分內容作為選學內容，打上“*”，不作為考試要求.

現在，《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）在這塊內容的處理上有所回歸，調整為必學內容.《標準》對此內容的要求為：了解一元二次方程的根與系數的關系.學生要能利用一元二次方程的根與系數的關系解決一些簡單的問題，要關注基于代數的邏輯推理，如根與系數的關系的論證.

特別指出，本節課——一元二次方程的根與系數的關系，也正是本次展示活動8個指定課題之一.展示活動對這一指定課題的要求如下.

內容與要求：知道一元二次方程的根與系數的關系，能通過系數表述方程的根，能用方程的根表示系數.

教學提示：了解一元二次方程一般表達式ax2+bx+c=0（a≠0）的關鍵是用字母表示方程的系數，可以寫出方程根的一般表達式；知道這樣的表達是算術轉變為代數的關鍵步驟.要在一般觀念的引領下引導學生發現和提出研究方程的根與系數關系的問題，要引導學生通過用數學符號進行一般性推理得出根與系數的關系（韋達定理）的猜想，并能通過代數推理論證給出證明，在此過程中感悟符號表達對于數學發展的作用，積累用數學符號進行一般性推理的經驗.

3.教學思考

客觀地說，對教學實施而言，由于之前一元二次方程的根與系數的關系是選學內容，不作為考試要求，因此教師在教學中處理這塊知識內容時存在著如下一些現象：有些教師將其作為閱讀材料，有些教師讓學生自學，有些教師甚至直接放棄教學，但也有些教師嚴格按照教材呈現的知識有序地進行教學，還補充一些利用一元二次方程根與系數關系的知識解決一些經典習題，等等.

對一元二次方程的根與系數的關系，教師可以思考以下問題：

（1）教，還是不教？

（2）教，教到何種程度？

（3）教學目標如何定位？重點、難點究竟何在？

進而引發如下更深層次的思考：

（4）何以想到要去發現和探究一元二次方程的根與系數的關系？（來自逆向思維的啟示：譬如乘法公式與因式分解、幾何圖形的性質與判定等，抑或其他？）

（5）為何確定兩根之和與兩根之積為研究對象？

（而非兩根之差與兩根之商？）

（6）研究方法、證明思路從何而來？每一種證明其合理性何在？（來自數學歷史文化進程相似性的類比.）

（7）方程的根與系數之間的聯系還有其他表現形式嗎？（來自培養研究意識、研究方法、研究能力的目標啟思.）

事實上，在平常的教學中，盡管這是一節選學內容，但還是有許多教師對這節課感興趣，對教學方法進行深入地思考、實踐和研究，并且為其撰文、發表觀點.為什么？以筆者的理解，這是一節以數學探究為載體，幾乎經歷了探究全過程（感覺—提問—觀察—猜想—發現—歸納—驗證—推理—結論）的一節課，還有什么比探索新知、發現新奇、收獲新得更令人癡迷而向往的呢？執教教師正是對于本節課秉持十分審慎而認真的態度，以專業的學術精神來對本節課的內容進行詮釋.

二、亮點賞析

可以用明快的詞語概括本節課：意蘊悠長，自然流暢.

意蘊悠長：悠，表達著時間；而長，表達著空間.本節課中蘊含著悠長的數學歷史文化，又彰顯著數學探究過程充滿理性、嚴謹的數學思維.

自然流暢：理解數學——順應數學學科教育教學的發生、發展規律；理解學生——順應學生學習認知的生長、成長、發展規律，在這雙重信念的追求之下架起理解教學的橋梁，讓數學教育教學自然生發，靜水深流.

通常來說，對于“一元二次方程的根與系數的關系”的教學，最便捷的教學方法是快速找到一元二次方程兩根之和、兩根之積與系數的關系，然后以較多的時間來進行形成性、鞏固性、拓展性的練習和強化訓練.而“引導學生發現和提出研究方程根與系數關系的問題”（即來自指定課題的教學建議），這一知識的發生、發展過程恰恰會被忽視和輕視.忽視，即無意識；輕視，導致重點轉移.

在此環節，從諸多公開課及文章文獻中可以看出廣大同仁的行動和作為.例如，給定一些一元二次方程，計算兩根之和與兩根之積以發現規律；為了追求數學的簡潔美，計算兩根的和、差、積、商，以發現規律；已知一元二次方程，計算關于其兩根的對稱代數式；利用求根公式直接計算兩根之和與兩根之積；因式分解觀察法；設而不求法；等等.

所有的種種努力都希冀探索、發現一元二次方程的根與系數的關系，方法各有千秋，背后都有其數學思考和歷史淵源.例如，韋達、拉克洛瓦的設而不求；歐拉的因式分解，19世紀以來教材中的求根公式法.

本節課中，執教教師的教學思考與設計非常令筆者欣賞.具體體現在如下幾個方面.

1.引人入勝的問題提出

問題情境：已知矩形的長和寬分別是一元二次方程x2-1 234x+5 678=0的兩個實數根，求這個矩形的周長和面積.

