多段曲線分界點(diǎn)估計方法研究

郭陽陽，雷賢卿，王永軍，李 偉，吳上玉

（河南科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，洛陽 471003）

0 引言

多段曲線是由若干條標(biāo)準(zhǔn)曲線段（直線、圓弧、對數(shù)曲線等平面曲線段）組成的連續(xù)曲線，各標(biāo)準(zhǔn)曲線段間通過分界點(diǎn)相互連接[1，2]。在機(jī)械零件輪廓度測量和逆向設(shè)計中，都會遇到多段曲線的整體擬合問題[3，4]，如復(fù)雜曲面法向截面素線的輪廓度測量、軸承凸度滾子素線的線型識別及輪廓度誤差的測量，逆向工程中截面離散點(diǎn)的擬合等[5～7]。用單條曲線（如直線、圓弧、對數(shù)曲線等平面曲線）作為目標(biāo)曲線去擬合多段曲線時，擬合誤差較大也不符合被擬合輪廓的實(shí)際線型，用樣條曲線或者多階曲線擬合雖可以得到較小的擬合誤差，但得到的輪廓曲線方程難以體現(xiàn)機(jī)械零件輪廓的工程價值，也不便于零件輪廓的加工和數(shù)學(xué)描述。離散點(diǎn)的分段擬合、整體連續(xù)和平滑方法可以較好地描述輪廓離散點(diǎn)所表達(dá)的曲線方程，也符合機(jī)械零件的輪廓功能需求；但在分段曲線擬合時既要保證較小的擬合誤差又要保證曲線段之間的連續(xù)性和平滑性，分界點(diǎn)的位置會直接影響分段曲線的擬合精度，分界點(diǎn)位置的估計是多段曲線整體擬合的關(guān)鍵技術(shù)之一。因此，利用構(gòu)成多段曲線的離散點(diǎn)研究各曲線段之間的分界點(diǎn)的位置估計方法，對復(fù)雜曲面的輪廓度測量及逆向設(shè)計軟件的自主研發(fā)有重要的工程應(yīng)用價值。

目前，關(guān)于多段曲線分界點(diǎn)位置估計的方法研究未見報道。文獻(xiàn)多是闡述離散點(diǎn)的曲率計算[8～10]，結(jié)合曲線的曲率特性，來識別離散點(diǎn)所代表的曲線線型。

本文提出利用構(gòu)成多段曲線的離散點(diǎn)，通過離散點(diǎn)的曲率階躍及曲率差變化研究多段曲線分界點(diǎn)位置估計方法，通過實(shí)例來研究所提方法的有效性。

1 曲率的計算方法

分界點(diǎn)的估計主要依據(jù)離散數(shù)據(jù)點(diǎn)的曲率特性，分界點(diǎn)估計前要計算各離散數(shù)據(jù)點(diǎn)處的曲率，曲率的計算主要方法有：

1.1 三點(diǎn)擬合法

設(shè)Pi(xi，yi)(i=1，2，...，N)是曲線上的N個測量點(diǎn)，數(shù)據(jù)點(diǎn)的曲率可由相鄰的三點(diǎn)Pi-1，Pi，Pi+1所確定的圓來決定，圓的曲率即為此點(diǎn)處的曲率，由于是相鄰3點(diǎn)參與運(yùn)算，因此數(shù)據(jù)的第1點(diǎn)與最后1點(diǎn)的曲率不能獲得，則中間點(diǎn)的曲率如式(1)所示：

Li=｜｜Pi-Pi-｜1｜，Qi=｜｜Pi+1-Pi-｜1｜，Li+1=｜｜Pi+1-Pi｜｜，ΔPi-1PiPi+1是Li，Qi，Li+1為三點(diǎn)所構(gòu)造帶符號的三角形面積。如果Pi-1Pi×Pi-1Pi+1≥0，三角形面積取正值；反之取負(fù)值[11～13]。

圖1 曲率的計算原理

1.2 十一點(diǎn)擬合法

十一點(diǎn)法是輪廓上相鄰的11點(diǎn)進(jìn)行曲率計算[14，15]，設(shè)Pi(xi，yi)(i=1，2，...，N)是輪廓曲線上的N個測量點(diǎn)，由于是測量點(diǎn)與其前后各5個點(diǎn)參與運(yùn)算，因此前5個點(diǎn)與最后5個點(diǎn)曲率不能獲得，從第6至N-5個測量點(diǎn)的曲率如式(2)所示：

式(2)中，m=(xi-xi-5)(yi+5-yi)，n=(yi-yi-5)(xi+5-xi)，Ri1=(Pi-Pi-5)，Ri2=Pi+5-Pi。

1.3 局部樣條曲線擬合法

采用局部樣條曲線的方法對曲線上數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行曲率的近似估算，主要是先對選定的3個相鄰數(shù)據(jù)點(diǎn)樣條曲線進(jìn)行插值，然后用樣條插值函數(shù)計算出的曲率來近似表示該點(diǎn)的曲率[16，17]，由于是相鄰三點(diǎn)參與運(yùn)算，因此數(shù)據(jù)的第1點(diǎn)與最后1點(diǎn)的曲率不能獲得，則中間點(diǎn)的曲率如式(3)所示：

1.4 帶平滑的差分曲率法

設(shè)Qi(xi，yi)(i=1，2，...，N)是曲線上的N個測量點(diǎn)，基于高斯函數(shù)對數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行平滑處理后的數(shù)據(jù)點(diǎn)由Pi(xi，yi)進(jìn)行表示，由于相鄰5點(diǎn)參與運(yùn)算，因此前2個點(diǎn)與最后2個點(diǎn)曲率不能獲得，從第3至N-3個測量點(diǎn)的曲率為：

2 分界點(diǎn)的估計方法

組成零件輪廓的曲線段之間的連接點(diǎn)就是多段曲線的分界點(diǎn)，將曲線分界點(diǎn)分為跳躍點(diǎn)、尖點(diǎn)、切點(diǎn)等。在估計分界點(diǎn)的位置時，跳躍點(diǎn)比較容易在離散數(shù)據(jù)點(diǎn)中確定，其他的分界點(diǎn)難以直接在離散數(shù)據(jù)點(diǎn)中獲取，但在分界點(diǎn)附近，離散點(diǎn)的曲率差有明顯的的變化，因此，可利用數(shù)據(jù)點(diǎn)處的曲率差變化判斷分界點(diǎn)的大概位置。當(dāng)曲率差大于設(shè)定閾值時，則其可能為分界點(diǎn)。

測量點(diǎn)的曲率差Ei是測量點(diǎn)Pi(xi，yi)的曲率Ki與前一個測量點(diǎn)Pi-1(xi-1，yi-1)的曲率Ki-1之差。

3 分界點(diǎn)估計方法的實(shí)例分析

在設(shè)定的多段曲線上選取一系列的點(diǎn)并在對應(yīng)點(diǎn)的法向上加入隨機(jī)誤差，構(gòu)成一系列仿真測量數(shù)據(jù)點(diǎn)。在已知分界點(diǎn)的情況下比較上述方法的適用性，操作性與分界點(diǎn)估計的準(zhǔn)確性。

3.1 直線與圓弧構(gòu)成的多段曲線

設(shè)直線與圓弧構(gòu)成多段曲線的方程如式(6)所示，在該多段曲線上取38個點(diǎn)，為使數(shù)據(jù)更接近于實(shí)際，在對應(yīng)點(diǎn)的法線方向上加入隨機(jī)誤差（誤差值≤±0.004）構(gòu)成離散數(shù)據(jù)點(diǎn)表1，由方程(6)和表1中的離散點(diǎn)數(shù)據(jù)，可以知道，該多段曲線的理論分界點(diǎn)的坐標(biāo)為（30，5），對應(yīng)于表1離散點(diǎn)序號20，因此用P20（30，5）表示理論分界點(diǎn)位置，利用曲率計算方法對表1中的離散數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到各離散點(diǎn)的曲率如圖3所示，曲率差如圖4所示，分界點(diǎn)的估計如表2。