教學中，學生認為用學過的方法解這個方程會很麻煩，于是思考是否還有其他方法，不解方程是否能快速求出矩形的周長和面積，即求方程的兩根之和與兩根之積.

盡管這個方程本身有些許不自然的人為痕跡，但是它引發了學生的思考，不動聲色地指向了今天的課題，即兩根之和、兩根之積與一元二次方程系數的關系.這樣的行為避免了教師的主觀和指令，而且它還有良好的數學歷史文化意蘊.

古巴比倫泥板書上出現了歷史上第一批一元二次方程，其中一個問題為：一塊矩形田地面積為55，長邊比短邊多6，問長邊多長？后續，有教師將其改編為“已知矩形的周長與面積，求長和寬”的問題；而今，執教教師在教學中又賦予其新的生命力和生長力.如何自然而科學地發現問題、提出問題，是培養學生擁有探究意識、找準研究方向的重中之重.

2.耐人尋味的過程探究

正因為問題提出得自然合理，所以使得探究活動1及探究活動2的填表、觀察、猜想各司其職，使表格目標明確，使觀察一目了然，使猜想接近真相.

探究的過程，是逐步走近真理的過程，更是數學思維進階的過程.本節課中，如下幾個細節較為出色.

其一，執教教師的整個探究過程的設計邏輯清晰、框架合理、設計精妙、脈絡自然，給予學生以數學研究途徑與方法的指引，并且使得數學探究的思維可視化，還為學生在今后其他知識內容的探究甚至其他領域的探究提供了可供遷移的素材.

其二，執教教師在引導學生經歷、領略各種證明方法（因式分解法、求根公式法）的探究過程中，不僅開闊了學生的視野，潛移默化地培養學生通過用數學符號進行一般性推理的能力，還培養了學生的代數推理能力.對于數學思想方法的歸納，也同樣自然而為——從二次項系數為1到不為1所彰顯的從特殊到一般思想，以及系數不為1時各種推導方法之間的轉化思想，均在教學中自然而然地生成.

其三，也是令筆者最為感動的——師生互動.教師的詢問與學生的呼應很精彩.我們依稀看見執教教師正帶領學生一步一步地走向科學之路.同時，執教教師十分注重細節的處理.

例如，如下對話.

師：對于分子，你是怎么處理的？

生：可以運用平方差公式.

師：能直接除嗎？

生：能直接除，因為a≠0.

驀然聯想到蘇軾在《文說》中有言：吾文如萬斛泉源，不擇地而出，在平地滔滔汩汩，雖一日千里無難.及其與山石曲折、隨物賦形而不可知也.其中，隨物賦形，是否可以這樣理解——水遇到平地，是緩緩而流；遇到阻隔，則婉轉環繞；遇到陡峭之處，疾瀉而下；遇到沙土腐葉，浸潤其中.所謂“以生為本”是也.

三、教育省思

本節課中有一個細節發人深省.教學片斷如下.

師：請編寫一個方程，來驗證剛才的猜想對不對？

生1：2x2+3x+9=0.

師：找一個更簡單的二次項系數為1的方程.

生1：x2+2x+3=0.

……

其實這個細節值得關注.學生列舉的兩個方程，其實它們的根的判別式都小于0，這很有價值.在本節課中，有三次涉及判別式Δ：一次是在開課伊始回顧求根公式時；一次是在典例示范時直接給出；還有一次是在最后小結時用一句話提點，但稍有飄忽.教師在此處是否可以有所設疑？有所留白？因為當Δ＜0時，兩根之和與兩根之積確實可以由計算得到，但仔細考量，在初中階段，兩根之和與兩根之積并無意義.而在更大的數域范圍內，一元二次方程根與系數的關系仍然成立.況且本節課所說的根與系數的關系僅僅只是韋達定理的一種特殊情況，它有更為廣闊的天地.

圣·?？颂K佩里撰寫的《小王子》一書中有這樣一段話：如果你要造船，不要招攬人來搬木柴，不要給人指派任務和工作，而是要教他們去渴望那廣袤的大海.

而設疑和留白，也許會激發更為深遠的好奇之心、探究之意和品賞之樂！

四、結束語

本節課中，執教教師立于本源之地，在一般觀念的引領下，引導學生發現和提出研究方程的根與系數關系的問題，并通過觀察、猜想、驗證、推理、歸納以經歷探究的全過程，最終使學生獲得的不僅僅是知識，更多的是數學研究意識、研究方法和研究能力.而由此引發的數學探究的態度和精神，必將超越知識的存在而根植于學生的心中，此乃數學獨特的育人價值和希望所在.這樣的課例展示具有啟發與示范作用.而本文品賞與評析的要義也正基于此.

為期兩天半的展示活動是全國初中數學教育教學研討的盛會.于筆者而言，觀摩與學習的同時，更增添了檢審與省思，進一步引發了我們數學教師的哲學思考：數學教育教學究竟要帶給學生什么？

為人師者，立德樹人；數學教育，任重而道遠.