表1 直線圓弧構(gòu)造的數(shù)據(jù)點(diǎn) （單位：mm）

表2 分界點(diǎn)估計

圖2 直線與圓弧構(gòu)成的輪廓

圖3 數(shù)據(jù)點(diǎn)曲率

圖4 數(shù)據(jù)點(diǎn)曲率差

從圖3中可以看出：構(gòu)成的離散點(diǎn)的曲率在理論分界點(diǎn)位置發(fā)生明顯跳躍。從圖4中可以看出各離散點(diǎn)的曲率差值，曲率差閾值根據(jù)加入的隨機(jī)誤差的倍數(shù)進(jìn)行設(shè)定為0.028，帶平滑的差分曲率法曲率差出現(xiàn)3點(diǎn)曲率差大于設(shè)定閾值0.028，其對應(yīng)的坐標(biāo)位置為P20（30，5.001）、P21（30.436，4.978）、P22（30.868，4.925）；都在理論位置附近，三點(diǎn)法與局部樣條法曲率差跳躍性大，曲率差值大于 值0.028的位置較多，估計不明顯，但結(jié)合圖3可以分析出大概的分界點(diǎn)位置。十一點(diǎn)法圖4(b)雖然有2點(diǎn)曲率差值大于閾值0.028，但結(jié)合圖3(b)可以看出這兩個數(shù)據(jù)點(diǎn)都可能是分界點(diǎn)；從表2中可以看出運(yùn)算速度：三點(diǎn)法運(yùn)算速度最快，帶平滑差分的曲率法較慢；三點(diǎn)法與差分法編程簡單，十一點(diǎn)法編程相對復(fù)雜。

3.2 圓弧與圓弧外切構(gòu)成的多段曲線

設(shè)圓弧與圓弧外切構(gòu)成多段曲線的方程為式(7)，在該多段曲線上取37個點(diǎn)，為使數(shù)據(jù)更接近于實(shí)際，在對應(yīng)點(diǎn)的法線方向上加入隨機(jī)誤差（誤差值≤±0.004）構(gòu)成離散數(shù)據(jù)點(diǎn)（表3），由方程(7)和表3中的離散點(diǎn)數(shù)據(jù)，可以知道，該多段曲線的理論分界點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，0），對應(yīng)于表3離散點(diǎn)序號19，因此用P19（5，0）表示理論分界點(diǎn)位置，利用曲率計算方法對表3中的離散數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到各離散點(diǎn)的曲率如圖6所示，曲率差如圖7所示，分界點(diǎn)的估計如表4所示。

表3 圓弧與圓弧外切構(gòu)造的數(shù)據(jù)點(diǎn) （單位：mm）

圖5 圓弧與圓弧外切構(gòu)成的輪廓

圖6 數(shù)據(jù)點(diǎn)曲率

圖7 數(shù)據(jù)點(diǎn)曲率差

從圖6中可以看出：構(gòu)成的離散點(diǎn)的曲率在理論分界點(diǎn)位置發(fā)生明顯跳躍。從圖7中可以看出各離散點(diǎn)的曲率差值，曲率差閾值根據(jù)加入的隨機(jī)誤差的倍數(shù)進(jìn)行設(shè)定為0.028，十一點(diǎn)曲率法出現(xiàn)1個點(diǎn)曲率差值大于閾值0.028，其對應(yīng)的坐標(biāo)位置為P20（5.076，-0.8712），位置在理論分界點(diǎn)位置附近；三點(diǎn)法與局部樣條法有2個點(diǎn)曲率差值大于 值0.028，其對應(yīng)的坐標(biāo)位置為P19（5，0.002）、P20（5.076，-0.8712）；差分法有4個點(diǎn)曲率差大于閾值0.028，都與理論分界點(diǎn)位置接近。從表4中可以看出：差分法運(yùn)算速度最快，但估計分界點(diǎn)位置較多，局部樣條法運(yùn)算速度較慢，十一點(diǎn)法運(yùn)算時間短；從編程過程中可以明顯看出幾種方法的難易程度，三點(diǎn)法與差分法編程簡單，十一點(diǎn)法編程相對復(fù)雜。

表4 分界點(diǎn)估計

4 結(jié)語

結(jié)合曲率估計方法以及曲率差變化情況對分界點(diǎn)的估計位置、運(yùn)算時間、編程難易程度評價比較，當(dāng)多段曲線為直線與圓弧構(gòu)成的輪廓時帶平滑的曲率法更加準(zhǔn)確的估計出分界點(diǎn)位置；當(dāng)多段曲線為圓弧與圓弧外切構(gòu)成的輪廓時三點(diǎn)法與局部樣條法更為合理的估計出分界點(diǎn)位置；三點(diǎn)法與局部樣條法比較適用于曲線與曲線連接的多段曲線，差分法比較適用于直線與曲線連接的多段曲線，從而為研究多段曲線組成的多種連續(xù)線段間分界點(diǎn)的估計提供了應(yīng)用價值。